DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XI

face donnée » par exemple dans un plan ou dans une surface spbérique d'un diamètre déterminé.

On nomme angle rectiligne la portion , indéfinie en un sens, d'un plan indéfiniment prolongeable, qui se trouve comprise entre deux lignes droites partant d'un même point. Si de ce point, comme centre, et entre les lignes qui déterminent Fangle, on trace des arcs de cercles de divers rayons , les espaces plans compris entre ces lignes et chaque arc sont entièrement circonscrits, et ils sont ' proportionnels aux carrés des rayons des cercles. Si dans des angles différents on trace de cette manière des arcs de même rayon, les espaces circonscrits, et par conséquent aussi les angles, sont proportionnels aux arcs. C'est ainsi qu'un angle rectiligne, sans avoir une quantité superficielle entièrement déterminée,, puisque c'est une étendue superficielle indéfinie en un sens, est pourtant une quantité divisible et mesurable.

On nomme perpendiculaires entre elles deux lignes droites qui se rencontrent en un point, et qui, prolongées au-delà de ce point, forment quatre angles égaux entre eux. Chacun de ces quatre angles se nomme angle droit. L'arc qui le mesure est le quart de la circonférence décrite du sommet de l'angle comme centre.

On nomme perpendiculaire à un plan une ligne droite qui rencontre ce plan en un point, et qui est perpendiculaire à toutes les lignes droites qu'on peut mener dans ce plan par ce point.

On nomme intervalle linéaire ou distance une portion d'une ligne donnée , comprise entre deux points. Ainsi deux points ne déterminent aucun intervalle linéaire, si on ne les considère pas comme appartenant à une ligne donnée, par exemple à une droite ou à la circonférence d'un cercle d'un certain diamètre.

S7S PHILOS07HIK DE LA KilDKE.

On Domme dittanee rectûigne de deux points la ligne droiie qui les uuit. On nomme datance ou la plut courte dittanee de deux corps , ou de deux surfaces , ou de deux lignes , la plus courte des lignes droites qu'on peut mener d'un point de l'un de ces corps, ou de l'une de ces sur- ' faces, ou de l'une de ces lignes, à un point de l'autre. On nomme di$tance ou la plus courte di$tance d'un poifU à une ligne droite ou à un plan indéfiniment prolongeables, la plus courte des lignes droites possibles de ce point à un point de cette ligne, ou de ce plan, ou de leur prolongement : on démontre que cette ligne est la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan ou sur la ligne dmite en question.

On nomme parallhlei enire elles deux ligne$ droites, telles que leur distance soit constante, c'est-à-dire telles que les perpendiculaires menées des divers points de lune de ces lignes sur l'autre soient toutes égales entre elles. Il est évident que ces deux lignes ne peuvent être que dans un même plan , et qu'indéfiniment prolongées toutes deux dans les deux sens, elles ne se rencontreraient jamais.

On nomme angle dièdre l'espace indéfini compris entre deux plans qui se coupent. L'angle dièdre a pour mesure l'angle rectiligne compris entre deux droites menées une dans chaque plan , et perpendiculaires en un même point à la ligne droite qui est l'intersection commune des deux plans.

On nomme angle solide l'intervalle solide compris entre plusieurs plans qui ont un point commun à tous, et qui se rencontrent deux à deux suivant des lignes droites: cet intervalle est indéfini dans le sens opposé au point commun.

DBDXIÈn PABTIB. — CHAPITMB XI. 873

On nomme perpendiculaire$ entre euas deux plans qui , prolongés au-delà de leur intersection , forment quatre angles dièdres égaux entre eux : chacun de ces quatre angles égaux se nomme droit , et Tangle rectiligne qui le mesure est un angle droit.

On nomme parallèles entre eux deux pions dont la dis* tance est partout la mème^ c'est-à-dire deux plans tds qoe les perpendiculaires menées de divers points de lun quelconque de ces plans sur lautre plan soient toutes égales entre elles. Il est évident que ces pians , indéfiniment prolongés dans tous les sens , ne se rencontreraient jamais.

La nature géométrique d'une mrface est Tensemble des lûtuations relatives des parties dont elle se compose et des points qu'on y peut considérer. Toute surface dans laquelle ces situations suivent une loi constante peut être eomplétée, si toute ligne formée par Tintersection de cette surface avec un plan est de nature à pouvoir rentrer sor elle-même , comme cela a lieu pour la surface sphérique; sinon, elle peut être prolongée indéfiniment» comme la surface plane. La nature d'une surface peut être complètement déterminée, par exemple celle d'un plan ou d'une surface sphérique dont le rayon soit donné, ou Uen être incomplètement déterminée, par exemple ceUe d'une surface sphérique sans détermination de rayon.

La forme d'une surface est l'étendue de cette surface , considérée relativement aux lignes qui la limitent, abstraction faite de la quantité d'étendue superficielle et de la nature géométrique? Ainsi , une surface quelconque , plane ou courbe , est de forme circulaire , si elle est circonscrite par un cercle; une surface quelconque, plane

PBOOSOrHIE DE U NATDM.

OU polyédrique, est polygonale, si elle est ctrcooscrite par

un polygone.

Deux turface» de même nature complètement déter- . minée et de même forme sont nécessairement igide$t

c'est-à-dire exactement superpoaables. Deux surracea de

nature et de forme différentes , ou bien de forme différoite et de même nature, ou bien de nature di£fêrente et de même forme, peuvent être équivalenta, c'est-i-dire avoir la même quantité d'étendue superfiàelle : cette quantité se nomme pire/ elle se mesure k l'aide d'une unité plane.

Toutes les lignes ont deux points pour limita, quand elles ne rentrent pas sur elles-mêmes ; et quand elles rentrent sur elles-mêmes , ces deux points se réduisent à un seul , qu'on peut prendre sur elles où l'on veut. Il n'y a donc pas lieu de distinguer dans les lignes quelque chose d'analogue à ce que nous avons nommé forme dans les surfaces. Mais les lignes se distinguent par leur nature géométrique , indépendamment de leur quantité d'étendue linéaire.

La nature géométrique d'une ligne est l'ens^nble des situations relatives des parties dont elle se compose et des points qu'on y peut considérer. Toute ligne dans laquelle ces situations suivent une loi constante peut être complétée , si elle est de nature à pouvoir rentrer sur elle-même, comme la ligne circulaire; sinon, elle peut être prolongée indéfiniment, comme ta ligne droite. La nature d'une ligne peut être complètement déterminée, par exemple celle d'une droite,ou de la drconférence d'un cercle dont le rayon soit donné; nubien être incomplètement déterminée, par exemple celle d'une circonférence (le cercle sans détermination de rayon.

DBUUin PARTIE. — CHAPITIB XI. S75

Deux Ugnes de nature différente, terminées aux deux mêmes points, peuvent n'être pas du tout éqamdente$, et deux lignes de nature différente peuvent être éfpÀvaientei, c'est-à-dire avoir la même quantité d'étendue linéaire 9 quoiqu'il y ait beaucoup plus de distance entre les deux points extrêmes de l'une d'elles qu'entre ceux de l'autre^. Deux lignes qui ont la même étendue linéaire et la même nature complètement déterminée sont igalet, c'est-à-dire exactement superposables. La quantité d'étendue linéaire se nomme longueur : elle se mesure à Taide d'une unité rectiligne.

La quantité d'étendue solide, ou volume, se mesure à l'aide d'une unité polyédrique.

Nous venons de donner les définitions les plus gêné- . raies concernant les corps géométriques , les surfaces , les lignes, les points, les intervalles et les angles; l'étendue solide, le volume et la masse des corps; la forme des corps et des surfaces; la nature géométrique, la quantité, la mesure , I égalité et Téquivalence des corps , des surfaces et des lignes. Comme nous l'avons remarqué en commençant , ce serait nous écarter de notre objet , que de donner ici les définitions des différentes lignes , des différentes surfaces et des différents corps géométriques. Il nous reste à parler des dimensions et de la similitude, notions importantes, qu'on n'a pas encore envisagées jusqu'ici d'une manière assez générale et vraiment philosophique.

On nomme dimension d'un corps une ligne terminée par deux points de la surface de ce corps , et servant à en apprécier le volume et la forme. Cela posé , il y a deux espèces principales de dimensions des corps, savoir : r les dimensions rectilignes, qui peuvent traverser le

S70 PRILOSOPHIK DE LA IfATOlB.

corps et même en sortir ; 2* les dimatnont tuperfieielles, qui peuvent être droites , brisées ou curviligaes, mais dont chacuoe est une ligne menée d'un point à an autre dans la surface du corps^ sans sortir de la surface même.

On peut évidemment considérer dans un coq>s un nombre indéfini de dimensions, soit rectiligues , soitsupwficielles. La considération des dimensions serait donc inapplicable, si on ne la restreignait pas par certaines conditions relatives à la forme du corps. Par exemple , il est souveot important de connaître la plus grande dimmtion reetiUgne d'un corps, c'est-à-dire la distance rectiligne des deux points de la surface du corps les plus éloignés l'un de l'autre en ligne droite.

Mais surtout il y a lieu de distinguer dans toute étendue solide trois faisceaux, composés chacun de dimensions rectiligues parallèles entre elles, et tels que toute dimension appartenant à un de ces faisceaux soit perpendiculaire sur toute ligne droite qui la coupe , et qui est parallèle à l'un quelconque des deux autres faisceaux. Il n'y a pas lieu d'assigner plus de trois directions aux dimensions liées entre elles de cette manière; car, par un même point, on ne peut mener que trois lignes dont chacune soit perpendiculaire sur le plan des deux autres. Voilà pourquoi et en quel sens on dit que tout corps a trois dimensions*. Pour un corps quelconque, la direction d'un de ces trois faisceaux de dimensions étant donnée, le choix de la direction du second faisceau se trouve restrônt par la condition qui veut qu'elle soit perpendiculaire sur celle du premier ; mais plusieurs directions peuvent saUsfâdre à cette condition. Les deux premières di-

1 Sur uoe aulre mamére, moins gânArale et moins logique, do conshl^r les dimensions, voyn plui loin, cfisp. 12.