DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XI

d'espace \ Nous ne dirons rien des axiomes géométri* ques, qui échappent à la discussion par leur évidence même, principes nécessaires, que la raison nous fournit à roçcasion de l'expérience, principes improductifs, mais irnlispensables, d*où rien de nouveau ne peut sortir, mais sans lesquels on ne peut obtenir aucun résultat en géométrie , et qui , d'ailleurs , ne sont qu une application d'axiomes plus généraux et communs à toutes les sciences^. Nous nous attacherons seulement aux définitions, principes féconds, qui contiennent en eux implicitement la géométrie tout entière , et d'où on la feit sortir , par voie de développement, à laide des axiomes ^ • Parmi ces définitions, il y a deux classes princfpa^ à établir. La première , peu nombreuse , contient les définitions de mlions ^omitriquei générales, indépendantes de toute forme paMiculière. C^ notions se subdivisent en notions élémenlaires, telles que celles de solide , de sur&ce , de ligne, de point, d*angle, de forme, de dimension, d'aire, de volume; et en notions de roffOê^ts, telles que celles de

1 2' part.» chdp. 10. Sur Torigine psychologique de ces noUons, voyez plus loin, drap. 19.

2 Prenons pour exemple cet axiome : deux grandeurs géométriques » <^gales toutes deux à une troisième» sont égales entr*elles. C'est une appli* cniion de cet axiome plus général et applicable en dehors de la géométrie : ^ux quantités, égales à une troisième , sont égales entre elles» Cet axléme lui- même est un cas particulier de cet' autre axiome plus général encore, et applicable en dehors des objets qui ont une quantité mesurable : deux choses i(ienliques à une troisièn.e sont identiques entre elles. Par exempte, deux propositions , identiques à une troisième par leur signification , ont toutes deux une même signification ; ou bien, quand de trois sensations distinctes par leur date deux sont identiques par leur essence à la troisième, elles sont ^identiques entre elles par leur essence.

3 Voyez Fribault» IHssertations sur la fnétq^hysique de la géométrie , ddns ^^'^ Fragments philosophiques de M. Cousin, 3* éd., t. 1, p. 599 et suiv.

perpendicularité , de parallélisme, d'égalité, de similitude, d'équivalence. La deuxième classe , extrêmement nombreuse, contient les définitions des notions géométriques particulières, dépendantes des diverses fornies idéales de Tétendue : telles sont les définitions des diverses espèces de lignes , de surfaces » de solides. C'est surtout à ta première classe que nous nous attacherons, sans nous inquiéter de la subdivision que nous renoDS d'y établir , et en invoquant seulement , au besoin, quelques définitions qui appartiennent à la seconde classe. En effet , noire objet est de montrer la valeur philosophique et Tenchainement logique des définitions des notions générales de la géométrie , et non de classer ces définitions d'après leurs objets et leur application usuelle. C'est en procédant ainsi , que nous espérons pouvoir présenter quelques aperçus neufs et utiles , qui se rattachent aux considérations générales que nous venons d'exposer sur l'espace et l'étendue.

Le volume d'un corps est la quantité d'étendue qu'aurait ce corps s il était continu : c'est son étendue apparente. Tout corps géométrique est supposé continu : le volume d'un corps géométrique est son étendue idéale. La masse d'un corps réel est la somme des quantités d'étendue des atomes premiers dont ce corps se compose : c'est son étendue réelle. La somme de l'étendue réelle et des interstices est égale à l'étendue apparente. Dans un corps géométrique, il n'y a pas lieu de distinguer entre le volume et la masse, entre l'étendue apparente et l'étendue réelle, puisque son étendue est idéale et continue.

La masse d'un agrégat d'atomes est toujours plus^ petite que le volume de cet agrégat et ne lui est point proportionnelle. Ainsi l'égalité de masse n'entraîne poin^

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elle de volume , ni. réciproquement : ce n'est que dans atome premier que la masse et le .volume se confondent.

La masse d'un corps réel ne peut être connue par Fobervation directe; mais celle des corps pesants est supposée proportiônnetje à leur poids, et c'est ce poids qui sert i 1 estimer. On peut dire que ce n'est là qu'une hypohèse; mais, outre qu'elle est très -vraisemblable en ellenème , il faut remarquer qu'elle s'appuie sur des faits qu'elle explique et dont il est difficile de concevoir aucune autre explication. La résistance inerte d'up corps qu'on veut mouvoir, et la force d'impulsion d'un corps doué d'une certaine vitesse, pour en mouvoir un autre en le choquant , sont ^toutes deux toujours proportionnelles au poids du corps ' , quelle qu'en soit la nature. D'où peut venir la constance de cette proportionnalité pour des corps de nature différente , si ce n'est de ce que , dans tous les corps de nature quelconque, la résistance inerte , la force d'impulsion et le poids sont tous ensemble proportionnels à la masse*?

On suppose ici que tous les corps dont on compare les masses à l'aide des poids sont soumis à une force attractive également intense. Quand il n'en est pas ainsi , les masses des corps sont égales à leurs poids divisés par les intensités des forces attractives qui agissent sur eux dans les lieux où ils se trouvent'. En effet, a égalité de poids, lésinasses, si elles sont inégales, doivent être en liaison inverse des forces attractives.

La forme d'un corps est son étendue considérée seule-

^ Voyez plus loin, cbap. 13. — . 2 Voyez Whewell» Philosophy ofthe induC' fiffe sciences, book m , chap. vu, art. 5 , 2* éd. — 3 Ainsi , soient p le poids

<i'Mn corps, et g Tinlensilé de la force attractive, la masse du corps sera— .

les deux lignes qui se rencontrent en ce j^li^. peaveo être le prolongement d'une même ligno«.^ilâ|i»1|^viâQi d'une Ugne en deux par un point , ou Tud^l^Éax K gnes qui se rencontrent, ou toutes les deuni, pfilpal èln imaginaires : alors le point est idéal. Tout poilff est m divisible : ce n'est pas une quantité, mais s0|iefDea une limite*

Dans toute étendue solide, on peut coofiâdérer aies sur faces idéales , des lignes , des points , qui n'af^artiennea pas à la surface externe de cette étendue solide, mais qs sont dans son intérieur.

On nomme ligm droite la plus courte des lignes pos' sibles d'un point à un autre. Cette définiltoa suppos^ qu'entre deux pointB il ne peut y avoir deux ou plusieun lignes différentes , qui soient égales entre élira et courtes que toute autre ligne inégale à elles, menée eo ee9 deux mêmes points. Cette supposition, qu'on pai sous silence dans les traités de géométrie , est certainement vraie, quoiqu'on {misse en contester l'évidence absolue et immédiate , et qu'on ne puisse la démontrer directement dans toute sa généralité. En effet , prenee une ligne droite, c'est-à-dire une ligne menée emtredeui points et telle que nulle autre ligne nsenée en^e ce^ ifeus points ne puisse être plus courte ; ensuite prc^ez^^n p^nt quelconque hors de cette ligne : toute ligne passant par ce point , et terminée aux deux mêmes points que la première ligne, sera plus longue qu'elle, et, par conséquent, ne %era pas droite, comme elle. Cela est évidrat pour chaque cas particulier, et à Tinspection de chacun d'eux, il est évident que cela ne tient pas à une valeur particulière do la distance des deux points auxquels la ligne se termine ^ et que cela ne peut tenir à aucune autre particularité. On

DJSraiÉKE PAST». — GH APinE XI . 869

sldonc en dpoit de s'élever immédialeiDeûit, de'réyidwce 3n&tatée dans un seul cas particulier, à cette vérité géoé^ ûe , qu'entre deux points il ne peut y avoir deux ou plu» leurs lignes droites différentes, c'est*à-dire deux ou pluleurs lignes égales entre elles qui soient les plus courtes le celles qu'on peut mener entre ces deux points.

Toute ligne droite se compose de lignes droites; c'est* i-dire que les parties' de la plus courte des lignes possibles aitre deux points sont les plus courtes lignes poslibles' entre les points qui terminent ces parties, liais une igné composée de lignes droites peut n'être pas une ligne Iroite ; ear les lignes droites qui la composent peuvent D'être pas des parties de la plus courte des lignes possibles entre les deux points «trêmes de cette ligne. Prolongar une ligne droite, ce n'est donc pas seulement mener une ligne droite à jmrtir de Textrémité d'une autre ligne droite; e'^t mener, à partir de cette extrémité, une ligne droite telle quei^elle-ci et la première soient deux parties continues d'une àaême ligne droite totale.

On nomme ligne bri$ée celle qui , sans êlre droite , se compose de lignes droites. On' nomme courbe celle qui n'est ni droite^ ni composée de lignes droites d'une longueur appréciable.

On nomme flan une surface dans laquelle deux points (quelconques peuvent toujours être unis par une ligne «droite qui ne sorte pas de la surface, si ce n'est à partir des points oii cette ligne coupe les lignes qui circonscrivent la surfece elle-même. Ija $ur face polyédrique se compose de ^ans : deux points quelconques d'une surface polyédrique peuvent toujours être unis par une ligne droite ou brisée qui ne sorte pas de la surËace, si ce n'est ^ partir des points où cette ligne coupe les lignes qui

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circonscrivent la surface. La iurface courbe n'est ni planei ni composée de plans d'une grandeur appréciable : touii Kgne droite ou brisée qui unit deux points quelconque d'une surface courbe sort de cette surface.

On nomme polyèdre un corps dont toute la sur&ce peu se décomposer en surfeces partielles qui soient toutes de plans.

VintervaUe^ en général , est la discontinuité des psr ties corporelles. L'intervalle , considéré comme quantil mesurable , est une certaine portion de l'espace , c'est-à dire la possibilité d'une certaine étendue , déterminée pa la condition d'être contiguë simultanément avec divei] points, diverses lignes ou diverses parties de la sur£ace d certains corps , tels qu'ils sont réellement ou tels qu il sont supposés être en un moment donné.

V intervalle $olide est la possibilité d'une certaine éten due solide. S'il est limité complètement par des surfaces il est parfaitement déterminé par elles , quant à son élen due et quant à sa forme. L'intervalle solide imparfaite^ ment circonscrit est imparfaitement déterminé quant à s^ forme, et tout-à-fait indéterminé quant à son volume. L volume d'un intervalle solide , abstraction faite de sj forme , se nomme capacité.

On nomme intervalle mperfidd la portion d'une surface donnée qui se trouve comprise entre des lignes réelles ou idéales. Si cette portion n'est pas entièrement circonscrit^ par ces lignes , elle est imparfaitement déterminée quaoj à ses limites , et tout-à*fait indéterminée quant à sa quan^ tité. Ainsi des lignes qui se coupent ne peuvent détermi ner à elles seules aucun intervalle solide , et elles ne peu^ vent déterminer même un intervalle superficiel, queutant qu'on les considère comme comprises dans une sa^