DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE XI

Qt il neus reste à parier^ ne concerne en rien les voues et les aires. Elle ne peut exister qu'entre des corps, s surfaces ou des lignes qui , en vertu de leur définin générale, ont une même nature géométrique incom- ^tement déterminée, par exemple entre deux parallélipèdes, entre deux hexagones ou entre deux arcs d'el* ise. La similitude géométrique , relation spéciale autre le celle d'identité, peut exister ou ne pas exister entre h formes et les natures géométriques complètement dérminées de deux de ces corps ou de deux de ces surses, ou bien entre les natures géométriques complète- &nt déterminées de deux de ces lignes. Ainsi, deux parallipipèdes, par exemple, ne sont pas semblables en vertu ila définition générale du parallélipipède : s'ils sont sem. ibles, c'est par leur nature géométrique et leur forme raplètement déterminées; c'est en vertu d'un certain ipport entre les faces et les angles solides de l'un et les <îes et les angles solides de l'autre.

La similitvde géométrique de deux corps quelconques confite en ce qu'à chaque point de ces deux corps corresond dans l'autre un point dit homohgue^ de telle sorte ue , les deux corps étant convenablement placés , toutes ^ dimensions rectilignes menées par un point dans le tremier de ces deux corps soient proportionnelles aux dimensions rectilignes menées parallèlement aux premiers >ar le point homologue dans l'autre, et que les points honologues soient d'ailleurs situés de part et d'autre d'une nanière semblable, c'est-à-dire dans le même ordre et à les distances proportionnelles sur des lignes droites pafî^llèles. Ces dimensions rectilignes proportionnelles entre slles , menées par les points homologues dans les corps semblables , peuvent être nommées dimensions homob^

S86 PHILOSOnm M LA NATURB.'

gue$. On peut nommexrUgnes homologues les tigûes, a droites , soît courbes , qui dans les deux corps semU bles ne passent que par des points homologoes , et qi si elles ne rentrent pas sur elles-mêmes, se terminen des points homologues de part et d'autre. Enfin on p( nommer parties superficidles homologues » dans les sorfa( de deux corps semblables, les parties qui sont circo sorites par des lignes homologues.

On nomme tarfaoes semblables les surfaces des coi semblables ou les parties homologues des surfaces de ( corps.

On nomme lignes semblables les périmètres compl des surfaces partielles semblables, ou les parties ho logues des périmètres de ces surfaces.

Il est aisé de voir que deux surfaces semblables , < deux lignes semblables, peuvent toujours être placées ( telle sorte que les lignes droites qui unissent deux poio homologues des deux lignes ou des deux surfaces aillei converger toutes en un même point , et alors les ai tances du point de convergence aux points homologo sont toutes proportionnelles.

Dans les surfaces semblables, toutes les dimension superficielles homologues sont des lignes semblables.

Certains solides géométriques, par exemple les sphère ou les cubes ; certaines surfaces , par exemple les sur faces sphériques complètes ou hémisphériques, les cercle ou les carrés ; certaines lignes , par exemple les droites les circonférences de cercle ou les quarts de circonférence sont nécessairement semblables entre eux , en vertu à leur nature géométrique même.

Les définitions que nous venons de donner de la sm\ litude géométrique sont générales. On peut les si(np'i'i^''>

DEUXiiHE PABTIB. — CHAPITRE XI. 287

1 les restreignant aux polyèdres, aux polygones et aux pé- Eoètres ou parties de périmètres des polygones. Deux pogones sont semjriable», quand, le nombre des angles et ïs côtés étant le même pour tous'deux, chacun des an* es de l'un est égal à un angle de l'autre , de telle sorte xe les sammets de ces angles égaux se suivent dans le lëme ordre le long des périmètres de ces polygones , et^ jand les côtés homologues ^ ^est-à-dire semblablement lacés par rapport aux angles égaux, sont proportionnels. es parties homologues des périmètres des polygones imblables sont semblables entre elles. Deux polyèdres )nt semblables, quand, le nombre des angles solides étant ) même , chacun des angles solides de l'un est égal à un ûgle solide de lautre, de telle sorte que ces angles solides gaux soient semblablement placés dans les deux corps, t quand leurs faces homologues , c'est-à-dire semblable- Qent placées par rapport aux angles solides égaux , sont les poljtgpnes semblables.

li est aifié de comprendre , d'après ce qui précède, que a similitude géométrique des corps, bien qu'elle concerne les formes, n'est pas l'identité de forme , qui entraînerait l'égalité, tandis que la similitude n'entraine pas même l'équivalence.

H y a des corps équivalents entre eux qui , convenablement placés, satisfont aux deux conditions suivantes. ^^^ toute section faite dans l'un par un plan correspondra dans l'autre upe section faite semblablement, qui sera une figure égale à la première section. %"" Supposez que ^es deux corps soient en contact par deux points homologues des périmètres de deux de ces sections égales ; supposez, de plus, que ces deux sections ^es deux corps soient dans un même plan , et que tous leurs points ho-

molognes soient unis par des lignes droites parallèle entre elles et perpendiculaires à une ligne droite mené par le pdnt de contact , dans le plan commun des deu: sections , de manière que tous les points #e cette lign soient à égale distance des points homologues des péri mètres de ces deux sections ; enfin , imaginez entre le ^deux corps, et perpendiculairement au plan commun de deux sections, un plan mémn qui contienne cette ligne alors toute section faite dans Tun d^s deux corps par ui plan perpendiculaire sur le plan médian sera égale à h section Êiite dans l'autre corps par le même plan ; tout< section faite dans l'un des deux coqps par un plan obIiqu( au plan médian sera égale à la section faite dans Tautr^ corps par un second plan qui ait la même intersection que le premier avec le plan médian , et qui fasse avec ce plan un angle égal et adjacent à l'angle fait de l'autre côté de ce même plan par le plan qui coupe lé premier corps ; et lés points homologues de ces sections égales des deux corps seront , chacun d'un côté, à à^A distances égales de ce même plan médian , sur une mènae ligne perpendiculaire à ce plan. Les corps équivalents qui peuvent être placés de mahière à satisfaire à ces conditions sont dits symétriques. Le point de contact choisi pour manifeijter cette propriété des corps symétriques peut appartenir à deux faces planes égales et superposées. Alors, non seulement le point que l'on considère, mais tous les points homologues de ces faces sont des points de contact , et ces faceft elles-mêmes sont contentées dans le plan médian. C'est ainsi que la symétrie des deux mains se manifeste , quand on applique les deux paumes Tune contre l'Autre. Du reste, cela n'empêche pas la définition générale que nous avons donnée de convenir

DEDXliUB PABTIE. — CHAPITtB XI. S89

à ce cas particulier. Remarquons, en oofere, que dans les corps symétriques , bien qu'il ne soit pas nécessaire que tous les points homologues des surfaces des deux corps puissent être choisis pour points de contact, le choix est cependant possible entre plusieurs points de contact propres à manifester la symétrie, et que, pour un même point de contact, la symétrie peut se manifester dans plusieurs positions réciproques des deux corps. Remarquonis même que , pour cette manifestation , le contact effectif des deux corps n'est pas nécessaire. Il sufBt que Ton puisse concevoir deux plans parallèles, avec chacun desquels Tun des deux corps soit en contact , les deui points de contact étant aux deux extrémités d'une ligne perpendiculaire sur les deux plans, pourvu que chacun des deux corps satisfasse d'ailleurs aux conditions énoncées plus^haut, sauf la substitution de l'un de ces deux plans au plan médian unique, pour ce qui concerne chacun des deux corps. Rapprochez peu à peu les deux corps , et les deux plans avec eux^ suivant la direction peq)endiculaire à ces deux plans : quand ils se toucheront , nous reviendrons au cas du contact des deux corps.

On peut simplifier la définition de la symétrie, en la restreignant aux polyèdres, et en faisant un choix parmi les positions où la symétrie se manifeste entre eux. Deux polyèdres sont symétriques , lorsqu'ayant une base commune, ils sont construits chacun d'un côté de cette base , de telle sorte qu'ils aient un même nombre d'angles solides, que chaque angle solide et chaque face de l'un soient égaux à un angle solide et à une face de l'autre , et que les sommets' des angles solides homologues soient à égale distance du plan de la base, sur une même droite

perpendiculaire à ce plan.

On peut aussi nommer polyèdres symétriques, ou et général corps symétriques , deux polyèdres ou deux corpi non équivalents, lorsque l'un d'eux est seulement semblable à un troisième corps symétrique et équivalent au premier.

Ainsi , la symétrie est une sorte particulière de ressemblance, c'est-à-dire de similitude imparfaite, qui peut exister avec ou sans équivalence , quoiqu'on réserve plus habituellement le nom de corps symétriques à ceux qui sont en même temps équivalents l'un à l'autre, et dont les sections homologues sont égales, au lieu de n'être que semblables et proportionnelles.

Certains corps dont la nature géométrique implique nécessairement la similitude , comme les sphères ou les cubes , ne peuvent jamais être symétriques seulement, attendu qu'ils sont semblables par nature. Certains o^rps dont toutes les sections, faites suivant un certain axe, I sont semblables entre elles^ par exemple, les solides de ' révolution non tronqués, ne peuvent être symétriques, attendu qu'il faudrait pour cela que leurs sections homologues fussent semblables, et que, lorsqu'elles lesoo^ ils sont semblables entre eux, et non pas seulement symétriques.

Les surfaces totales des corps symétriques , et , parisi les parties homologues de ces surfaces , celles qui sont suffisamment étendues pour n'être pas semblables, sont symétriques entre elles. Mais les surfaces planes ne peuvent jamais être symétriques. En effet, supposez, dans un plan, deux surfaces équivalentes, construites semhh* hiement des deux côtés d'une ligne droite, dont un point leur est commun, ou dont une partie leur est commuoe' il est évident qu'en les faisant tourner autour de cette ligQ^

DEDXitlIE PAITIB. — GBA?mtB tl. S91

nmme axe, elles se superposeront; elles ne BeroDt pas «Dtemeot égoivaleates , mais égales. Donc aussi les suràces planes semblables à l'une des deux surfaces planes iquivaientes ainsi construites seront semblables, et non [Hs seulement symétriques. Avec ou sans équivalence , il n'y a point de symétrie pour les surfaces plaues, non [dus que pour les surfiices sphériques '.

■ T< ) $e rapporte k la limiUtade et à la «v-

i*Ar(t ■ en onlrë une timilituit , une intenlon

«lnM rpfl symétriques peuïenlétreou n'ôlre

psf irl à un plan intarmédiaire entre eux.

D^Dil corps, égaux ou semblables, peuvent

tlraoi tit d'un même cûlë d'une même droite

m iTt -q ou n'être pas puA d'une nuaùère m-

^Ki ités de cette droite ou de ce plan, EdSd,

iiDpei me <>uwfim,ou aa^ tpnétrie ie gn^

rmoi DSr des surfaces, soit pour des corps,

lormant dçux groupes, de telle sorte que cbaque point d'uD.groupe ait soa tiomologue dans l'autre, que chaque surface soit égale ou semblable à no homologue, ou que cbaque corps soit égal , semblable ou symétrique à son homologue dan» l'autre groupe. Dans les grtmpet tembUiblei , iruerte* n^i^KHriquet, les corps ou les surfaces homologues, considérés isolâmeoL deoi à deux, peuvent d'ailleurs avoir ou n'avoir pas despurilMiu lembtablti, ■■KTKt ou «ifA^fHfiwf par rapporté un plan ou à une droite intermédiaire. Quant aux points, la timilititie, Ximiertùm et la tymétrie ne peuvent concerner pour eux que le groupement, mais non la forme, puisqu'Ds n'en ont pas, ni la f^tiSUm, qui . lelle que nous l'entetidoos , suppose une forme. Il y au nit «Dcore ici bieo des dâSnitions A donner. Disons seulement que deux (rinipMd«poiMtt sontcnRtfaUet, quand les points homologues y sont situés b uns par rapport aux autres , comme les points homologues des corps ^aux ou semblables posés semblablemeni ; qu'ils sont ituenet , quand les points homologues y sont situés, les uns par rapport aux autres, comme les points homologues de deux corps égaux ou semblables posés d'une manière inverse; qu'ils sont tyKélrigaes. quand lesfiaiQlshomologuesy sont situés, ies uns par rapport aux autres, comme les points homologues des corps iindriques posés symétriquement ; et que le groupement iymétriqae det ""V ou dM turfaeet consisie dans le groupement symétrique de leurs een- IrtiitgravUi. Pomt poieriemblablement on invetiement, dans à&iixQrmpei ""^MfcsQuJNwnMjleswr/liCM oaLesctfnw^mologues^fAUiouMM-

392 PHILOSOPHIE DE LA IfiTDKE-

Ces défiDÏtions relatives à retendue des corps sont des définitions générales, dans lesquelles rentrent, comme cas particuliers, les définitions plus restreintes qu'on donne ordinai'remwt, sans explication sufBsante, daas les traités de géométrie. Après les avoir exposées, nous pouvons arriver aux définitions qui concernent les positions, permanentes ou variables, des corps dans l'espace, et nous leur conserverons le même caractère de généralité philosophique et d'enchaînement rationnel.

blabUi défigure, ou bien'poorpoMr m/triquei, Htverset ou lemMablet, \ti Iriguet par leur Hgure, il suffit de l manière convenable, autour de leurs deux groupée.