CHAPITRE V

CONSIDÉRATIONS SUR L'APPLICATION DE l'IDÉE DE L'INFINI AUX QUANTITÉS CONTINUE ET DISCRÈTE, EN TANT QUE CETTE DERNIÈRE S'EXPRIME EN SÉRIES.

3i. L'idée de Fintini s'applique aux ordres les plus divers^ ce qui donne lieu à des considérations importantes, lesquelles jettent un grand jour sur la

question.

32. Du point où je me trouve placé, je tire une ligne vers le nord -, il est évident que si je la prolonge à l'infini, et je le puis faire, nulle ligne finie ne pourra l'égaler en longueur, parce qu'une ligne finie n'atteindrait jamais qu'un certain point de la ligne infinie ^ donc la ligne dont il s'agit est infinie dans toute la force du mot. Point de milieu, disons-nous, entre le fini et l'infini -, nous venons de démontrer que notre ligne infinie l'emporte en longueur sur toute ligne finie-, donc elle ne saurait être qu'infinie.

Cette démonstration qui paraît concluante est sans valeur. En effet, l'infini n'a point de limites. Or, la ligne dont il s'agit, partant du point où vous vous trouvez, et s'étendant vers le nord, ne s'étend point

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vers le sud ^ donc elle a une limite : le point de départ.

33. Cette ligne l'emporte sur toutes les lignes finies; mais on peut trouver une ligne pliS longue qu'elle. Prolongez à l'infini, dans la direction du sud, celle qui va vers le nord, vous aurez une ligne double de la première.

34. A première vue, on croira qu'il ne saurait exister de valeur linéaire supérieure à la valeur d'une droite prolongée à l'infini, en des directions opposées; toutefois il n'en est point ainsi : vous pouvez tirer une Ugne finie ou infinie, et leur somme vous donne une valeur linéaire supérieure; donc la première n'était pas infinie. Comme rien n'empêche de tracer une multitude de lignes de cette espèce, chacune d'elles n'étant qu'une partie de la somme totale, il suit que nulle de ces lignes n'est infinie.

35. Quelles conclusions tirer de ces coniradictions apparentes? — Que l'idée de l infini se prête à diverses appUcations et qu'elle est indéterminée. On ne peut douter eu effet qu'une ligne prolongée à l'infini n'ait une certaine infinité, puisqu'elle est sans limites dans les directions qu'on lui suppose.

36. Il suivrait de cet exemple que l'idée d'infini n'a rien d'absolu, puisque, même dans les intuitions sensibles, les points de vue sous lesquels l'infini nous apparaît se contrarient les uns les autres.

37. L'observation que nous avons faite sur les valeurs linéaires peut s'entendre aux valeurs numériques exprimées en séries. On parle de séries mathématiques infinies; mais en existe-t-il? Soit la série a, 6,

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c, cZ, ^..., série infinie si ses termes se continuent à l'infini^ et, partant, infinité sous un rapport, cette série n'ayant point de dernier terme formant la limite^ toutefois il est évident que le nombre des termes de cette série ne saurait être infini .

Supposons, par exemple, que je continue la série de gauche à droite, en la commençant de droite à gauche sous cette forme :

e, d, c, 6, I a, 6, c, d, e^ il est évident que le nombre des termes sera doublé. Donc les séries ne sont point infinies et ne sauraient l'être dans le sens rigoureux du mot.

38. Que dis-je? la série fût-elle prolongée en des directions opposées, l'infinité ne s'y trouverait pas.

La somme de deux séries serait supérieure à une série : or, quel que fût le nombre des séries, on en pourrait toujours imaginer de nouvelles, ce qui prouve qu'il ne peut y avoir de série infinie dans le sens que les mathématiciens donnent à ce mot, c'est-à-dire en tant que continuation de termes n'excluant pas la possibihté d'autres continuations à côté de la série que l'on suppose infinie.

39. Les mêmes difficultés se présentent dans Finfini de surface. Soit un plan infini-, il est évident que l'on peut tirer une infinité de plans distincts du premier, et qui le coupent en une infinité d'angles-, la somme de ces surfaces sera certainement plus grande qu'aucune des surfaces particulières : donc un plan prolongé à l'infini dans toutes les directions ne constitue point une véritable surface infinie.

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40. Mais il en est peut-être autrement d'un solide se dilatant dans toutes les directions. Observons toutefois, avant de prononcer, que l'idée mathématique du solide n'implique pas l'impénétrabiUté ^ d'où il suit que dans un solide infini nous pouvons placer un autre solide infini dont le volume ajouté au premier devra donner une valeur double du premier. Soit E un espace vide que nous supposons infini ; soit M un monde d'une égale étendue que nous plaçons dans cet espace -, il est évident que E + M sera jdus grand que E. Ainsi, bien que nous supposions l'infini égal à 00, M étant pareillement égal à oo, il résultera E -f- M = 00 -|- 00 = 2 00. Or, comme cette valeur exprime le volume, le premier infini ne sera point infini, puisqu'il peut devenir double. Si vous faites abstraction de l'impénétrabilité, l'opération se pourra répéter jusqu'à l'infini -, donc le premier infini, loin de mériter ce nom, semblerait n'être qu'une quantité susceptible d'accroissements infinis.