CHAP. IX. —CONCEPT D'UN NOMBRE INFINI

des principes établis dans le chapitre précédent. Je ne vois point de difficulté à admettre l'idée d'un nombre infini^ je ne vois point que cette idée implique aucune espèce de contradiction.

70. Un nombre est un ensemble d'unités ; l'idée nombre est éminemment générale. Pour concevoir le nombre, nous n'avons besoin ni de savoir à quelle classe les unités appartiennent, ni combien elles sont. Le nombre, en général, fait abstraction d'une manière absolue de toute propriété déterminée. Quelque grand , en effet , que soit un nombre déterminé, il est évident que nous pouvons en concevoir un plus grand, et que si nous assignons une limite à ce nombre, nous pouvons la reculer sans cesse, de telle sorte que la limite de l'un ne soit point la limite de l'autre. Il suit que l'idée nombre implique l'idée de limite et celle de négation d'une certaine limite ^ or, si nous unissons à l'idée de nombre en général celle de négation de toute limite en général, nous aurons l'idée d'un nombre infini.

71 . Mais que représente cette idée ? rien de déterminé : c'est un concept entièrement abstrait , formé de deux concepts abstraits, nombre et négation de limite. Il n'y a rien dans les objets détermines qui lui corresponde ^ œuvre de notre esprit , lequel s'exerce sur certains objets, d'une manière générale et indéterminée.— Nous voilà désormais en état de résoudre les difficultés précédemment indiquées.

72. Si Aous cessons de considérer comme infini une série de termes qui nous avait d'abord paru telle

ar

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c'est que nous cessons d'appliquer la négation de limite sous les mêmes conditions.

Soit la série A, B, C, D, E

Il est évident que nous pouvons la prolonger à l'infini et la concevoir sans limite : dans ce sens, le nombre des termes est infini, parce que Fidée négation de limite est réellement appliquée à la série. Mais demander si le nombre des termes est infini d'une manière absolue, c'est faire abstraction de la condition à laquelle nous avions attaché la négation de limite : ce qui était infini dans une hypothèse ne saurait l'être en une hypothèse toute différente. Toutefois, il n'y a point de contradiction, parce que le oui et le non s'appliquent à des suppositions d'un ordre différent.

73. Soit une ligne que nous mesurons par mètres; à mesure que la ligne se prolonge, le nombre des mètres se multiplie; or nous pouvons concevoir cette multiplication en tant qu'infinie, et dans ce cas, le nombre des mètres sera infini. Que si, sachant que le mètre comprend six décimètres, nous prenons le décimètre pour unité, nous avons pour résultat un nombre dix fois plus grand; voilà deux infinis dont l'un est plus grand que l'autre -, y a-t-il quelque contradiction ? non assurément. Car, dans le premier cas, l'idée de négation de limite était subordonnée à une condition, la division en mètre : dans le second, nous introduisons une condition différente, la division en décimètres.

74. Mais , dira-t-on peut-être, ces nombres, considérés en eux-mêmes, qu'ils se rapportent à des mè-

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très ou à des décimètres , sont égaux ou ne le sont point -, partant ils sont ou ne sont pas infinis. L'objection s'évanouit si vous relevez l'équivoque sur laquelle elle repose. En faisant abstraction de tout rapport à des divisions déterminées , vous considérez le nombre en général ; or, dans cette supposition, il n'y a point deux cas différents, mais un seul -, donc il ne peut y avoir rapport de plus grand ou de moindre. Vous vous trouvez en présence d'un concept unique, du concept de nombre , en général , combiné avec ridée de négation de limite, aussi en général ; c'est pourquoi le résultat doit être le nombre infini dans toute son abstraction.

La difficulté gît dans une contradiction que l'on ne remarque point à première vue ; vous voulez faire abstraction de toute condition particulière pour savoir si les nombres sont infinis ou ne le sont point , et vous supposez en même temps ces conditions, puisque l'objection implique diverses espèces d'unités. Il s'agit de telle espèce de nombres, et vous prétendez considérer les nombres en eux-mêmes ; contradiction manifeste, puisque vous les prenez en même temps avec et sans conditions particulières.

75. Nous conclurons de ce qui précède que l'idée de nombre infini , purement abstraite, considérée en dehors de tout rapport individuel et déterminé, n'implique aucune contradiction , puisqu'elle ne contient autre chose que ces deux idées, nombre, ou ensemble d'êtres, et négation absolue de limite : mais nous ne saurions affirmer, sur cette seule donnée, que le

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nombre infini soit réalisable. Le nombre intini ne peut être actuel si Ton ne suppose un ensemble infini d'êtres^ or ces êtres réalisés doivent avoir leurs propriétés caractéristiques et sont soumis aux conditions que ces propriétés leur imposent. Comme dans le concept général on fait abstraction, d'une manière absolue, de ces conditions, il est impossible de découvrir, par le concept seul , la contradiction que ces conditions peuvent emporter avec elles. De là, bien qu'il n'y ait dans le concept aucune contradiction, il arrive souvent que Ton vient se heurter contre cette difliculté, dès qu'il s'agit de faire descendre l'idée dans le champ de Texpérience -, le concept général et indéterminé n'est point contradictoire ^ la contradiction ne se fait voir que dans la réalisation. C'est ainsi que certaines mécaniques, parfaites en théorie, ne peuvent fonctionner, parce que la matière sur laquelle elles devraient agir ne le permet point. Les êtres finis sont, pour ainsi dire, la matière dans laquelle se doivent réaliser les concepts métaphysiques et indéterminés. De ce que les uns sont possibles, il ne suit point absolument que les autres le soient. La réalité peut entraîner avec elle certaines propriétés déterminées, lesquelles impliquent une contradiction à l'état latent dans le concept général -, contradiction que la réalité met en évidence.

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