CHAPITRE I. — MOUVEMENT DES PROJECTILES

Ceci nous montre que, si /* est constant, le temps de la chute augmente quand a diminue, mais que la vitesse acquise par le mobile tombant de la hauteur h est indépendante de la direction du plan incliné, et qu'elle est la même que s'il tombait suivant la verticale.

Mouvement des projectiles. — Supposons un projectile lancé obliquement dans la direction OT {fg. 9), avec une vitesse initiale égale à a. 11 sera soumis à deux causes de mouvement qui agi- *^*o* 9* ront indépendamment : la vitesse a, et

l'action de la pesanteur. Cette vitesse peut se décomposer en deux autres, l'une a cos « qui est horizontale, l'autre a sincc. Quant à la pesanteur, elle agit de haut en bas en sens inverse de asina, et produit une vitesse .^'-r. On a

v^=. a cos K, i', = a sin a

pour exprimer les vitesses horizontale et verticale du mobile. Les espaces parcourus se trouveront en repassant de l'expression des vitesses, qui sont des dérivées, aux fonctions dont elles dérivent, ce qui donne

X =. at cos a, jr •=. at sin a ,

et si l'on élimine t entre ces deux expressions, on aura l'équation de la trajectoire suivie par le mobile

jr z=x tang a —

2rt*cos*a

En remplaçint à^ par igh^ h étant la hauteur à laquelle arriverait le mobile lancé verticalement avec la vitesse a, on obtient

y =• X tanjj a

t\ h cos' a

Les projectiles lancés obliquement dans le vide doivent donc décrire une portion de parabole, et le chemin qu'ils parcourent se compose de deux parties, l'une ascendante, l'autre descendante, symétriques par rapport à l'axe vertical de la parabole.

Faisant^ = 0, on trouve x-=:ih sin 1 ol pour V amplitude du jet^ c'est-à-dire pour la distance horizontale OM parcourue par le mobile. Elle devient maximum pour «=. [\b^y et elle est proportionnelle à A, c'est-à-dire au carré de la vitesse initiale a. *

La hauteur maximum à laquelle le mobile arrive correspondra au point N, milieu de OM; faisons donc x z=h sin 2 a, et nous trouvons^- = h sin' a.

Cette hauteur taiaximum croit avec a et devient égale à h pour « = 90®. On retombe dans le cas du mobile lancé verticalement de bas en haut.

Comme x est proportionnel à r, le mobile arrivera en M au bout d'un temps double de celui qu'il emploie pour aller au plus haut point P, qui correspon i

au milieu de OM. Il s'ensuit que te temps qu'il emploie pour monter est égal à celui qu'il met pour descendre; ce temps est

- sma.

n. — MOÏÏVEHENT DU PXaiDULE ET HESUBU DE L'ACCÉLÉRATION ^.

Fig. 10.

Pour résoudre les diverses questions relatives à la pesanteur, il faut connaître l'accélération de la pesanteur, ou la quantité g^ On la détermine au moyen du pendule.

Concevons une sphère pesante B, soutenue à un obstacle fixe par un fil pouvant se mouvoir autour d'un point d'attache : cet appareil [Jig, lo) se

tient en équilibre dans la position verticale, et quand il est écarté jusqu'en C, il est soumis aux deux composantes P' et P" de son poids P, l'une qui tend le fil, l'autre perpendiculaire à sa direction et qui ramène la sphère vers sa position d'équilibre B. Cette force varie à chaque instant avec la valeur de l'angle d'écartement A ; elle diminue quand le mobile se rapproche de B, et devient nulle quand il atteint ce point. Elle n'est donc constante ni en grandeur ni en direction, et le mouvement qu'elle imprime se fait suivant des lois complexes qui ne sont pas celles du mouvement uniformément varié. Arrivé en B, le pendule possède une vitesse acquisç, et continue sa marche sûr l'arc BC; mais le poids agissant toujours sur lui se décompose comme précédemment en deux forces, dont l'une P', tangente à la courbe, détruit pendant la course ascendante les impulsions reçues pendant le mouvement descendant, et la sphère n'a plus aucune vitesse quand elle a parcouru l'espace «BC = BC. Ensuite elle recommence à descendre pour remonter jusqu'en C, puis elle revient en C; elle a donc un mouvement oscillatoire qui ne devrait jamais s'arrêter. Cependant, comme l'appareil ne pourra pas être réalisé sans qu'il y ait des frottements produits au point de suspension et des résistances opposées par l'air déplacé, on verra les amplitudes diminuer progressivement, et le pendule revenir bientôt à son

équilibre.

On nomme pendule simple celui qui serait formé par un point matériel