POURCENTAGE

Certains auteurs consacrent tout un chapitre au pourcentage abstrait. Ils formulent une série de règles que l’élève apprendra par cœur. ( ‘haque règle est une clef dont il se servira, selon la serrure qu'on lui demandera d'ouvrir. Il est parfois embarrassant pour l'élève de décider quelle clef il prendra dans un cas imprévu. Cet embarras est dû à ce qu’on a oublié de lui enseigner à faire usage de la clef maîtresse qui a nom la raison.

Remarque.—Accoutumez les élèves à raisonner chaque problème, et ne faites pas apprendre des règles mécaniques pour la solution de ces problèmes.

Le pourcentage n’est pas une nouvelle division de l’arithmétique; ce n’est qu'une application particulière des fractions; si l'élève a une bonne connaissance de celles-ci, il ne lui reste qu’à apprendre la signification de l’expression PoUR CENT, (%).

40 signifie , 4, ou .04, deux fractions que l'élève connaît déjà.

Donnez des exercices dans le genre des suivants:

Exprimez 3%, 5%, 51%, ete., en vous servant de fractions ordinaires, —de fractions décimales.

Exprimez avec le signe (©) les fracuuns suivantes : 00) Lo 0) .375, 4 # etc. Rép.

2%, 25%, 371%, 75%, 871%, ete.(?}

(1) Voir Notes pédagogiques, page 222.

LE

QUESTIONS

1. Quelle faculté doit êt, » développée d’une manière spéciale ar l’étude de l’arithmétique? 2, Quelle méthode doit suivre e maître et quels procédés doit-il em loyer en enseignant l’arith-

métique? 3. Quelles connaissances les élèves doivent-ils acquérir en arithmétique pendant leur première année de scolarité et quels moyens doit-on employer pour leur communiquer ces connaissances? 4. De quoi doit être pourvue l’école? 5. Que nous apprend l'étymologie du mot caleul? 6. Comment acquiert-on une idée précise des nombres? 7. Quelle est la base de la numération et du calcul? S. Pour faire compter les enfants, suffit-il de leur faire réciter des tables d’addition ? 9. Quelles sont deux conditions nécessaires d’une instruction solide? 10. En enseignant les nombres et les chiffres, que faut-il faire d’abord”? 11. Indiquez en peu de mots la voie à suivre en enseignant les nombres un et deux ainsi que les chiffres E ob 2. Etc, etc. 12. Indiquez les combinaisons à faire en enscignant 4; dites comment on enseigne que 2 fois 2 font 4: dites comment on enseigne que 4 contient 2, deux fois. 13. Indiquez les combinaisons à faire en enseignant les autres nombres jusqu'à 10 et les groupements des éléments dont ils sont eomposés. 14. Expliquez l'emploi des signes plus (+), égal (=) et d'interrogation (?) ainsi que la manière de poser des roblèmes. 15. Expliquez les mots addition et somme. 16. Hg les signes moins (—) et le chiffre zéro (0). 16. Expliquez les mots soustraction, reste ou différence. 17. Indiquez eomment on rend visibles les nombres de dir à vingt, ainsi que le groupement des facteurs des ombres divisibles, de un à vingt. Faites connaître l'utilité de ces groupements dans l’enseignement des tables. 18. Faites connaître la manière de rendre visibles les nombres de vingt à cent. 19. Lorsque les élèves sont en état d'écrire les nombres de un à cent, que faut-il leur faire remark sracià 19. Quelles connaissances en arithmétique les élèves oivent-ils acquérir pendant la deuxième année de scolarité ? 20. Dites quel doit être, en général, le caractère de l’enseignement aux élèves de cette classe. 21. Faites connaître comment vous enseigneriez à écrire et à lire les nombres jusqu’à dix mille 22. Faut-il attendre que les élèves se soient rendus maîtres de la numération des nombres jusqu’à dix mille, pour leur donner des exercices d’addition, etc.? 22, Comment enseigneriezvous les facteurs des nombres? 23. Quelles sont les connaissances usuelles qui fourniront la matière pour des problèmes faciles et variés? 24. Quelles règles faut-il suivre dans le choix des exercices d’addition? de soustraction? de multiplication ?

de division pour les commençants? 25. Quelles connaissances en arithmétique les élèves doivent-ils acquérir pendant la troisième année de scolarité ? 26. A quoi faut-il habituer les élèves dans cette classe? 27, Comment peut-on faciliter la tâche des élèves qui ont À apprendre les tables de multipliention? 28. Quelles sont les tables de poids, de mesures, ete., que les élèves sont tenus d'apprendre en troisième année? 29. Qu'avez-vous à dire sur l'importance. de connaître les fractions” 30. Enoncez les principes qui doivent vous guider dans l’enseignement de ce sujet? 31. Dites en peu de mots l'ordre à suivre en développant une idée claire de ce qu'on entend par fraction, dénominaleur, numérateur. 32. Faites un tableau pour faciliter l’enseignement des fractions. 33. Dites ce qu'on peut enseigner au moyen de ce tableau. 34. Indiquez comment on se sert de ce tableau. 35. Enumérez les principes à démontrer au moyen de ce tableau. 36. Dites la manière d’expliquer la transformation de 2-3 en douzièmes. Dites ce qu’il faut éviter en enseignant à additionner ou à soustraire des entiers joints à des fractions. 37. Pour enseigner la multiplication et la division des fractions, sur quelle définition d’une fraction doiton s'appiyer? 38. Analysez la fraction #3. 39. Indiquez les différentes manières de diviser 2 gâteaux entre trois personnes. 40. Expliquez la multiplication de 7-12 par 3-5? 41. Expliquez la division de 3-8 par 2-5. 42. Combien y a-t-il de manières d'exposer les décimales? 43. Pour démontrer les décimales intuitivement, de quoi peut-on se servir avec avantage”? 44. Démontrez qu’on ne change pas la valeur d'une fraction décimale en la faisant suivre d’un où de plusieurs zéros. 45. Analysez le nombre 111.111. 46. En avançant le point de un, deux, trois... rangs vers la droite, quel changement opère-t-on dans la valeur d’un nombre décimal” Donnez la raison de ce changement de valeur. 47. Expliquez la multiplication de -16 par .12. 48. Expliquez la division de 192 par .12. 49. Expliquez la division de .0192 par 12. 50. Expliquez la division de .0192 par.12. 51. Expliquez la division de 19.2 par .0012. 52. Expliquez la division de 279 par 4. 53. Expliquez la division de 3 par 8. 54. Expliquez la conversion de 3-8 en fraction décimale. 55. Quel rapport y a-t-il entre les règles de trois, le pourcentage, ete., et les fractions? 56. D'après quelle méthode s'opère, aujourd’hui, la solution de la plupart de ces questions? 57. Exprimez 3% de deux manières différentes.

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NOTES PS AGOGIQUES

Arithmétique : Déveoppui che: l'enfant une idée nette, exacte du nombre, au moyen d'objets matériels: Jui montrer à former des nombres, à l’aide de ves mêmes objets; Jui apprendre à nommer les nombres et à les représenter par des chiffres: — en même ternps, mais encore à l'aide d'objets matériels, lui faire résoudre mentalement puis par écrit de petits problèmes familiers très simples, présentant d’abord séparément et ensuite combinant ensemble graduellement des applications de l'addition. de la soustration, de la multiplication et de la division; — c'est enseigner la nurmération parlée et Ja numération écrite: c'est enseigner les quatre opéritions fondamentales du calcul, d'après la méthode qui consiste à 2ller du concret à l'abstrait, du connu à l'inconnu, du particulier au général, du facile au plus difficile—la seule méthode à employer dans les classes inférieures et celle qui doit dominer dans tout le cours élémentaire

C’est done à l’aide d'objets matériels d’un maniement individuel aisé, —par exemple, à l’aide de billes, ou mieux de bûchettes représentant les unités et de bâtonnets représentant les dizaines, ou encore à l'aide de points tracés au tableau noir, qu'il faut inculquer aux plus jeunes écoliers toutes ces premières notions du ealeul. Et c'est aussi au moyen de représentations matériciles, de procédés graphiques, d'exemples variés traités d’abord mentalement sur de petits nombres qu'il faut ensuite leur donner toutes les notions nouvelles à mesure qu’elles se présenteront,

IT va de soi qu’on s’affranchira de ces démonstrations matérielles, sitôt qu'on se sera assuré que les élèves comprennent les rapports des nombres abstraits. On débute par le concret, mais pour en dégager l’abstrait, dès qu’on le peut; sauf à revenir à la démonstration concrète, chaque fois qu’on craint que les élèves n’associent que des mots au lieu d'associer des idées claires et bien nettes.

En résumé, l’enseignement élémentaire du calcul doit offrir successivement les trois formes suivantes: forme intuitive, forme mentale et orale, forme chiffrée. Et les notions théoriques, restreintes aux connaissances indispensables, sont déduites progressivement d'exemples choisis et gradués avec soin. Les définitions ne sont données que lorsque les notions ou les

opérations à définir sont bien connues. Par exemple, aux petits enfants, déjà initiés aux opérations fondamentales sur des nombres concrets ou abstraits, À l'emploi des signes qui représentent ces opérations, on dira simplement: 4 + 3 = 7, c'est une addition: 7-2=5, c’est une soustraction: ? X 3 ou trois fois trois (3+3+5)=9, c'est une multiplication: partager 8 pommes entre quatre enfants et leur en donner 2 à chacun (ou S+4=2), c'est faire une division. Les définitions plus serrées, plus rigoureuses, viendront plus tard.

Le calcul mental, qui est le fondement de la connaissance des notmbres et des procédés abréviatifs les plus sûrs, devra être l’objet de soins très spéciaux dans toutes les classes. Les élèves seront, en conséquence, exercés de bonne heure à calculer de tête. Mais ces exercices seront raisonnés, jamais exécutés machinalement. On se rappelera que le calcul mental a pour objet les nombres et non les chiffres. Autrement c'est le calcul écrit, exécuté de mémoire, qu’on ferait faire. Le caleul mental a ses procédés à lui, qui ditfèrent de ceux du caleul écrit. Le maître doit lui-même connaître ces procédés: c'est son devoir de les expliquer aux élèves et de tenir à ce qu'ils les mettent en pratique. Ainsi pour additionner 57 avec 3$, l'élève devra, par la pensée décomposer, ces deux nombres en dizaines et en unités; soit 50 du premier nombre et 30 du second font S0, auquel on ajoute 7+$S pour faire 95. De méme, pour additionner 257 avec 13S, on décomposera, encore par la pensée, ces deux nombres en centaines, dizaines, unités; soit 200+ 100 =5300; 50+-30=80; en tout 30, auquel on ajoute 7+8 pour faire 395. Et l’on suivra des procédés £nalogues pour toutes les opérations traitées par le calcul mental.

Il serait même à désirer que les problèmes de tout genre fussent faits d’abord mentalement sur des petits nombres, avant d’être donnés à résoudre par écrit sur des grands nombres. De cette façon, les problèmes seraient évidemment beaucoup mieux compris.

Mais, au premier chef, il importe que chaque connaissance nouvelle soit donnée lentement, progressivement, et qu’elle soit accompagnée d'explications nombreuses qui l’enfoncent en quelque sorte dans l'intelligence et la gravent à jamais dans la mémoire. Donnons quelques exemples. On fait observer intuitivement, en les manipulant, que 4 crayons et 4 crayons font 8 crayons, que 4 billes et 4 billes font 8 billes, que 4 : : et : : font : : : : points; et l’on conclut que toujours 4 et 4 font 8. On procède de même pour la soustraction, la multiplication, la division; en ayant soin toujours de passer avec lenteur et graduellement des nombres concrets: 6 pommes, 6 points, 2 oranges, 2 points, aux nombres abstraits: 62

Quand les élèves sont parfaitement familiarisés avec les quatre opérations fondamentales sur des nombres qui ne présentent aucune difficulté, on aborde les cas plus complexes. Ces cas eux-mêmes seront vite compris, si le maître les amène successivement et sait les graduer. Dans la soustraction, par exemple, chaque chiffre du nombre supérieur est nlus grand que son correspondant du nombre inférieur, soit 4 2; il n'y a pas de dificulté. Mais un chiffre du nombre rieur est plus grand que son correspondant du nombre supérieur, soit 44—338, il y a une difficulté; et l’on apprend à la résoudre par la méthode des emprunts. Le nombre supérieur renferme un zéro, soit 40—28: la difficulté est encore plus grande, et l’on fait voir lavantage qu'il y a à substituer à la méthode des emprunts celle de la compensation. On suit pour les autres opérations la même marche; et si la gradation des difficultés est fidèlement observée, encore une fois les élèves comprennent sans peine, :

Le maître continuera l'emploi de cette marche progressive et graduée pour toutes les autres parties du programme qu’il a à parcourir. Supposons que les fractions ont été enseignées aux élèves, à l’aide d’une pomme, d’une feuille de Papier, coupées en parties égales d’abord, inégales ensuite. Par l'intuition, la manipulation, des exercices de superposition, on leur fera facilement voir et comprendre que les trois quarts d’une feuille de papier coupée en 4 morceaux sont la même chose que 9 morceaux de cette feuille de papier coupée en 12; et de Ià à faire comprendre qu’on nent multiplier les deux termes d’une fraction

par un même ne sans en changer la valeur, il n’y a qu’un degré. Il sufiit «Tort de l'esprit pour le franchir. Un effort encore et … voir remarqué, toujours intuitivement,

qu'on ne peut pa: comparer des tiers avec des quarts, l'élève comprendra qu'on peut fort bien au contraire comparer des douzièmes avec des douzièmes ; de là, la rédaction des fractions au même dénominateur qui rend possible les additions et les soustractions.

Mais il serait trop long de poursuivre ainsi l'examen des divers cas que présente l'étude de l’arithmétique; au maître de bien saisir la méthode exposée jusqu'ici, et de l'appliquer constamment.

Il est évident cependant que les premiers principes de la numération auront été donnés d’une façon également intuitive, c’est-à-dire au moyen d'objets réels: haricots, crayons, bûchettesunités et bâtonnets-disaines. Dans chaque leçon les é'àves auront joué un rôle très actif: il ne s’agit pas de leur enseigner beaucoup à la fois, mais de leur inculquer l’idée du nombre et de les mettre à même le plus tôt possible de former des nombres,

de les lire et de les écrire avec assurance. Or, on n'arrive à ce résultat que par des exemples multipliés. Les jeunes élèves comptent d’abord des objets collectivement et individuellement, de 1 à 10; puis de 2 en 2; puis de 10 à 1, etc. On répète plus tard ces exercices sur les groupes suivants: de 10 à 20, de 20 à 100. Il est indispensable que cette première étude soit bien faite. I! faut, en particulier, que les enfants voient bien et Par suite comprennent qu’une dizaine est l'équivalent de dix unités, etc., que les chiffres ont une valeur absolue toujours la même, et une valeur relative dépendant @e la place qu’ils occupent. Et entre-temps, cette direction e. , clairement. formulée dans le Programme, les élèves auront été initiés aux cas les plus simples des quatre opérations fondamentales.

Quant à l’enseignement des mesures, mesures de longueur, mesures de poids, mesures de capacité, mesures monétaires, il doit être pareillement, au début, intuitif ‘et expérimental autant que possible. Les jeunes enfants mesurent eux-mêmes des longueurs, des capacités, pèsent des objets, comptent des pièces de monnaie, etc. Jamais les explications du maître, si claires qu’elles soient, ne remplacent ces exercices exécutés par les élèves.

. Quelques observations sur Jes problèmes sont aussi nécessaires,.

Et tout d’abord, le choix des problèmes ne doit pas être laissé au hasard de l'inspiration. Le maître devra en rédiger le texte lui-même après lavoir médité; ou encore l’'emprunter au manuel, à un recueil, à quelque revue Pédagogique, mais toujours en connaissance de cause et après en avoir scruté les. données. Le mieux serait de se composer un recueil personnel, correspondant année par année aux dispositions du programme. C’est le moyen le plus sûr de mettre de l'ordre et une gradation bien suivie dans l’enseignement.

Ensuite, il convient que les problèmes contiennent, dans une très large mesure, des notions usuelles d’un intérêt pratique. Pas de curiosités, pas d’énoncés fantaisistes, jamais de données

ui ne soient exactes et vraies; mais des nombres réels et pris

ans les usages de la vie. Dès les premières leçons, on ne propose aux petits enfants que des nombres représentant des choses et des grandeurs utiles à connaître. Plus tard, on leur propose des nombres donnant la population du village, de la paroisse, du comté, de la province, du Canada tout entier. On leur fait chercher la distance qui sépare la localité du village voisin, de la ville la plus rapprochée, de la capitale Provinciale, de la capitale fidé-ale. On les exerce sur des nombres qui représentent la longueur des principales rivières du Canada, la hauteur

des montagnes les plus élevées, les dates des événements les plus remarquables de notre histoire, etc., ete. C’est avant tout aux circonstances de la vie ordinaire, aux opérations, aux transactions qui se font autour d'eux, aux métiers, aux industries, aux professions de la contrée, à l’économie domestique, à ia comptabilité agricole, à l'exploitation d’une ferme, d’une basse-cour, d’une fromagerie, d’un verger, d’un jardin potager, aux ruines causées par l’intempérance, la paresse, le luxe, ete. etc., que les sujets des problèmes doivent être empruntés. Cette manière de procéder offre un triple avantage: elle met plus d'intérêt et de vie dans les leçons; elle inculque aux enfants une foule de connaissances utiles; elle les prépare directement aux calculs qu’ils auront à faire dans la pratique de la vie.

D'une façon générale, on devrait aussi veiller à ne faire opérer les enfants que sur des nombres ayant trois ou quatre chiffres au plus. Les additions seules peuvent être longues; æais toutes les opérations sur les nombres entiers et sur les ifraæetions doivent être simples et courtes, comme celles qu’on renoontre usuellement.

Il y aurait enfin grand profit à demander aux écoliers d'imaginer eux-mêmes des problèmes devant amener telles où telles opérations déterminées. Rien n’est plus propre à stimuler “eur attention, à leur faire comprendre et retenir la natrre et le mécanisme de ces opérations.

Après le choix des problèmes, une chose qui a également -8on importance, c'est la manière de les résoudre. Pour la résolution, on fera écrire au-dessous de l’énoncé, sur une seule iligne horizontale, tous les nombres à retenir, avec une lettre initiale indiquant ce que chacun d’eux représente; puis on rapprochera, au-dessous de cette ligne, les unités de même nature. Ainsi dispusés et groupés, Pélève voit mieux les nombres, il perçoit plus vite et plus nettement leurs rapports, et il lui devient facile de trouver les comparaisons et les raisonnements qui le conduiront à la solution. Pour la clarté des exercices et la commodité de la correction, il serait bon de faire partager la cahier en deux colonnes, et de faire placer les calculs à gauche, les raisonnements à droite.

Les élèves s’imaginent souvent avoir fait un raisonnement, quand ils ont simplement indiqué ce qu’ils font. Il appartient au maître de les prémunir contre ce défaut. Dans le même ordre d'idées, il ne suffit pas de faire parler les élèves; mais il faut exiger d’eux un langage corre.t,exact, des phrases complètes et claires. La précision du langage est assez facile à obtenir en arithmétique; et quand, grâce au maître, l’élève s’en est fait une habitude, il la garde dans ses autres études. à

Pour ce qui est de la correction, la meilleure est celle qui

est collective et faite au tableau noir. On s'attache à faire distinguer ce qui est donné de ce qui est inconnu, et À faire découvrir les rapports des choses; à faire déterminer bien nettement ce qui est cherché, et à diriger la marche du connu à l’inconnu sans rien laisser d’inexploré. C’est le moment de comparer entre elles les diverses solutions possibles, de montrer pourquoi l’une est préférable à l’autre, d’ttirer l'attention sur les procédés de simplification et sur les méthodes d’abréviation.

Comme il y aurait quelque avantage à varier la forme des corrections, on pourra aussi employer parfois, soit le procédé mutuel, soit le procédé individuel. (Règlements du C. C:.\