DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE XI

dont il nous reste à parler^ ne concerne en rien les volumes et les aires. Elle ne peut exister qu'entre des corps, des surfaces ou des lignes qui , en yertu de leur définition générale, ont une même nature géométrique incomplètement déterminée , par exemple entre deux parallélipipëdes , entre deux hexagones ou entre deux arcs d'el- • tipse. La similitude géométrique , relation spéciale autre que celle d'identité , peut exister ou ne pas exister entre les formes et les natures géométriques complètement déterminées de deux de. ces corps ou de deux de ces surfaces , ou bien entre les natures géométriques complètement déterminées de deux de ces lignes. Ainsi, deux parallélipipèdes, par exemple, ne sont pas semblables en vertu de la définition générale du parallélipîpède : s'ils sont sem. blables , c'est par leur nature géométrique et leur forme complètement déterminées; c'est en vertu d'un certain rapport entre les faces et les angles solides de l'un et les faces et les angles solides de l'autre.

La similitude géométrique de deux corp$ quelconques consiste en ce qu'à chaque point de ces deux corps correspond dans l'autre un point dit homologue, de telle sorte que , les deux corps étant convenablement placés , toutes les dimensions rectilignes menées par un point dans le premier de ces deux corps soient proportionnelles aux dimensions rectilignes menées parallèlement aux premiers par le point homologue dans l'autre, et que les points homologues soient d'ailleurs situés de part et d'autre d'une manière semblable, c'est-à-dire dans le même ordre et à des distances proportionnelles sur des lignes droites parallèles. Ces dimensiqns rectilignes proportionnelles entre elles , menées par les points homologues dans les corps semblables , peuvent être nommées dimensions homolO'

S86 pbilOsofbib m la luniu.

guet. Oo peut nommer lignes homologuet les ligoes, soit droites, soit courbes, qui dsosies deux corps semblables ne passent que par des poiuts homologues , et qui, si elles ne rentrent pas sur elles-mêmes, se tominent à des pWDts homologues de part et d'autre. Enfîn on peut nommerparttei tup^fiàeUethomoloçtAet, dans les surbces de deux corps semblables, les parties qui sont circoascrites par des lignes homologues.

On nomme tarfaees temMablit les surfaces des corps semblables ou les parties homologues des surfaces de ces corps.

On nomme Itgnei tmiAokkt les périmètres complets des suriàces partiales semblables, ou les parties homologues des périmètres de ces surfaces.

Il est aisé de voir que deux surfaces semblables , ou deux lignes semblables , peuvent toujours être placées de telle sorte que les lignes droites qui unissent deux points homologues des deux lignes ou des deux surfaces aillent converger toutes en un même point, et alors les distances du point de convergence aux points homologues sont toutes proportionnelles.

Dans les surfaces semblables, toutK les dimensions superficielles homologues sont des lignes semblables.

Certains solides géométriques, par exemple les sphères ou les cubes; certaines surfaces, par exemple les surfaces sphériques complètes ou hémisphériques, lies cercles ou les carrés ; certaines lignes , par exemple les droites , les circonférences de cercle ou les quarts de circonférence, sont nécessairement semblables entre eux , en vertu de leur nature géométrique même.

Les définitions que nous venons'de donner de la similitude géométrique sont générales. On peut les amplifier,

DKCUÈn PAITIB. — CHAPITIB XI. 287

en les restreignant aox polyèdres, aux polygones et aux périmètres ou parties de périmètres des polygones. Deux polygones sont semblables, quand, le nombre des angles et des côtés étant le même pour tous deux, chacun des angles de Tun est égal à un angle de lautre , de telle sorte que les sommets de ces angles égaux se suivent dans le même ordre le long des périmètres de ces polygones , et quand les côtés homologues ^ c'est-à-dire semblablement placés par rapport aux angles égaux, sont proportionnels. Les parties homologues des périmètres des polygones semblables sont semblables entre elles. Deux polyèdres sont semblables, quand, le nombre des angles solides étant le même, chacun des angles solides de Tun est égal à un angle solide de lautre, de telle sorte que ces angles solides ^aux soient semblablement placés dans les deux corps, et quand leurs faces homologues, c'est-à-dire semblablement placées par rapport aux angles solides égaux , sont des polygones semblables.

Il est aisé de comprendre, d'après ce qui précède, que la similitude géométrique des corps, bien qu'elle concerne les formes, n'est pas l'identité de forme , qui entraînerait Tégalité, tandis que la similitude n'entraîne pas même l'équivalence.

Il y a des corps équivalents entre eux qui, convenablement placés, satisfont aux deux conditions suivantes. 1^ A toute section faite dans l'un par un plan correspondra dans l'autre une section faite semblablement, qui sera une figure égale à la première section. 2"" Supposez que les deux corps soient en contact par deux points homologues des périmètres de deux de ces sections égales ; supposez , de plus , que ces deux sections des deux corps soient dans un même plan , et que tous leurs points ho-

388 raiUMOtlIB DK LA KITDIE.

mologues soient unis par des lignes droites paraUèles eatre elles et p^pendiculairea à une ligne droite menée par le point de contact , dans le plan common des deux sectioDBt de manière que tons les points de cette ligne soient i é^le distance des prants homologues des périmètres de ces deux sections; enfin ^ imaginex entre les deux corps, et perpendiculairement au plan commun des deux sections, un plan médian qui contienne ctf te Ugoe: alora toute section &ite dans l'un des deux cor[» par un plan perpendiculaire lar le plan médian sera égale ï la section faite dans l'autre corps par le même plan } toute section Uâte dans Tan des deux corpe par un plan oUîque au plan médiaa sera ^ale à la section faite dans faotre corps par on second [dan qui ait la même tnterseetion que le (trentia avec le plan médian , et qui fasse avec ce plan un angle égal et adjacent à l'angle fait de l'autre côté de ce même plan par le plan qui coupe le premier corps ; et les points homologues de ces sections égales des deux corps seront , chacun d'un côté, à des distances égales de ce même plan médian , sur une même ligne perpendiculaire à ce plan. Les corps équivalents qui peuvent être placés de manière & satisfaire à ces conditions sont dits symétriques. Le point de contact choisi pour manifester cette propriété des corps symétriques peut appartenir à deux faces planes égales et sup^posées. Alors, non seulement le point que l'on considère, mais tous tes points homologues de ces faces sont des points de contact , et ces faces elles^nèmes sont contenues dans le plan médian. C'est ainsi que la symétrie des deux mains se maDif<Bste, quand on applique les deuxpaumes l'une contre l'autre. Du reste, cela n'empêche pas la définition générale que nous avons donnée de convenir

DROIltn PARTIS. — €HAnm XI. 989

à ee C98 particolier. Remarquons, en oatre, que dans les corpt symétriques, bien qu'il ne soit pas nécessaire que tous les points homologues des surfaces des deux corps puissent être choisis pour points de contact, le chcMx est cependant possible entre plusieurs pdnts de contact propres à manifester la symétrie, et que, pour un même point de contact , la symétrie peut se manifester dans plusieurs positions réciproques des deux corps. Re-. marquons même que, pour cette manifestation , le contact effectif des deux corps n'est pas nécessaire. Il suffit que Ton puisse concevoir deux plans parallèles, avec chacun desquels F un des deux corps soit en contact, les deux points de contact étant aux deux extrémités d*une ligne perpendiculaire sur les deux pians, pourvu que chacun des deux corps satisfasse d ailleurs aux conditions énoncées plus haut, sauf la substitution de Tun de ces deux plans au plan médian unique, pour ce qui concerne chacun des deux corps. Rapprochez peu à peu les deux corps, et les deux plans avec eux, suivant la direction perpendiculaire a ces deux plans: quand ils se toucheront , nous reviendrons au cas du contact des deux corps.

On peut simplifier la définition de la symétrie, en la restreignant aux polyèdres, et en faisant un choix parmi les positions où la symétrie se manifeste entre eux. Deux polyèdres sont symétriques, lorsqu*ay an t une base commune , ils sont construits chacun d'un côté de cette base , de telle sorte qu'ils aient un même nombre d'angles solides, que chaque angle solide et chaque face de l'un soient égaux à un angle solide et à une face de lautre , et que les sommets des angles solides homologues soient à égale distance du plan de la base, sur une même droite perpendiculaire à ce plan.

S90 tBILOUPBIK DI U KATOU.

On peut aoBÙ aommef polyèdres ^métriques, on eo général coq» symétriques , deux polyèdres ou deux corps non équivalents, lorsque l'un d'eux estMulement semblable à un troisième corps symétrique et éqmvalent au premier.

Ainsi, la symétrie est uae sorte particulière de ressemUance, c'est-à-dire de similitude imparbite* qui peut exister avec ou sans équivalence, quoiqu'on réserve plus habituellement le nom de corps symétriques à ceux qui sont eo même temps équivalents l'un à l'autre* et dont les sections homologues sont égales, au lieu de n'être que semblables et proportionnelles.

Certains corps dont la nature géométrique implique nécessairement la similitude , comme les sphères ou les cubes, ne peuvent jamais être symétriques seulement, attendu qu'ils sont semblables par nature. Certains coq» dont toutes les secUons, faites suivant un certain axe, sont semblables entre elles, par exemple, les solides de révolution non tronqués , ne peuvent être symétriques , attendu qu'il faudrait pour cela que leurs sections homologues fussent semblables, et que, lorsqu'elles le sont, ils sont semblables entre eux , et non pas seulement symétriques.

Les surfaces totales des corps symétriques , et , parmi les parties bomologues de ces surfaces , celles qui sont suffisamment étendues pour n'être pas semblables, sont symétriques entre elles. Mais les surfaces planes ne peuvent jamais être symétriques. En effet, supposez, dans un plan, deux surfaces équivalentes, construites semblablement des deux calés d'une ligne droite, dont un point leur est commun, ou dont une partie leur est commune : il estévidentqu'enlesfaisant tourner autourde cette ligne

DBOXUkMI PARTIE. — CHAPitU XI. 191

comme axe , elles se superposeront ; elles ne seront pas sralement équivalentes , mab égales. Donc aussi les suN faces planes semblables à Tune des deux surfiaces planes équivalentes ainsi construites seront semblables, et non pas seulement symétriques. Avec ou sans équivalence ^ il n'y a point de symétrie pour les surfaces planes, non plus que pour les surfaces sphériques \

1 Tout ce que nous venons de dire se rapporte i U timUUwie et à la lymétrie de forme. On peut considérer eo outre une iiwUUttiâe , une Hwenim el une èfméirie de patiiian. Deux corps symétriques peuvent être ou n'être pas poiét iymétriqmement par rapport à un plan intermédiaire entre eux. Deux lignes . deux surfaces , deux corps , égaux ou semblables , peuvent être ou n*être pas poeét iembUMemetU d*un même cêté d*une même droila ou d*un même plan ; ils peuvent être ou n'être pas poiéê d^mie numUre !»• perte d*un même côté ou des deux côtés de cette droite ou de ce plan. Enfin, on peut considérer une timiUtude, une hwertUm, ou une tpméirie de grmt^ pemeni , soit pour des points , soit pour des surraces, soit pour des corps, Tormant deux groupes , de telle sorte que chaque point d'un groupe ait son homologue dans l'autre, que chaque surface soit égale ou semblable à son homologue, ou que chaque corps soit égal , semblable ou symétrique & son homologue dans l'autre groupe. Dans les gr<mpe$ temàlablet, (nvenee ou i^métriquei, les corps ou les surfaces homologues, considérés isolément deux à deux, peuvent d'ailleurs avoir ou n'avoir pas des pantiant temblaNee, in»eneê ou ifmétriquet par rapport à un plan ou à une droite intermédiaire. Quant aux points, la HmiiUude, Vmvenian et la tymétrie ne peuvent concerner pour eux que le groupement, mais non la forme, puisqu'ils n'en ont pas, ni la poiitian, qui , telle que nous l'entendons , suppose une forme. 11 y au rait encore ici bien des définitions à donner. Disons seulement que deux grottpeg de points sont temblaldes, quand les points homologues y sont situés les uns par rapport aux autres , comme les points homologues des corps égaux ou semblables posés semblablement ; qu'ils sont imerui, quand les points homologues y sont situés, les uns par rapport aux autres, comme les points homologues de deux corps égaux ou semblables posés d'une manière inverse ; qu'ils sont symétriques, quand les points homologues y sont situés, les uns par rapport aux autres, comme les points homologues des corps symétriques posés symétriquement ; et que le groupement symétrique des corps ou des surfaces consiste dans le groupement symétrique de leurs centres de gravité. Pour poser semblablement ou kwersemeni, dans deux groupes semblables ou inverses, \e9 9urflsces ou les eerpt homologuesyj^oiia; ou

' 99S MILOMmin M U HiTIIU-

Ces définitions relatives à l'étendue des corps sont dn définitions générales, dans lesquelles rentrent, comme cas particubers, les définitions plus restreintes qu'on ■ donne ordinairement, sans explication suffisante, dans les traités de géométrie. Après les avoir exposées , nous pouvons arriver aux définitùms qui concernent les positions, pennaneates ou variables, des corps dans l'espace, et nous leur conserverons le même caractère de généralité philosophique et d'enchaînement rationnel.

W«Mw dt ftgwre, ou bien fom fMtr ifmélTiquemati . d»D» deni grm^at ifmétrique», Hmertei ou wWaWw, leswr/kect l)ulel(«^uho^lologllBsqNM^ triftet jmr lemr fi/wt. a iatB.1 de hs hire tourner sur eux-mAme*, d'une manière conTenible, lutoor de leun centrée de gravita, iroroobUei dau lea deux groupes.