DECIIÉME PARTIE. -— CHAPITRE XI

Deux lignes de nature difTérente» terminées aux deux mêmes points, peuvent n'être pas du tout équivalentei, et deux lignei de nature différente peuvent être équivaimte$, c'est-à-dire avoir la même quantité d étendue linéaire , quoiqu'il y ait beaucoup plus de distance entre les deux points extrêmes de Tune d'elles qu'entre ceux de l'autre. Hmxilignes qui ont la même étendue linéaire et la même nature complètement, déterminée sont égale$, c'est-à-dire exactement superposables. La quantité d'étendue linéaire se nomme longiieur : elle se mesure à Taide d'une unité rectiligne.^j

La quaMé: ^éfndue solide , ou volume, se mesure à Taide d'une'^tpôité polyédrique. '^

Nous venods de. donner les définitions les plus générales concernant les corps géométriques , les surfaces , les lignes, les points, les intervalles et les angles; l'étendue solide , le volume et la masse des corps ; la forme des corps et des surfaces; la nature géométrique, la quantité, la mesura , l'égalité et Téquivalence des corps , des surfaces et des lignes. Comme nous l'avons remarqué en commençant , ce serait nous écarter de notre objet , que de donner ici les définitions des différentes lignes , des différentes surfaces et des différents corps géométriques. Il nous reste à parler des dimensions et de la similitude, notions importantes, qu'on n'a pas encore envisagées jusqu'ici d'une manière assez générale et vraiment philosophique.

On nomme dimension d'un corps une ligne terminée par deux points de la surface de ce corps , et servant à en apprécier le volume et la forme. Cela posé , il y a deux espèces principales de dimensions des corps, savoir : i* les dimensions rectilignes, qui peuvent traverser le

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corps et même en sortir ; V les dimenimM ^erpddk, qui peuvent être drdies , brisées ou curvilignes, mais dont chacune est une ligne menée d'un point à on autre dans la surface du corps« sans sortir de la surfine même.

On peut évidemment con^dérer dans un eorps uo nombre indéfini de dimensions, soit rectilignes, soit superficielles, lia considération des dimensions serait donc inapplicable > si on ne la restreigqaàt pas par certaines conditions relatives à la forme du corps. Par exemple , il est souvent important de connaitre la plus grande ëmmsion rectiligne d'un corps, c'est-à-dire la>d^ncerectiligne des deux points de la surface du ç^fps les plus éloignés l'un de l'autre en ligne droite.

Mais surtout il y a lieu de distinguer dans toute étendue solide trois faisceaux, composés chacun de dimensions reetilignes parallèles entre elles , et tels que toute dimension appartenant à un de ces faisceaux soit perpendiculaire sur toute ligne droite qui la coupe, et qui est parallèle à l'un quelconque des deux autres faisceaui. Il n'y a pas lieu d'assigner plus de trois directions^ aux dimensions liées entre elles de cette manipre; car, par un même point , on ne peut mener que trois lignes dont chacune soit perpendiculaire sur le plan des deux autres. Voilà pourquoi et en quel sens on dit que tout corps a. trois iimensions ^ . Pour un corps quelconque , la directioD d'un de ces trois faisceaux de dimensions étant donnée, le choix de la direction du second faisceau se trouve restreint par la condition qui veut qu'elle soit perpendiculaire sur celle du premier ; mais plusieurs directions peuvent satisfaire à cette condition. Les deux premières di-

1 Sur une autre manière, moins générale et moins logique, de considérer les dimensions, voyez plus loin, chai). ^2,

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rections étant données , la troisième en résulte nécessairement. On choisit ordinairement pour premier faisceau celui qui comprend la plus grande dimension du corps : c'est le faisceau des langueurs , dans lequel il suffit de coDsid^er la plus grande, qu'on nomme simplement longueur. Parmi les faisceaux perpendiculaires sur le premier, on choisit habituellement pour second faisceau celui qui donne la plus grande moyenne : c'est le faisceau des largeurs. Le troisième, qu'on n'a plus la peine de choisir , est celui des épaisseun. Mais souvent le choix des trois faisceaux est indiqué autrement par la forme du corps^ par exemple, quand on peut les prendre tels qu'un, ou deux , ou tous les trois , soient composés chacun de dimensions égales entre elles. D'autres fois, le choix est indiqué par la position fixe du corps, relativement à l'horizon: Alors le faisceau vertical est donné à priori : ce sont les hauteurs. Des deux Msceaux horizontaux que l'on choisit , celui dont la moyenne est la plus grande est le faisceau des longueurs et l'autre celui des largeurs. Souvent il 'est utile de connaître la plus grande ou la plus petite des dimensions de chacun des trois faisceaux , mais surtout la moyeime des dimensions de chacun d'eux, égale au quotient de leur somme par leur nombre, en les prei^ant très- rapprochées et à égale distance les unes des autres. En effet , lorsque toutes les dimensions que l'on considère dans un corps sont comprises entièrement dans ^on intérieur, le volume de ce corps est égal au produit de ses trois dimensions, si cbacua des trois faisceaux perpendiculaires entre eux se compose de dimensions égales 6Qtre elles. Sinon, il faut multiplier la plus grande dimension d'un des faisceaux par le produit des moyennes d^s ^^x autres faisceaux , et on aura ainsi le volume. Mais

il peut se faire que quelques-unes des dimensions sortent du corps , puis y rentrent. Alors il est quelquefois aisé de diviser le corps par la pensée en deux ou plusieurs parties qui ne présentent pas cet inconvénient , et il suffît ensuite de faire la somme des volumes partids ; ou bien on peut n^liger d'abord cette considération , sauf à déduire plus tard Je volume des cavités. Quand chaque faisceau se compose de dimensions inégales entre elles , et que la moyenne est difficile à trouver approximativement, la considération des trois dimensions perd de son importance pratique. Souvent il suffit de considérer une ou deux dimensions dont on connaît les rapports avec la forme du corps , par exemple , le diamètre ou le rayon dans la sphère , le grand axe et Texcentricité dans Fellipsoïde de révolution. Souvent aussi la géométrie fournit le moyen de reconnaître qu'un corps assez compliqué a un volume égal à celui d'un autre corps facile à mesurer » ou bien un volume multiple ou sous-multiple de celui de ce corps , ain3i que nous l'expliquerons bientôt. Enfin , la physique offire des moyens pratiques de trouver fes volumes des corps les plus irréguliers , sans s'occuper de leurs dimensions , par exemple, en plongeant chacun de ces corps dans un liquide , dont il déplace un volume égal au sien , en cherchant le poids du liquide déplacé et en concluant de ce pends le volume, d'après la connaissance que l'on a de la densité du liquide.

Parlons maintenant des dimefmons superfiàeUes des corps , c'est-à-dire de ceUes qui suivent les sinuosités de la surface. Il peut être important de considérer la phu grande longueur super jhielle d'un corps ^ c'est-à-dire la plus courte distance superficielle des deux points du corps entre lesquels il y a le plus de chemin en suivant les si*