U1 LE NOMBRE, L'UNITÉ ET LA TOTALITÉ

L'idée de nombre est une idée première, et par conséquent on n'en peut donner une définition proprement dite; mais on peut énoncer , sur le nombre en général, quelques propositions vraies, qui permettent de le distinguer de ce qui n'est pas lui. Ainsi , d'abord, le nombre est une quantité discontinue , qui ne peut décroître ou s accroître que par des degrés marqués, bien qu'aussi petits et aussi rapprochés qu'on voudra , et non par un décroissement ou un progrès continus. Cette quantité discontinue est constituée , dans un être collectif réel ou idéal , par la collection même de ses parties , abstraction faite de la quantité et des qualités distinctives de chacune d'elles * , et soit que la distinction de ces parties soit

1 M. Whewell (Philosophy of the induetive êcienees , bookU, chap. yii, art. 3 , cha]^ ?iii« art. 8 et 9 . et chap. x , 2* éd.. vol. i , p. 127 . p. i32 et p. 135-439), considère Tidée do nombre comme dérivée de l'idée de temps, il est bien vrai que, pour nombrer , il faut une succession de pensées , et qu'ainsi le temps est la condition êubjèctwe de la notion de nombre. Il est donc possible que la notion de temps soit Vantécédent piychûhgique de la notion de nombre , et cela même est contestable. Mais il est certain que la notion de temps n'est pas VanUcédent logique de la notion de nombre. Car, supposez plusieurs êtres simultanés existant dans un instant indivisible*: il y aura nombre , indépendamment de toute durée de ces êtres. Ainsi, le nombre est {^^içti^iii^rafil^H^iirautempset à Tespace, auxquels il s'applique. 11 ne suppose que la distinction des êtres possibles ou réels. Sur f antécédent logique et l'antécédent piyehologique, voyex plus loin, chap. 12.

196 riiLosorBic m la nâtorb.

réelle ou idéale, naturelle ou arbitraire. Ainsi, le nombra vingt exbte dans la collection de vingt propriétés d'une méme'substance, ou dans la collection de vingt objets quelconques, non seulement inégaux, mais entièrement différents par leur nature, aussi bien que dans la collection de vingt parties égales d'un même tout. Le nombre n'est donc pas toujours un rapport entre une quantité et une partie connue de celte même quantité. Il b« faut pas appliquer au nombre en général un caractère qui n'appartient qu'au nombre considéré dans un cas particulier, très-important peut-être. Il faut, comme nous venons de le faire, énoncer d'abord les caractères principaux du nombre en général, sauf à donner ensuite à ce cas particulier l'attention qu'il mérite.

Quand les parties considérées dans l'être collectif sont égales entre elles, la somme de leurs quantités est proportionnelle à leur nombre: C'est alors seulement que le nombre exprime un rapport de quantité entre un tout et une de ses parties supposée connue. Mais ce cas particulier est souvent facile à obtenir, et on y trouve la plus grande utilité pratique des nombres. En effet, un tout continu ou considéré comme tel peut toujours se diviser idéalement en parties égales. C'est ainsi que le nombre, quantité discontinue, devient la mesure, non seulement des quantités discontinues divisées d'avance en un nombre déterminé de parties, mais aussi des quantités continues indéfiniment divisible*. Cbacune des parties

I Le rapport entre la bcIcdcb des nombre!! et celle del'Ëtendue peut donner lieu I des coniideraliaos philosophiques d'un haut iolârët. Nous ne pouvons avoir la pritenLioD de les presenler Ici. On les trouvera dans l'excellent ouvrage da H. Conmot, D* Foflçfiu et ieë Uwriln de la eorreeppudmee entre l'olgOn et U fAwVH*. Parla, 1847, ia-%:

DBUXIÈIIS PAITIE. — GHAPITU T. 497

égales considérées dans une quantité que Ton mesure en nombrant ces parties se nomme unité de memre.

Vunité peut .être envisagée de deux manières. En tant que type des . quantités égales, ou considérées eomme telles , abstraction faite de leur valeur , Tunité n'est pas un nombre^ mais elle est l'expression de la réalité mdividuelle» que tout nombre suppose : indéfinie, elle oblige cependant à comprendre que le nombre, pour être applicable aux objets réels, doit s'appuyer sur la notion d'une individualité quelconque, réelle ou hypothétique, naturelle ou factice; définie, l'unité établit le rapport du nombre abstrait à la réalité. En tant qu'exprimant l'égalité avec le type , Tunité est un nombre addiUonnable et divisible : elle est un nombre intermédiaire entre les multiples et les sous-multiples de l'unité.

Le nombre n'est pas le principe de la distinction * ; mais il en est la conséquence : on ne peut nombrer que des objets distincts soit par nature, soit par une conception de Tesprit. Le nombre n'est pas le principe de la limitation , et il ne la suppose même pas nécessairement; car les attributs de Dieu sont distincts, et ils font nombre; mais chacun d'eux est illimité , puisqu'il est infini. Une substance finie est limitée indépendamment de toute autre substance finie; elle n'est nombre qu'en vertu d'une comparaison avec d'autres substances.

Entre le nombre et la totaliii , il n'y a aucun rapport nécessaire de grandeur; car ce rapport dépend de l'unité que l'on choisit , et ce choix est arbitraire , lors même

i Comme le prétend M. F. LameoDais, Eêquiue (Tune philosophie, I" part.^ liv. 3 , chao. 3 , t. 1 . p. 121-124. Cf. U? . 1 , cbap. 12 , p. 75-78 , elli v. 5 , cbap. Il, p. 307-313,

PBILOSOFBIB. DB U HATOBE.

que le Dombre des individuB compris dans la totalité est déterminé et que celle-ci n'est pas une quantité-continue iDdéfiniment divisible. L'unité choisie peutelle-mëme être une coiiectioo : une armée se compose d'un certain nombre de régiments; un régiment se compose d'un certain. nombre de bataillons. H peut donc y avoir,' en un même calcul , des unités de différents ordres. Dans les quantités continues, pour ne pas trop multiplier le nombre des divers ordres d'unités, dont il faut fixer les rapports mutuels, on établit une unité fondamentale, qui ne peut èlreconnue qu'empiriquement, et il eslimporlant que le type stable de cette unité reste toujours accessible à l'observation. Les quantités inférieures s'expriment en fractioru de l'unité fondamentale.

Puisque le nombre est une quantité , tout ce que nous avons dit de la quantité en général et de ses deux limites lui est applicable. Ainsi, il n'y a pas de fraction numérique qui soit infîniment petite , ni de uombre qui soit infiniment grand, à proprement parler. L'infini en nombre, comme l'infini en toute quantité divisible, est l'expression d'une impossibilité : l'inBui est ce que le nombre ne peut jamais être , bien qu'il puisse en approcher indéfiniment. Par exemple, le nombre infini n'est ni réalisé, ni réalisable , dans l'étendue indéfiniment divisible ; car la division, soit réelle, soit idéale, quelque loin qu'on la pousse, ne sera jamais poussée que jusqu'à un certain point, au-delà duquel une division ultérieure sera toujours possible. Le nombre des parties idéalement ou réellement divisées ne sera jamais infini , bien qu'il puisse être

L'objet propre de l'arithmétique théorique, c'est le nombre possible et abstrait. Les vérités arithmétiques,

DEUXIÈMB PARTIE. — CHAPITRE V. 499

comme toutes celles qui expriment des conditions de possibilité absolue, sont nécessaires et éternelles.

Cependant le calcul numérique , de même que le raisonnement, est inutile à TËtre suprême, qui voit simultanément toutes les quantités dans la totalité, tous les individus dans la collection, sans avoir besoin de la considération abstraite des nombres. II ne peut donc y avoir pour lui qu une arithmétique éminente, où les solutions coexistent aux données des problèmes , et où les existences conorètes ne se séparent pas des nombres qui les expriment. Notre arithmétique , qui va des données aux solutions par le calcul , lui est nécessairement connue , mais seulement à titre de procédé convenable pour les intelligences finies , qui ont besoin de tendre , par leurs pensées successives, vers Tidéal de la pensée infinie , unique et éternelle \

i Voyez plus haut, i" part., chap. 3.