CHAP. XII. — DIFFICULTÉS SOULEVÉES. SOLUTIOM

l'être, on entend parler de Tinfinité essentielle, de cette infinité qui implique nécessité d'être et indépendance SOUS tous les points de vue j mais il ne s'agit point d'une infinité relative, comme le serait l'infinité de l'étendue.

Soutenir à priori que l'étendue infinie est impossible parce que toute propriété de la substance finie est finie, c'est supposer ce qui est en question : il s'agit, en eifet, de savoir si l'une des propriétés de la substance, l'étendue, peut être infinie. Avant d'affirmer que nulle de ces propriétés ne peut l'être, il faut prouver que l'étendue ne l'est point. Impossible autrement d'établir la proposition négative : u Nulle propriété de la substance finie n'est infinie. » On le voit, l'argument que nous combattons implique en cfuelque sorte une pétition de principe, puisqu'il se fonde sur une proposition générale dont nous ne pouvons être certains avant d'avoir résolu la question présente.

86. L'étendue infinie devrait être la plus grande de toutes les étendues -, or aucune étendue ne peut avoir ce privilège. Une étendue quelconque étant donnée. Dieu peut en retrancher une partie, un mètre, par exemple^ or, dans ce cas l'étendue infinie devient finie; mais comme la différence entre Tune et l'autre ne serait que d'un mètre, il suit de cette hypothèse que la première elle-même n'était pas infinie. Il est absurde en effet de prétendre qu'entre le fini et l'infini il n'y a qu'un mètre de différence.

Cette difficulté mérite qu'on l'approfondisse ; car, à première vue, elle paraît insoluble.

in.

110 Ï-ÏVRE VIII. — L*INFINI.

Uon dit : La différence entre le fini et V infini ne peut être finie. Je ne crois point cette assertion parfaitement exacte. Observons que la différence entre deux quantités positives, finies ou infinies, ne saurait être infinie d'une manière absolue, dans le sens de décroissance. La différence est F excès d'une quantité sur une autre quantité. Différence implique une certaine limite^ par cela même, en effet, qu'il ne s'agit que d'un excédant, on entend que la quantité dépassée n'entre point dans la différence. Soit D différence, A quantité supérieure, a quantité inférieure : en aucun casD ne peut être infini. Supposons D= A— a; dans cette supposition, D+a=A ; donc pour que la valeur D puisse atteindre la valeur A, il faut lui adjoindre a ; donc D ne saurait être infini.

Que si nous supposons A infini en faisant A == oo, nous aurons D = A— a= oo— a; ce qui nous donne D + a = oc. Donc afin que D devienne infini, il faut lui adjoindre a-, et nous n'aurons jamais D= oo autrement que dans la supposition de a =» o : or, puisque l'équation D = A— a aura été convertie en D ^ A— 0 = A, la différence ne sera point réelle, mais

supposée.

Donc entre des quantités positives point de différence infinie absolue^ il est certain du moins que la différence ne peut être infinie dans le sens de décroissance : dans ce cas, réunir les deux idées, différence et infini, c'est tomber dans une contradiction '.

« Il s'agit ici de la différence entre quantités positives ; car, relativement à des quantités d'une antre espèce, on pent re-

CHAP. Xn.— DIFFICULTÉS SOULEVÉES. SOLUTION. 111

La différence entre une quantité infinie et une quantité finie donnée ne sera point une quantité finie donnée : cette différence est infinie en un certain sens. En effet, dans la supposition que la ligne donnée est finie, nous la pouvons superposer à la ligne infinie en l'une de ses directions, quelle qu'elle soit, et à partir de l'un des points de cette ligne, quel qu'il soit^ elle mesure une certaine étendue de la ligne infinie. Supposons maintenant une seconde ligne finie par laquelle il s'agit de représenter la différence cherchée ^ nous devrons la superposer à la ligne infinie à partir du point 011 la première ligne finie se termine : or il est évident que la seconde ligne se terminera de même en un autre point, selon sa longueur, et qu'elle ne pourra mesurer la différence de la ligne infinie à la ligne finie.

Même résultat par la forme algébrique. Soit A une valeur finie donnée : la différence entre A et oo ne saurait être une valeur finie donnée. En exprimant la différence par D, nous aurons oo — A== D : donc D-|- A = ^. Si les deux valeurs étaient finies, il résulterait un infini de deux valeurs finies données, ce qui est impossible.

Donc une différence peut être infinie d une certaine manière, selon le sens dans lequel est pris le mot infini. Du point où nous nous trouvons, on tire vers le nord une ligne prolongée à Tinfin ^ cette ligne

présenter algébriquement une différence infinie. Soient ces deux quantités: (oo —a) et (—a). En cherchant la différence , nous avons : D= (x—o) — (—«)= x—a -J-rt= 30 .

ut LIVRE VIII. — L*INFINI.

déjà se prolongeait à l'infini dans la direction du sud; en un sens, la différence entre la somme des deux lignes et Tune des deux lignes est infinie (Chap. vni).

Il en est ainsi des expressions algébriques : la valeur infinie 2 oo, comparée à oo, donne pour résultat 2oo — 00= 00.

En général, d'une valeur infinie quelconque, nous pouvons tirer relativement à cette valeur une différence finie quelconque, pourvu que le terme à soustraire ne soit point une valeur finie donnée. Soit oo la valeur infinie : cette valeur contient toutes les valeurs finies de son espèce, et, partant, la valeur finie A; je puis donc former cette équation : oo — A=B. Quelle que soit la valeur de B, je tiens que le rapport de B à 00 est A -, car en ajoutant A à B, il résulte oo. L'équation oo — A=B me donne B -f- A = oo, et pareillement oo — B=A : or,4- comme A est une valeur finie donnée dans la supposition, et que A est la diff*érence finie donnée entre oo et B, il résulte que Ton peut trouver une différence finie dans toute valeur infinie.

D'où l'on voit qu'il est possible d'assigner à une étendue infinie une différence finie, sans lui enlever son caractère d'infini. L'infini, par cela seul qu'il est tel, implique tout ce qui appartient à l'ordre d'infini qui lui est propre. Prenons quelle que ce soit de ces valeurs infinies -, à la considérer comme une différence, il résultera une différence finie. Mais, loin de prouver contre l'infini de la valeur en question, ce fait le confirme ; car il prouve que tout le fini se trouve compris dans l'infini.