DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE Xllf

dile proportionnelle à la quantité de mouvement du corps choquant. Pour que deux moteurs qui ont des masses et des vitesses différentes produisent, par impulsion., une même vitesse réelle dans un même mobile auparavant en repos par rapport à eux , il faut que la vitesse du premier moteur soit à celle du second , comme le produit de la masse du second par la somme des masses du premier et du mgbile. est au produit de la masse du. premier par la somme des masses du second et du mobile ' . Mais nous avons montré que la vitesse produite n'en est pas moins toujours proportionnelle à la force ou quantité de mouvement réellemefU employée à la produire , c'est-à-dire à celle que le moteur perd. C'est dans le cas d'équilibre seulement que la quantité de mouvement du moteur est employée tout entière à annuler la force opposée.

Les considérations précédentes se rapportent surtout aux cas où le mobile, avant le choc, était en i^epos par rapport au moteur. Si, au contraire, le mobile avait déjà un mouvement suivant la même ligne droite que le moteur, dans le même sens ou en sens contraire, la quantité de mouvement que le moteur perd et celle qu'il communique sont égales à la vitesse respective des deux corps, — c'est-à-dire à la vitesse avec laquelle ils se rapprochent

1 Soit M la masse du moteur A; V sa vitesse; M' la masse du moteur A' ; V* sa vitesse ; et M" la masse du mobile A". La vitesse commune du moteur

A et du mobile A" après le choc sera-i^. La vitesse commune du moteur A' et du mobile A*' après le choc sera Jf *^;; . De l'hypothèse d'après

Ml 'M

laqi,elle J^ - -JÎIL., résulte réquation ; M M' V + M M" Y = M M' V +

M* M" V, qui peut prendre la forme suivante : V ( M ll'+ M M" ) = V ( M M' t M' M"). D'où l'on conclut que V : V :: M* (M - M" ) : M ( M' + M") : ce qu'il fallait démontrer.

336 PDILOSOFBIB DE LA HATUKE.

l'un (te l'autre, — muIlipHée par le produit des masses et divisée par leur somme. Il est évident que la vitesse respective est égale , tantôt à la différence , Untôl à la somme des vitesses des deux corps. Leur vitesse commune, après le choc, est ^ale, tautât à la somme, tantôt à la différence des quantités de mouvement avant le choc , divisée par la somme des masses ' .

La résistance inerte est la même dans toutes les directions : il ne fout pas la confondre avec le poids , auquel elle est proportionnelle , mais dont la direction est celle de la petatUear, c'est-à-dire tendant vers le centre d'attraction. La résistance inerte d'un corps parfaitement solide et libre ne s'oppose au mouvement de ce même corps qu'au moment où ce mouvement commence, et, par conséquent , elle n'agit pas comme force retardatrice. La pesanteur, au contraire, tendant continuellement à produire le mouvement dans un sens déterminé, constitue une résittance active continm , qui , combinée avec une impulsion en sens contraire, produit un mouvement uniformément reiardé, et qui, après avoir usé peu à peu

1 Ed effet, soit, avant le choc. Via vitesse du corps k, dont la masse est ■ i V* la filesse du corps A', dont la masse est H' : la vitetie retpeetive sera

V^V. La quantité du mouvement communiqué par A sera ~ ^ . - , La quantité de mouvement du mobile A' après le choc aéra .- f M'V

__ Mii V'M v ^^ quantité de mouvement du moteur A après le ctioc

sera M V ' mm'v^mmv u^\*MK-y ^a viiessse du moteur A après le M+M' M^M■

dioc sera donc " *'"'''^' - "''^ "'"' . La vitesse du mobile A' après la

(UtH'jH U'M'

M'Vfw'v MVtM'V' M1M)»I'. " HIte

choc sera de même -

DBUXlin PAlITlB. — CHAPinK XIII. 337

hr vitesse du corps luttant contre elle , lui imprime une vitesse crmssante en sens contraire. En effet , la pesanteur est une force motrice continue dans son action , tandis que Timpulslon simple est une force instantanée. Abstraction faite de la pesanteur et de la résistance du milieu , ane impulsion instantanée tend à produire un mouvement uniforme en ligne droite , qui se continue en vertu de Tinertie même du mobile. Une force continue et uni-forme produit un mouvement uniformément accéléré.

La résistance aOxw instantarUe, quand elle a le même point d*appIication que la puissance ^t qu'elle lui est directeibent contraire, en annulle une quantité égale à fo sienne. Si la résistance active est oblique , elle change la direction du mouvement du mobile, dont la vitesse est alors toujours moindre que la somme des vitesses que chacune des deux forces lui imprimerait seule. Si la résistance s'écarte peu de la direction opposée à celle de la puissance, la vitesse est moindre que celle qui serait imprimée au mobile par la puissance seule. Mais si la ré^stance s'écarte suffisamment de la direction opposée à celle de la puissance , la vitesse est égale ou même supérieure à celle que la puissance imprimerait seule au mobile. Alors, la résistance perd habituellement ce nom, et les deux forces portent seulement le nom général de eompoiantes. On nomme résultante une force unique qui produirait un mouvement égal , dans la même direction , à celui qui résulte de Taction combinée de deux ou de plusieurs composantes. D'après ce que nous venons de dire, la résultante des forces appliquées à un point est toujours moindre que la somme des composantes , à moins qu'elles ne soient dirigées dans le même sens, suivant une même ligne droite.

S la puissance et la résistance active, toutes deux inslantaûées, sont appliquées au centre de gravité eu sens directement contraires , la vitesse produite est égale à l'excès de la puissance sur la résistance active , divisé par la masse du mobile '. Pour que les vitesses de plusieurs corps ainsi sollicités soient les mêmes, il Ctut donc que l'excès de la puissance sur la résistance active soit proportionnel à la masse du mobile. S'il n'y a pa» de résistance active directement contraire à la puissance * c'est la force motrice , ou la résultante des forces motrices, qui doit être proportionnelle à la masse du mobile.

Pour faire cesser tout d'un coup le mouvement d'un corps, il faut une résistance de cohésion on de frottemeol dont l'effet instantané soit supérieur à la puissance motrice qui pousse ce corps; ou bien la résistance inerte d'un obstacle parfaitement solide ', à la surface duquel le mouvement du corps non élastique soit normal , et dont ta masse soit comme infinie par rapport à celle du moteur; ou bien une résistance active ^ale en sens contraire à la quantité de mouvement du mobile, en supposant toujours que celui-ci soit parfaiiemeni solide et non élastique.

Pour faire cesser peu à peu le mouvement d'un corps de cette nature, il faut dans Tobstacte une résistance de cohésion ou de frottement dont l'effort instantané soit in-

I En eOét, soit P la puissance ; R la réiislancs actifs ; H la masM du

mobile ; V la vitesse qui lui est Imprimée. Sa quanlilé de mouTement est

, HV. Elle est égale à la différence de la puissance et de la résistance active ;

ainsi UT = P - R. DoocV^-jj--

SAinsi qu'on te verra plus loin, les parties d'un corps parCailemenl solide ce pourraient éprouver aucua cbangement de position les unes par rapport aux autres : aioii la solidité parfaite est la négation absolue de la mollesie et de réla>!lci<é.

BEUXliMB PiHTIK. — CHAPITIB XIII. 339

férieur à la quantité de mouvement du mobile , mais dont Teffort continu finisse par en triompher; ou bien il faut une force continue, agissant à distance comme résistance active en sens directement contraire. Mais, dans ce der* nier cas, le repos n est que d'un instant, et le mobile commence aussitôt à obéir à la force continue, qui désormais agit seule.

Les lois du mouvement uniformément accéléré et du mouvement uniformément relardé se concluent des cinq grandes lois que nous avons exposées plus haut , et sur* tout de la loi de Tindépendance et de la coexistence des mouvements , en considérant la force colitinue , accéléra* trice ou retardatrice , comme une série de forces instantanées agissant avec une égale énergie à des intervalles de temps égaux et très-petits. Des lois du mouvement uniformément retardé , il résulte qu'un corps lancé avec une certaine vitesse initiale , qui se trouve détruite peu à peu par une résistance continue et uniforme, s'arrête au bout d'un certain temps, pendant lequel , s'il n'y avait pas eu de résistance, il aurait parcouru une distance double de celle qu'il a parcourue, et que la distance jusqu'à laquelle le mouvement se continue malgré la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse initiale. Par exemple, un corps étant lancé avec une vitesse initiale d'un mètre par seconde, si la résistance continue et uniforme est telle qu'elle fasse cesser le mouvement au bout de dix secondes, ce corps aura parcouru pendant ces dix secondes cinq mètres, au lieu de dix. Puis, lancez le même corps avec une vitesse quadruple , combattue par la même résistance : il s'arrêtera, après avoir parcouru une distance, non pas quatre fois, mais seize fois, plus grande la seconde fois que la première. D'un autre côté, la force nécessaire pour

340 ranosonn de u HAnu.

imprimer à des corps différents uae même vitesse initiale est , comme dous l'avoQS dit , proportionDelle à la masse de ces corps. Donc l'effet utile d'une force , relativement au mouvement produit malgré une résistance continiie et uniforme, peut recevoir pour mesure le produit de la masse du mobile par le carré de sa vitesse iœ^ale. Ce produit se nomme force vive*.

Si au carré de la vitesse on substitue la distance parcourue dans le sens directement opposé à la résistance ^ distance qui est proportionnelle k ce carré, on a le produit de la masse du mobile par U distance parcourue, et ce produit, qui peut servir aussi à mesurer l'effet utile d'une force, pread le nom de traeaU.

Quand la résistance continue et uniforme n'est autre que la pesanteur, il est aisé de démontrer que le travail, toujours proportionnel à ta force vive, en est alors tout' juste ta moitié. En effet, soit g l'intensité de la pesanteur , c'est-à-dire ta distance que cette force , agissant seule, ferait parcourir à un atome pendant l'unité de temps; v, la vitesse initiale du mobile laneé verlicat&* ment, et h la hauteur jusqu'à laquelle il s'élève. On démontre en physique que v' = s 9 n. Soit p le poids du corps : le travail ph^ j^V, puisque H::—-. Or - est précisémrat l'expression de la masse du corps*, et par conséquent ^v', dont la moitié est égale à ph, est ta force vive. Celle-ci est donc bien le double du travcùi D'ailleurs, tout travail peut s'estimer, et s'raiime en effet

1 Vojei Leibniz, dans tes Acta erudilantm , anao i^SC; Lettre à K. Bay\e , p. 199-193; Lettre à Bemoailli, mintea pages Ja l'édiliufl d'Erdmotin; D'Alembert. ÈUmaUt deplulotoptiie, clisp. 16, iticaitique; oL N. l'oncclei, IiifnidKclràn i, la mécanique indtulrielle, 2- Édilion, Principe* fandtmentaui.

3 Vofci plus baul, ï partie, cliap. tt.

DECXIBMB PABTIB. — CHAPITBB XIII. 344

hahitueliement, comme équivalent à celui qui par impulaba ou par traction aurait fait monter une masse donnée jusqu'à une hauteur donnée. On peut donc , à ce point de vue, dire en général que le travail est égal à la UMMtié deja jbrce vive*.

U est évident , d après cela , que la force vive produite dans un corps par le choc d'un autre corps n'csi^t proportionnelle, ni à la quantité de mouvement du corps cboijpiaut , ni à celle du corps choqué : deux corps mot^urs, aiiimcs de forces vives égales , ne se font équilibre Tun à l'autre, en agissant en sens contrsdres, et ne produisent par impulsion une même vitesse dans un même mobile aupsu^^vant en repos, qu'autant que la masse et la vitesse de Tun de ces deux moteurs sont respectivement égales à la masse et à la vitesse de l'autre. Mais deux corps animés de forces vives égales , quelque inégales que soient leurs ntesses et leurs masses , vont aussi loin l'un que l'autre malgré une mènie résistance continue et uniforme. Quand l'obstable à vaincre est une résistance de ce genre , des forces vives égales produisent un mouvement qui se continue jusqu'à une distance en raison inverse de l'intensité de la résistance, et pour produire un mouvement jusqu'à une certaine distance, il faut une force vive proportionnelle à cette même intensité.

Pour que le mouvement se continue au-delà de cette distance , il faut que la force vive répare ses pertes par une accession permanente : c'est ce qui a lieu habituellement dans les machines industrielles. Si la force vive totale augmente ou diminue, la résistance continue restant la même » le mouvement s'accélère ou se ralentit. Si la force vive cesse de se renouveler, le mouvement se cou-

I Voyes M. Ponceiet, 1. c, p. 113 el suivantes.

3*2 rBILOSOPHIB DB LA DATtU.

tÏDue jusqu'à une disUnce proportioonelle à la force vive qui se trouvait accumulée dans la macbine au moment où elle a été abaDdonuée à ene-mëme. La force vive d'une machine reste coDstante, quand toutes les forces motrices et résistantes appliquées d'une manière continue à la machine ont des vitesses virtuelles et des directions tellement combinées, qu'elles se feraient équilibre , ûla macbine était en repos.

C'est donc hforeevwe, ou bien la (puaUtUdetrapoUt qui est la mesure de l'effet utile des efforts de rhomOifl et des machines, en tant que ces efforts, soit instantanés, soit continus , ont pour objet de déplacer un corps , malgré une résistance continueet uniforme. Quand l'effort est continu , on peut le considérer comme équivalent à l'impulsion instantanée qui aurait été nécessaire pour produire le même résultat. C'est ainsi que l'effet utile obtenu en hissant, à l'aide d'une corde et d'une poulie, un poids jusqu'à une certaine hauteur, est égal à celui d'une impulsion instantanée qui aurait lancé le poids jusqu'à la même hauteur.

Dans la réalité, lorsqu'il y a production de mouvement à la surface de la terre , outre la résistance inerte, qui s'oppose au commencement, mais non à la continuation du mouvement , il y a toujours quelque résistance continue du milieu , du frottement ou de la pesanteur.

Y a-t-il dans les espaces célestes une résistance du milieu? C'est une quesùon qui n'est pas encore résolue. Certaines variations des orbites cométaires, où l'on a cru trouver la preuve de cette résistance, et qu'on n'a pas cru pouvoir expliquer par les attractions du soleil et des planètes , peuvent être produites par d'autres causes r

DEDXlèME PARTIE. — CRAFITRE XIII. 343

et résulter , par exemple , des changements que subit la comète elle-même dans ses passages au périhélie.

Les forces qui agissent à distance tendent sans cesse à produire de nouveau le mouvement. Le premier effet instantané d'une telle force , si elle agit seule , est donc de produire une certaine vitesse , qui » le corps étant abandonné à lui-même, se continuerait indéfiniment , mais que les effets subséquents et continus de la même force accélèrent de plus en plus. La dynamique enseigne à calculer, pour un instant quelconque, le rapport de la vilesse acquise à la vitesse primitive, et à déterminer la ligne décrite en vertu des actions combinées d'une im* pulsion instantanée dans une certaine direction rectiligne et d'une force persistante toujours dirigée vers un même point.

En général , la dynamique enseigne à trouver la direction et l'intensité de la résultante d'un nombre quelconque de forces instantanées appliquées en un même point, et la nature , l'intensité et la direction des mouvements que tendent à produire un nombre quelconque de forces, soit instantanées, soit continues, appliquées, soit en un même point , soit en divers points d'un même corps. La statique enseigne quels sont, dans ces mêmes cas, les conditions d'équilibre. Ces deux sciences réunies , ou plutôt ces deux branches d'une même science, constituent la mécanique.

Nous avons dit que la cinquième grande loi de la mécanique, celle de l'indépendance et de la coexistence des mouvements, domine toute la théorie de la composition des forces. En effets toute force instantanée peut être représentée, quant à son point d'application , à sa direction et à son intensité i par une ligne droite , que Ton peut

3ii PBILOSOFHIE DB U HATUU.

coDÙdérer comme le cfaemûi que la force ferait parcourir à uD atdme dans un espace de temps extrêmement petit, pris pour unité. Or, quand deuji forces inslantanérâ sollicitent un même atôrae; il est aisé de voir qu'en vertu de l'indépendance et de la coexistence des mouTements, leur résultante est représentée en intensité et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces comme côtés. Quand pltmeurs forces sollicitent un atome, en combinant la résuliante de deux d'entre elles avec une troisième, puis la nouvelle résultante avec une quatrième , et ainsi de suite , on obtient la résultante générale. Quand diverses forces agissent sur divers pointa d'un corps parfaitement solide, si ces forces sont .parallèles et dirigées dans le même sens, la résultante de deux d'entre elles est toujours parallèle aux deux composantes et égale à leur somme, et elle divise la perpendiculaire comprise entre leurs directions en deux parties réciproquement proportionnelles à leurs intensités. Si, de plus, toutes ces forces agissent avec une égale énergie sur toutes les masses égales dont le corps se compose, comme cela a lieu réellement pour la pesanteur , leur résultante générale, égale à leur somme, a pour point d'applicadon un point qu'on nomme eerUre de gravité du corpt. Le centre de gravité est en même temps le centre d'inertie, c'est-à-dire le point d'application de la résultante des résistances inertes de toutes les molécules, résultante qui est toujours dirigée dans le sens contraire à l'impulsion , de quelque part qu'elle vienne'.

1 Nous sronsdâjàeipliquâ, dans IsprtaeQlcbopitre, la diffârence de II fMitauê huTtt et du pM» . luquel ceUa rteistan» esl proporiioaodio, toutM chosM égales d'ailleun : le poids est une lorce ayaiit une diieciioa détermioËe, une Torce TerliulB de haut en bas : la TisistaDce inerte esl une fcrte conlraire t l'impsUoD, qvi peut iTolr une direcUon quelconque.

DEUXlâHE PARTIS. — ^ GHAPITEB XIII. 345

Quand toutes les forces appliquées à un atome ou aux diverses parties d'un corps solide ont une résultante unique, alors pour produire l'équilibre, c'est-à-dire pour empêcher ces forces d'imprimer à ce corps aucun mouvement soil de translation , soit de rotation , il suffit d'em« ployer une seule force y égale à la résultante et appliquée au même point en jsena contraiire. L'équilibre existe donc, quand une des forces est égale et directement contraire à la résultante de toutes les autres, et eat appliquée au même point que cette résultante.

Le point d'application d'une force peut être transporté en un point quelconque de sa direction , pourvu que ce nouveau point soit lié au premier d'une manière inva-» riable et lui transmette le mouvement. C'est pourquoi, quand des forces appliquées chacune en un point d'un corps solide ne sont pas parallèles entre elles , mais sont dans un même plan , pour obtenir la résultante de deux d'entre elles, et par suite la résultante de toutes , on prolonge jusqu'à leur point de rencontre les deux lignes droites qui représentent ces deux forces , on prend, à partir de ce point, les longueurs proportionnelles aux forces, on construit le parall^ogramme, et on transporte le point d'application de la résultante au point où sa direction coupe la ligne droite qui unit les points d application des deux composantes.

Quand deux forces simples, ou deux résultantes, parallèles , mais appliquées en sens contraires à deux points d'un corps solide, sont inégales entre elles, la résultante, égale à leur différence, est dirigée dans le même sens que la plus intense des deux, et est située au-delà de cette dernière dans leur plan commun, de telle sorte que led produits des intensités des deux composantes, parallètesr

par la distance de chacune à la résultante soient égaux entre eux. Ces produits sont les moments statiques de ces deux forces relativement au point d'application de la résultante , c'est-à-diré qu'ils sont les produits des intensités de ces forces par le bras de levier de chacune à partir de ce point. Quand les deux composantes parallèles en sens contraires sont égales entre ailes, la résultante est nulle, et son point d'application est à l'infini , c'est-à-dire qu'il n'y a pas, hors de l'intervalle des deux directions parallèles, de point par rapport auquel les mouvements statiques des deux forces puissent être égaux. Alors il n'y a pas de mouvement de translation ; mais les deux forces concourent à faire tourner le corps sur lui-même. Il n*y a pas non plus de résultante générale , quand les forces appliquées à divers points du corps ne sont pas dans un même plan. Or, en général, quand toutes les forces qui agissent sur un corps solide supposé libre n ont pas une résultante commune, ou quand la résultante ne passe pas par le centre de gravité et d'inertie, ces forces produisent un mouvement de ce corps autour de ce centre; mais, en même temps, elles produisent un mouvement de translation de ce centre et du corps avec lui, mouvement dont l'intensité et la direction sont les mêmes que si toutes les forces étaient transportées parallèlement à çlles-mêmes et immédiatement appliquées au centre d'inertie et de gravité. Ainsi , d'une part , toutes les forces qui agissent en un instant donné sur un corps parfaitement solide ont toujoui*s, en ce qui concerne le mouvement de translation, une résultante unique, qu'on obtient en les transportant toutes au centre de gravité : seulement cette résultante, et le mouvement en ligne droite, qui en serait reifet, sont nuls, quand ces forces, rapportées au centre