Prétendis, d'une manière absolue, que ies

connaissances les plus hautes en malhémaliques se réduisent à cette équation : A est A, e*est se jouer de la vérité, c'est blesser le sens conimun. Mais, que ces connaissances soient des perceptiQns d'une même identité qui, fécondée par l'entendement, présentée sous divers pomts de vue, revêt une iiiiinité de formes et constitue la science» je crois pouvoir rétablir. Prenous une idée mathématique et suivous-la dans ses transformations.

270. Cette équation cercle , = cercle (1) est incontestable, mais elle ne mène à rien. En effet, tout dans les Jeux termes est identique, idées, conception, e:qiressioas. Pour qu'il y ait progrès, il ne $utlira pas de changer Texpression ; le point de vue sous lequel la chose identique est pi éseniée devra changer pareillement. Abréger la formule et dire : C = cercle (2), c'est remplacer un mot par une lettre, voilù tout. Simple abréviation, progrès purement matériel. La différence entre les deux tci mes est dans Texpression, non dans le point de vue. Mais établissons le rapport entre la valeur du cercle et cdle de la circonférence; C = circontérence X 1/i R (3), c'est-à-dire, la valeur du cercle est égale à la circonférence multipliée par

la moitié du rayon. Il y a ici identité, cooimedaiisleg équations (i) et ; car la valeur désigaée par C est égale à la valeur de circonférence X 4/2 R. Toutefois, celle-ci diUère esseaUeilcmcntdes deux précédentes. L'identité, dans les premières» est conçue sous un Hième point de vue ; dans la troisième, si le second . membre de l'équation exprime, comme le premier, un cercle et le même cercle, il Texpi iuie dans ses rapports avec la circonférence et le rayon ; en même temps qu'il contient une sorte d iiialyse de Tidée du cercle» il rappelle une analyse antérieure. Donc, la din( n née entre les deux termes de l'équation n'est point seulement dans l'expression matérielle, mais dans les points de vue sous lesquels une même chose est présentée.

En désignant par N la valeur du rapport de la circoiiiérence avec le diamètre, et \n\v C le cercle, nous • obtenons cette équation : C=H (4), Ici encore, identité dans les valeurs, mais progrès notable dans l'expression du second membre de Téquation, lequel nous montre la valeur du cerde débarrassée de ses rapports avec celle de la circonférence, et ue dépendant que d'une valeur numérique N et d'une droite, le rayon. Donc, en conservaat ildeuUlé, par une suite de perceptions d'identité, nous nous sommes avancé dans * la bcience. Partis de cette proposition : cercle — cercle, nous avons atteint une proposition à l'aide de laquelle il nous est facile de calculer la valeur d'un cercle quelconque pourvu que le rayon nous soit connu. Considérons le cercle comme une courbe en rapport

212 LiVAË 1. ~ DE LA CERTITUDE.

avec deux axes, courbe doal les points sont déterminés relativement à ees deux axes; nous aurons Z = 2Bx — a:^ (5). Z exprimant la valeur de Fordonnée, B celle d'une partie de l'axe des abscisses, X Tabscisse qui correspond à Z. Nouveau progrès • d'idées, plus notable encore ; les deux membres de Téquation n'expriment plus la valeur du cercle, mais celle de certaines lignes à l'aide desquelles tous les points de la courbe sont déterminés. On comprend dès lors que la courbe dans laquelle se trouvait circonscrite la figure dont la géométrie élémentaire déterminait les prupi lélés, puisse cire conçue sous une autre forme, qu'elle puisse appartenir à un autre genre de courbes, et même constituer une espèce particulière en vertu du rapport des quantités 'ixyB; de sorte qu'en modifiant la formule, par Tadjonction d'une quantité nouvelle combinée de telle ou telle m<inière, on obtient une courbe d'une espèce différente. Ainsi, pour déterminer la valem* de la superficie enfermée dans cette courbe, nous pourrons considérer la superiicie, non dans ses rapports avee les rayons, mais dans ses rapports avec les aires comprises entre les diverses perpendiculaires dont les extrémités déterminent les points de la courbe et que Ton nomme ordonnées ; d'où il résulte que la valeur du cercle se peut déterminer sous des aspects différents, nonobstant que cette valeur soit toujours iden-* tique. La transition d'uu point de vue à Faulrc est la succession des perceptions de l'identité, présentée sous des formes nouvelles.

Supposons maiateiiaiit que la valeur du cercle dépend du rayon, ce qui donne C » ta quantité composée ou fonction z (6) ; cette équation noui amène à eoncèvoir le cerde sous Tidée générale d'une fonction de son layon ou de X, et par conséquent nous autorise à le soumettre aux lois qui régissent toute quantité composée. Nous voilà aux propriétés des différences, aux propriétés des limites et de leurs rapports , c'est*à«*dire dans le calcul infinitésimal, dont les termes nous présentent ridentiié sous une forme qui nous rappdle un long enchaînement dln dées et d'analyses profondes. Ainsi, en exprimant la diiféreniielle du cercle par dc^ son intégrale par Sde^ nous aurons c = Sdc (7), équation dans laquelle

on exprime la même valeur que dans celle-ci : cercle z=z cercle, mais avec cette différence que la der» nière équation rappelle d'immenses travaux analytiques, qu'elle est le résultat d'une longue succcession d'idées, le résultat du calcul intégral et du calcul diUerenliel, de l'application de Talgèbre à la géométrie, catin d'une infiiiilé de notions élémentaires, de règles, de comlHnaisons. Lorsqu'on arrive, au moyen des calculs les plus abstraits et les plus délicats, à trouver la valeur du cercle, il serait extravagant de prétendre que Téquatlon trouvée n'est autre que celle-ci ; cercle = cercle. Toutefois, on peut aftirmer qu'il y a au fond identité, et que la différenced'expres* sion à laquelle nous sommes parvenus est le fruit d'une série de perceptions de la même identité, pré« sentée sous des aspects différents. Si nous exprimons

214 uYjkiË L — m kA uiHxmm^ yw les lettres ABCDEM le» iééet tueottiiwi que iious aYOAS été fDFoéft de parcdurîjr, 1» loi de leur ei^ ebatnenettt pourra se fomuAer ëe eette mnàre : A=sB, B==« C, C = i>,i)«=E,E«M';doiic A=:M.

Ne clierclK>ii9 qM dm It OMsIitiitHUi de notre înteUigcuce la k>i de ees anoxnalks. La plupart dft MfS connatsgaDceg se eoHipoieiit dtf percqrtiaM

successives. L'esprit humain ne parvient que par le travail à voir dABS les idées- ce que cee idée& caatieih- Btfit* De là, peur hii^ la néeeisiléde eaneevttir sons des iioriues^ nou-seulemeut distinetes, mais dHHLér rentes^ les choses même les |iliis simptes; et, par une correspondance lut^r veilleuse, lu laculté de dé« | ceeaposer oe qu'elle eooçcÂt, et de multiplier, dans i

J'oi dre des idées, ce qui eii rcalilé est U7i ; laeuUc I stérile, toutefois, si TnateUigeftee, en passant d'une idée à Fautre, n'ayatt le moyen d'enchalmy ces idées et de se souvenir.

Ce moyen, rentendemênt le possède dans les sh gnes écrits, parlés ou penses; signes mystérieux, qui Don-senlement expriment une idée^ mais sont quelquefois le résumé d'une longue suite d'idées, et de Fexpérianoe des ûôcles. Âu moment où le signa s'offre à nous, certes, nous ne voyons point avec une entière clarté ce qu'il exprime, nous ne saisissoiu point, d'un premier r^purd, le pourquoi de la légith> miié de Texpression ; mais nous en connaissons le 0em d'une manière oonfuse ; nous savons qu'il nous e^t facile de renouer le lil des perceptions par les-

ii«iUe9 noua avons pMsé» do remrateTt en revenait

sur o#6 pas, jusqu'aux éléments les plus sioipies de la science. Le inaihématlîcMn ^on oaieiile ne «mMC

la valeur 4es expressions dont il se sert qu'en tant qu'eues «a rapportont, d'une «aanidre inmiédiate, à l'objet qui rocciipe ; mais il est assuré que ces exprèsirioM ne le InMopent point, que ies^€^[ies qui le-gtÊhdent reposent mr des principes «eNdement ét^iblis. Les dévetoppemeuls d'une science se peuvent com* panr è ime suite de mlonnêa mfUiaires ; litigétiteiir ffiAëve les chitires gravés sur ces eolannes, sans avok" b«ain 4e levenir an travail aiitérietir par lequel il a induré les distances partielles. 11 lui sul'lit de savoir que les opérations mt élé JMen faites, qneles résultats ont été lidèlement inscrits.

â72« Attx preuves nombreuses que nous c^ons données de cette nécessité de décompoaltîert, nous pouvons ajouter l'exeo^le de renseignement en général. Veut-on faire comprendre à des commençants ce problème géométrique : tous les diamètres d'un même cercle sont égaux, il faut exposer, sous forme de démonstration, ce qui n'est qu un souvenir, (|u'une ex^ication do cercle. Pour tracer une circonférence, on établît un point autour duquel tourne une ligne nommée rayon. Or, le diamètre n'étant autre chose que l'ensemble de deux rayons continués en une même ligue, il semble qu il devrait suOire d'énoncer le théorème, c'est-à-dire de déinir le cercle pour dorni^ ridée du diamètre. Il n'en est pas ainsi cependant. Afin d^étaMfar cette vteité que les mathéma*tiiâena exercés perçoivent pur une seule iutuitiou cl

i'IVBI 1. — m LA GBRTrruis.

ém» une seule idée, le neutre est forcé d employc^un long enchataemmt d'idées*

373. Nous pouvons maintenant apprécier, à sa valeur, l'opinioD de Dugald Stewart (ÉlémenU de la jPhUosophie de V esprit humain). € Il est permis de 4outer que même Téquation arithmétique 2 2 « 4 «e puisse représenter d'une maiiièi e exacte par la formule A Bs A. Cette opération énonce l équivalence de •deux expressions différentes^ équivalence dont la dé- «iuverte peut avoir une importance décisive en un grand nombre de cas ; tandis que la formule A » A, entièrement iusiguiûante, est pratiquement sans apptkation* Que sera-ce donc si Ton prétend la comparer au binôme de Nev^rton? La comparer à Téquation S 4- 3 = 4 (équation qui, par son extrême simplicité, peut passer pour un axiome), c'est, à mon avis, un ^paradoxe. Toutefois, ce paradoxe ne nous révolte pas «outre mesure; mais, dans le second cas, il estimposfsible de lui donner un sens. (2^ part., ch. ^, sect. 3, jparag. î.)

N'en déplaise au philosopiie , l'absurdité du paradoxe tient à Terreur dans laquelle il est tombé luimêkne. Nul n'a prétendu nier l'importance de la découverte de Newton ; nul ne conteste que sa formule Tie soit un grand progrès sur celle-ci : AaA. liais là u'est point la question ; il s'agit de savoir si la iormule du bin6me est plus que Texpression de choses identiques, et si l'expression elle-même est ou non le iruit d'une suite de perceptions d'identité* Présentée le point de vue de Dugald Stewai't , la quesUou