DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE Xf. S

Pour ce qui concerne en particulier les surfaces planes, même proposition est d'une évidence plua ioinédiate. Ion détermine deux dimensions d'une surface plan^ ' deux plans perpendiculaires entre eux et perpendiaires sur la surface en question , il ne pourra y avoir e troisième dimension déterminée par un plan perpenulaire sur les deux juremiers ; car ce troisième plan se ifondra avec la surface dont on cherche les dimensions* bien lui sera parallèle. Si , les deux dimensions peradiculaires entre elles restant les mêmes , Tun des deux iDs qui les déterminent cesse d'être perpendiculaire sur surface en question , sans cesser d'être perpendiculaire r Fautre plan , d'autres dimensions pourront être dérminées dans la surface par des plans perpendiculaires r les deux premiers à la fois ; mais elles seront toutes irallèles à l'une des deux dimensions primitives. Par Qséquent, les dimensions d'une surface plane ne pournt jamais former que deux rangées qui réunissent ces îux conditions , d'être déterminées par des plans perîndiculjiires entre eux , et d'être composées chacune de mensions parallèles entre elles.

Dans les surfaces courbes -partielles , la plus grande imension superficielle, multipliée par la moyenne des imensions superficielles perpendiculaires à celle-là , onnerait Y aire, mais sans donner la 7iature géométrique , i la forme de la surface. D'ailleurs , la moyenne en ques- ^on , et même la longueur de la plus grande dimension uperficielle , seraient souvent bien difiiciles à estimer. 'i tous les points de la surface ont un rapport connu vec un ou plusieurs points fixes , la natwre de la surface st déterminée, la forme peut être étudiée à part, et Vaire e mesure plus commodément à l'aide de lignes qui ne

S82 PfllLOSOPHlE DE LA NATDRË.

soDt pas toutes comprises dans la surface. Cest ainsi qo pour mesurer commodément une portion de la surfa d'une sphère, il suffit de connaitre le rayon^de la sphè et le périmètre de la portion à mesttr^.

Quant aux surfaces polyédriques partiales, au lit d'eu chercher les dimensions , il vaut tai&âx , pour ( connaître à la fois Vaire, la nature et la forme , cherch les dimensions et la forme de ^cliacune de leurs fao planes, l'inclinaison de ces &ces entre elti6, et la pas tion de chacune dans l'ensemble de la surfece. L'aire ( celle-ci est égale à la somme des aires des différentes facei

Aussi est-ce moins pour les surfaces courbes ou polj driques , que pour les surfaces planes , qu'il y a lieu l s'occuper des deux dimensions. En effet, une surf» plane, étant d'une nature connue, est suffisamment dj terminée par sa forme, c'est-à-dire par son périmètre mais 5 pour la mesurer à l'aide d'une unité superficiel^ il faut l'étudier dans ses dimensions. Toute dimenM d^une surface plane, déterminée par Finlersection de cett surface et d'un plan, est la distance rectiligne'dedeu; points de son périmètre. Le nombre des dimensions es donc indéterminé. Mais on peut toujours considérer deui rangées perpendiculaires l'une sur l'autre et conoposée chacune de dimensions parallèles entre elles. On choisi ordinairement d'abord celle des rangées possibles où si trouve comprise la plus grande dimension : ce sont les longueurs. L'autre rangée, celle*des largeurs, est dès lors déterminée par la condition de la perpendicularité. Mais si , dans deux directions perpendiculaires Tune sur Tau tre, toutes les dimensions parallèles sont égales, ce sont ces deux directions qu'on choisit de préférence , et l'aire est égale au produit d'une dimension par la dimension

DBOXtÈHB PAUTIE. -- GHAPITlfi XI. 283

*peaéiçjii]t^e : c'est ce qui a lieu pour le rectangle. Si e pnr JlîBp e périmètre est une ligne droite plus longue e tmH^fes . dimensions qui lui sont parallèles, on at la "j^ii^re pour ba$e , et chercher la moyenne des rpendioulaires , qu'on nomme hauteurs. Le produit de plus grande longueur par la largeur moyenne, ou cède la hauteur moyenne par la base , ou en général le aduit de la plus grande dimension d'une rangée pur la Dyenne de la rangée perpendiculaire, donne Taire ou lantité de surface. Dans certaines surfaces planes de raies irrégulières , il y a des dimensions qui coupent le nmètre en plus de deux points , et qui sont en partie irs de la surface : il reste alors une soustraction à foire , rar avoir l!aire yéritable. Remarquons que souvent les moyennes seraient difficiles à trouver approximative- Ifôat. Mais la géométrie* rend la solution du problème bs simple , par la théorie des surfaces équivalentes , et irtout par la triangulation. Dans le triangle, la moyenne es hauteurs au-dessus du côté pris pour base est égale la moitié de la plus grande de ces hauteurs , et , par onséquent, Taire du triangle est égale au produit de sa ase par la moitié de la perpendiculaire abaissée du sommet sur cette base. On conçoit, dès lors, quel avantage on rouve à décomposer les surfaces planes en triangles , à Qoins qu'elles ne soient circonscrites par une courbe l'une nature connue et telle que la surface plane qu'elle lomprend soit facile à carrer approximativement.

Quand un corps office une surface plane facile à mesu- 'er, et telle que le corps soit compris tout entier entre les )erpendiculaires élevées sur elle en tous les points de son périmètre, on prend cette surface pour base, et on multiplie Taire de cette base par la moyenne des hauteurs au-

dessus d'elle : on a ainsi le volume du corpa» traèdre, la moyenne des hauteurs au-des pris pour base est égale au tiers de la p hauteurs S et, par conséquent, le volume égal au produit de la base par le tiers de .^^__, culaire abaissée du sommet sur le plan de cettedwe, piv longé s'il est nécessaire. Il est donc avànts^eux de A4 composer les corps en tétraèdres, à moins que leur snrfad totale ne soit d'une nature connue , et telle que le soUA qu'elle comprend soit facile à cuber approximatiTemenl

Une ligne est à elle-même sa dimension unique. Nom avons dit qu'on estime la longueur d'une ligne, c'est-à-dir| sa quantité d'étendue linéaire , à laide d'une unité rec^ tiligne. Quand une ligne est courbe , on trouve ainsi um ligne droite à laquelle elle est équivalente. En outre, quani une ligne est courbe ou brisée, il peut être utile 'de mw surer la distance rectiligne de deux de ses points* paii exemple de ses deux extrémités. Mais cette dbtance rà peut être appelée une dimejmon de la ligne.

Nous venons de définir les dimensions, et noBs^vonsj vu qu'elle^ servent surtout à mesurer les volumes des corps et les aires des. surfaces. La similitude géomébriquet '

1 Cette proposition serait difficile à prouver directement ; mais elle ré* suite de la comparaison de trois vérités , dont la première est presque évidente, quoique difficile à démontrer rigoureusement par les procédés de la géométrie élémentaire, et dont les deux dernières sont déknontrées par ce$ procédés : 1' Tout corps compris entre les perpendiculaires élevées sur le périmètre de sa base est égal au produit de cette base par la moyeDoe des hauteurs ; 2* tous les tétraèdres de même base et de même hauteur , ceux qui sont compris entre les perpendiculaires élevées sur tous les poiot^ des périmètres de leurs bases , comme ceux qui n'y sont pas compris loul entiers, sont équivalents entre eux ; 3* tout tétraèdre est égal au produit de ^ sa base par le tiers de sa hauteur.