NON GÉOMÉTRIQUES

29. Rien que très-différente de la représentation sensible, l'idée a des rapports nécessaires avec elle, rapports qu'il convient d'examiner. Observons que le mot nécessaire s'applique uniquement à notre mode actuel de compréhension, abstraction faite de ce qui se passe dans les intelligences d'un autre ordre et même dans l'esprit de V homme, soumis à d'autres conditions. Dès que nous sortons de la sphère de l'expérience, soyons sobres de propositions générales. N'est-ce pas folie d'appliquer à toutes les intelligences les qualités de la nôtre-, eh ! savons-nous les modifications que l'âme humaine devra subir dans le monde meilleur. Après avoir ainsi séparé ce qu'il serait dan-

CHAl>. V.— IDÉES >iON GÉOMÉTRIQUES. 213

gereux de confondre, nous allons étudier les rapports de nos idées avec la représentation sensible.

30. Selon la différence de leur objet, nos idées se classent en idées géométriques et non géométriques. Les premières embrassent le monde sensible tout entier, en tant qu'il est perçu dans la représentation de l'espace ^ les secondes s'étendent à tous les êtres , qu'ils relèvent ou ne relèvent point des sens : les unes supposent un élément primitif , la représentation de l'étendue. Dans leurs divisions et subdivisions, c'est toujours l'étendue limitée et combinée de diverses manières. Les autres n'ont aucun rapport avec l'espace ou le considèrent seulement en tant qutî nombre et dans sa divisibilité. De là une Hgne de démarcation entre la géométrie et l'arithmétique universelle ^ la première ayant pour base l'idée de l'étendue ^ la seconde l'idée de nombre, soit d'une manière déterminée comme dans l'arithmétique proprement dite, soit en général comme dans l'algèbre.

31. Remarquons ici la supériorité des idées non géométriques sur les idées géométriques. La géométrie ne saurait faire un pas sans appeler 1 arithmétique à son aide ^ celle-ci n'a nul besoin de la géométrie. L'arithmétique et l'algèbre, à partir des notions élémentaires jusque dans leurs opérations les plus élevées, n'impliquent pas une fois l'idée de l étendue, ou ridée géométrique. l\ n'est pas jusqu'au calcul infinitésimal lui-même qui , sorti de la géométrie, ne se soit émancipé pour constituer, à part, une science indépendante. La comparaison des angles, point fon-

damental de la science géométrique, qu'est-ce autre chose que la mesure de ces angles ? Or le terme de rappel est un arc de circonférence, divisé en un certain nombre de degrés : nous voilà revenu à Vidée de nombre. Il s'agit de compter, nous sommes sur le terrain de l'arithmétique.

La superposition , nonosbtant son caractère éminemment géométrique, implique elle-même, en tant du moins qu'elle se fait plusieurs fois, l'idée de nombre. Si l'on suppose deux arcs parfaitement égaux, nous n'avons que faire de la numération ; mais supposer deux arcs inégaux et comparer le plus petit au plus grand, un certain nombre de fois, n'est-ce pas compter î n'est-ce pas employer l'idée de nombre^ Nous voilà de nouveau sur le terrain de l'arithmétique. Nous comparons entre eux les rayons d'un même cercle, et nous prouvons leur égahté par la méthode de superposition , abstraction faite de Tidée de nombre, j'en conviens \ mais voulons-nous connaître le rapport du diamètre avec les rayons , nous nous aidons de F idée deux ; le diamètre est le double du rayon. Ne sommes-nous pas une fois encore dans le domaine de l'arithmétique. A mesure que la géométrie s'étend et s'élève, l'arithmétique lui devient plus nécessaire. Ainsi le triangle implique nécessairement l'idée du nombre trois -, une des propriétés essentielles du triangle contient l'idée de somme^ deux et trois, La somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits.