DEUII&ME PARTIE. — CHAPITRE XI

rections étant données , la troisième en résulte nécessairement. On choisit ordinairement pour jpremier foisceau celui qui comprend la plus grande dimension du corps : c'est le faisceau des longueurs , dans lequel il sufBt de considérer la plus grande, qu'on nomme simplement longueur. Parmi les faisceaux perpendiculaires sur le premier, on chobit habituellement pour second foisceau celui qui donne la plus grande moyenne : c'est le faisceau des largeurg. Le troisième, qu'on n'a plus la peine de choisir , est celui des épaisseurs. Mais souvent le choix des trois &isceaux est indiqué autrement par la forme du corps, par exemple, quand on peut les prendre tels qu'un, ou deux, ou tous les trois , soient composés chacun de dimensions égales entre elles. D'autres fois , le choix est indiqué par la position fixe du corps, relativement à l'ho* rizon. Alors le faisceau vertical est donné à priori : ce sont les hauteurs. Des deux faisceaux horizontaux que l'on choisit, celui dont la moyenne est la plus grande est le faisceau des longueurs et l'autre celui des largeurs. Souvent il est utile de connaître la plus grande ou la plus petite des dimensions de chacun des trois faisceaux, mais surtout la moyenne des dimensions de chacun d'eux, égale au quotient de leur somme par leur nombre, en les pre* nant très- rapprochées et à égale distance les unes des autres. En effet , lorsque toutes les dimensions que l'on considère dans un corps sont comprises entièrement dans son intérieur, le volume de ce corps est égal au produit de ses trois dimensions, si chacun des trois faisceaux perpendiculaires entre eux se compose de dimensions égales entre elles. Sinon^ il faut multiplier la plus grande dimension d'un des faisceaux par le produit des moyennes des deux autres faisceaux , et on aura ainsi le volume^ Mais

278 PBILOSOPBIE M! LA NATUIS.

il peut se faire que quelques-unes des dimensions sortent du corps , puis y rentrent. Alors il est quelquefois aisé de diviser le coqis par ta pensée en deux ou plusieurs parties qui ne présentent pas cet inconvénient, et il suffit ensuite de faire la isûoime des volumes partiels ; ou bien on peut négliger d'abord cette considération , sauf à déduire plus tard le volume des cavités: Quand chaque faisceau se compose de dimensions inégalés entre elles, et que la moyenne est difficile ît trouver approximativement, la considération des trois dimensions perd de son importance pratique. Souvent il suffit de considérer une ou deux dimensions dont on connaît les rappwts avec ta ' forme du corps , par exemple , le diamètre ou le n^on dans la sphère, le grand axe et l'excentricité dans t' ellipsoïde de révolution. Souvent aussi la géométrie fournit le moyen de reconnaître qu'un corps assez compliqué a un volume égal ï celui d'un autre corps facile à mesurer , ou bien un volume multipleou sous-multiple de celui de ce corps, ainsi que nous l'expliquerons bientôt. Enfin, la physique offre des moyens pratiques de trouver tes volumes des corps les plus irrégulîers , sans s'occuper de leurs dimensions, par exemple, en plongeant chacun de ces corps dans un liquide, dont il déplace un volume égal au sien , en cherchant le poids du liquide déplacé et en concluant de ce poids le volume, d'après la connaissance que l'on a de la densité du liquide.

Parions maintenant des dimentions superficicUes des corps, c'est-à-dire de celles qui suivent les sinuosités de la surface. Il peut être important de considérer la plus grande longueur tupa-ficieUe d'un corps, c'est-à-dire la plus courte distance superficielle des deux points du corps entre lesquels il y a le plus de chemin en suivant les si-

DBDXIÈMB PAETIB. -- CHAPITRE XI. 279

nuosités de la surface. On nomme contour d'un corps une ligne rentrante sur elle-même, formée par Tintersection de la surface de ce corps et d'un plan. II y a donc dans un corps, ou dans sa surface complète, un nombre infini de contours, parmi lesquels le plus grand peut quelquefois être utile à connaître; mais surtout il peut être utile de distinguer ce que nous nommerons les périmHreg d*un corp$, c'est-à-dire les contours perpendiculaires à la plus grande dimension rectiligne de ce corps. On peut aussi prendre, à diverses distances, les contours parallèles à un même plan donné : tels sont, dans la sphère, les cercles parallèles à l'équateur ou à l'écliptique. Enfin , on peut considérer dans un corps trois contours déterminés par trois plans perpendiculaires entre eux : tels sont, dans la sphère, Téquateur et deux méridiens perpendiculaires Tun sur l'autre, par exemple, le colure des équinoxes et celui des solstices. Remarquons que les dimensions superficielles servant habituellement à faire connaître les formes plutôt que les volumes, il est important de connaître la nature de ces lignes, non moins que leur longueur. Quelquefois cependant c'est pour elles-mêmes qu'on a besoin de les connaître , par exemple , les lignes menées de tel point à tel autre sur la surface du globe terrestre, et, par suite, les mesures itinéraires.

Des dimensions des corps passons aux dimensions des surfaces. Les dimensions des surfaces complètes se confondent évideinment avec les dimensions superficielles des corps eux-mêçies : ainsi nous venons d'en parler. Il nous reste donc à parler seulement des dimensiom des mrfaces partielleê.

On nomme périmètre d'une mrface partielle, soit courbe , soit polyédrique , soit plane , l'ensemble des lignes

»0 PBILOBOMIK Mt U HATOU.

qui la terminent et la séparent du surplus de la surface totale du corps idéal ou réd auquel elle apparttmt. Cela posé , on nomme dimentian Svme turfaee parUtU» h ligne d'intersection de cette surface et d'un plan, terminé» en deux pointe du périmètre. Cee dimensions, qui pea¥«nt être, Boit courbes, soit droites, soit brisées, aont^iles parallèles ou perpendiculaires entre elles , quand les plans qui les déterminent par leur intersection avec la surface sont parallèles ou perpendiculaires entre eux. Or, parmi tee dimensions, ea nombre indéfini d'une surface partielle , on peut toujours en considérer deux , fonnées par rinterseotion de la eur&ce avec deux plans perpendiculaires l'un sur l'autre , et dont chacun coupe le périmètre en deux points. Un troisième plan , perpendiculaire sur les deux premiers, pourrait ne plus couper le périmètre en deux points : par exemple, en supposant que le périmètre tout entier fût compris dans un même plan perpendiculaire sur ceux dont l'intersection avec la surface forme les deux dimensions perpendiculaires l'une sur l'autre , un troisième plan perpendiculaire sur lea deux premiers contiendrait tout le périmèlre , ou n'aurait aucun point de commun avec lui : il se confondrait avec le plan du périmètre, ou bi«i il lui serait parallèle. Ainsi, il o'y a pas, pour toute surface, une troisième dimension déterminée par un plan perpendiculaire sur ceux qui déterminent les deux autres dimensions perpendiculaires entre elles. D'ailleurs, l'aire de toute surface partielle est ^ale au produit de sa plus (grande dimension superficielle , et de la moyenne des dimensions déterminées par des plans parallèles entre eux et perpendiculaires sur celui qui a déterminé la plus grande. Voilà pourquoi et dans quel sens on dit que toute $urface a deux àmeatioM.

DSUXIÈIIB PART». — CHAPITRB XI. S84

Pour ce qui concerne en particulier les surfiices planes, la même proposition est d'une évidence plus immédiate. Si Ton détermine deux dimensions d'une surface plane par deux plans perpendiculaires entre eux et perpendiculaires syr la surface en question,, il ne pourra y avoir une troisième dimension déterminée par un plan perpendicul^ire sur les deux premiers ; car ce troisième plan se confondra av^ la surface dont on cherche les dimensions, ou iNon lui sera parallèle. Si , les deux dimensions per* pendiculaires entre elles restant les mêmes, Tun des deux plans qui les déterminent cesse d'être perpendiculaire sur la surface en question , sans cesser d'être perpendiculaire sur Tautre plan, d'autres dimensions pourront être déterminées dans la surface par des .plans perpendiculaires sur les deux premiers à la fois ; mais elles seront toutes parallèles à l'une des deux dimensions primitives. Par conséquent, les dimensions d'une surface plane ne pourront jamais former que deux rangées qui réunissent ces deux conditions , d'être déterminées par des plans perpendiculaires entre eux , et d'être composées chacune de dimensions parallèles entre elles.

Dans les surfaces courbes partielles, la plus grande dimension superficielle, multipliée par la moyenne des dimensions superficielles perpendiculaires à celle-là , donnerait Y aire, mais sans donner la luUure gi(miétr%que , ni la forme de la surface. D'ailleurs , la moyenne en question , et même la longueur de la plus grande dimension superficielle , seraient souvent bien difiiciles à estimer. Si tous les points de la surface ont un rapport connu avec un ou plusieurs points fixes , la nature de la surface est déterminée, la forme peut être étudiée à part, et Y aire se mesure plus commodément à l'aide de lignes qui ne

S82 PBILOSOPBIE DE U RATtlRK.

sont pas toutes comprises dans la surface. C'est ainsi que. pour mesurer commodément une portion de la surface d'une sphère, il suffit de connaitre le rayon de la sphère et le périmètre de la portion à mesurer.

Quant aux surfaces polyédriques partielle^, au lieu d'en chercher les dimensions , il vaut mieux, pour en connaître à la fois l'atre, la nature et la forme, chercher les dimensions et la forme de chacune de leurs faces planes, l'inclinaison de ces faces entre elles, et la position de chacune dans l'enseinhle de la surface. L'aite de celle-ci est égale à ta somme des aires des différentes faces.

Aussi est-ce moins pour les surfaces courbes ou -polyédriques, que pour les suriàces planes, qu'il y a lieu de s'occuper des deux dimensions. En effet , une surface plane, étant d'une nature connue, est suffisamment déterminée par sa forme, c'est-à-dire par son périmètre; mais, pour la mesurer à l'aide d'une unité superficielle, il faut l'étudier dans ses dimensions. Toute dimention d'une surface plane, déterminée par l'inlersection de cette surface et d'un plan , est la distance rectiligne de deux points de son périmètre. Le nombre des dimensions est donc indéterminé. Hais on peut toujours considérer deux rangées perpendiculaires l'une sur l'autre et composées chacune de dimensions parallèles entre elles. On choisit ordinairement d'abord celle des rangées possibles où se trouve comprise la plus grande dimension : ce sont les /onçjrueurt. L'autre rangée, celle des largeurs, est dès lors déterminée par la condition de la perpendicularité. Mais , si, dans deux directions perpendiculaires l'une sur l'autre, toutes les dimensions parallèles sont égales, ce sont ces deux directions qu'on choisitde préférence, et l'aire est égale au produit d'une dimension par la dimension

DEUXIÈMB PARTIE. — CHAPITBE XI. 883

perpendiculaire : c'est ce qui a lieu pour le rectangle. Si une portion de périmètre est une ligne droite plus longue que toutes les dimensions qui lui sont parallèles, on peut la prendre pour base, et chercher la moyenne des perpendiculaires , qu'on nomme hauteun* Le produit de la plus grande longueur par la largeur moyenne, ou celui de la hauteur moyenne par la base , ou en général le produit de la plus grande dimension d'une rangée par la moyenne de la rangée perpendiculaire, donne l'aire ou quantité de surface. Dans certaines surfaces planes de formes irrégulières , il y a des dimensions qui coupent le périmètre en plus de deux points, et qui sont en partie hors de la surface : il reste alors une soustraction à faire , pour avoir l'aire véritable. Remarquons que souvent les moyennes seraient difficiles à trouver approximativement. Mais la géométrie rend la solution du problème plus simple , par la théorie des surfaces équivalentes , et surtout par la triangulation. Dans le triangle, la moyenne des hauteurs au-dessus du côté pris pour base est égale à la moitié de la plus grande de ces hauteurs , et , par conséquent, l'aire du triangle est ^ale au produit de sa base par la moitié de la perpendiculaire abaissée du sommet sur cette base. On conçoit, dès lors, quel avantage on trouve à décomposer les surfaces planes en triangles , à moins qu'elles ne soient circonscrites par une courbe d'une nature connue et telle que la surface plane qu'elle comprend soit facile à carrer approximativement.

Quand un corps offre une surface plane facile à mesurer, et telle que le corps soit compris tout entier entre les perpendiculaires élevées sur elle en tous les points de son périmètre, on prend cette surface pour basCf et on multiplie Faire de cette base par la moyenne des hauteurs au-

S8i PBILOSOFBIK DE LA RATUBE.

dessus d'elle : oo a aioû le volume du corps. Daus le tétraèdre, la.moyeaoe des hauteurs au-dessus du triangle pris pour base est égale au tiers de la plus grande de ces hauteurs', et, par.cooséqueat, le volume du tétraèdre est égal au produit de la base par le tiers de la po-pendicu* culaireabÛBsée du sommet sur le plan dû cette base, proloBgé s'il est nécessaire. Il est donc avantageux de déeonposer les corps en tétraèdres, à moins que lenr sur&ce totale ne soU d'une nature connue , et telle que le solide qu'elle comprend soit facile à cubw approximadvement.

Une ligne est & elle-même sa dimeaùon unique. Nous avons dit qu'on estime la longueur d'une ligne, c'estrà-dire sa .quantité d'étendue linéaire, à l'aide d'une unité rectiligne. Quand une ligue est courbe , on trouve ainsi une ligne droite à laquelle elle est équivalente. Eo outre, quand une Jigne est courbe ou brisée , il peut être utile de mesurer la distance rectiligne de deux de ses points, par exemple de ses deux extrémités. Mais cette dbtance ne peut être appelée unedinuruion de la ligne.

Nous venons de définir les dimensians, et nous avons vu qu'elles servent surtout à mesurer les volumes des corps et les aires des suriaces. La nmilitude géométrique ,

1 Celte proposition serait difficile à prouver directement ; rasie elle rë- Bulle de la comparaison de trois ïérilés, dont la iiremièra est presque évidente, quoique diFflcile à dÉmonlrer rigoureuse m uni par les procédés de la géométrie âlémenlaire. et dont les deux dernières sont démontrées parcea procédés : I* Tout corps compris entre les perpendiculaires élevées sur le périmètre de sa base est égal au produit de cette base par la moyeDno des hauteurs ; S* tous les lôiraëdres de même base et de même hauteur , ceux qui sont compris entre les perpendiculaires Olevëes t^ur tous les pointa des périmâtres de leurs bases , comme ceux qui n'y sont pas compris loul enliers, (oiitâqulT3lentsenlreeui;3' tout tétraèdre est égal auproduilde sa bue par la lj«a de sa bauleur.