POISSON

“ Paris, 27 mars 1836. » |

Dans une seconde lettre, le savant auteur me demandait de nouveaux renseignements sur des changements survenus dans la législation anglaise ; je crois devoir les citer également, pour faire connaître combien étaient grandes alors les difficultés qui s'élevaient entre les différents pays quand il s'agissait de recueillir même les documents les plus simples {la lettre était datée de Paris le 26 juin 1836). Ce court essai sera peut être utile à ceux qui entreprendraient par la suite de tracer la marche de cette science nouvelle.

« Il paraît qu'il y a eu, ces dernières années, un changement dans la législation anglaise, me disait M. Poisson, par suite duquel de nouvelles sortes d'affaires ont été soumises aux assises. Est-ce vrai? Et pour combien cette circonstance a-t-elle influé sur l'accroissement du nombre des accusés ? Je voudrais bien savoir si vous äâvez examiné cette question et quelle est votre opinion. J'ai enfin terminé la partie de mon ouvrage relative aux règles et aux formules générales des probabilités. Elle est beaucoup plus étendue et m'a pris beaucoup plus de temps que je ne croyais. J'ai complété les formules et j'en ai étendu la démonstration au cas des choses variables auquel on ne les appliquait jusqu'à présent que par une ,sorte d'induction. Il ne me reste plus qu’à revoir la rédaction de la partie spéciale de l'ouvrage qui, pour l'étendue, est devenue maintenant la moindre partie. Je veux aussi ajouter quelques développements à l'introduction qui a paru dans le Compte rendu hebdomadaire ; et c’est pour cela que vos renseignements sur la Belgique et l'Angleterre et ceux que je trouverai dans votre statistique, me seront fort utiles. “ POISSON. »

On pourra voir par ces demandes et par les soins extrêmes que mettait le géomètre français à entourer d'exactitude les détails qu'il se proposait de donner, sous quel jour il envisageait les questions qu'il s'était posées, et avec quelle exactitude il prétendait marcher dans ses recherches.

Puisque je parle de la France et des savants qui s’y sont occupés avec le plus de succès de la statistique , je me permettrai d'appeler aussi l'attention sur quelques considérations qui me furent présentées par un des savants qui me semblait appelé à verser le plus de lumières sur la science qui nous occupe : je veux parler de M. Bravais, officier dé la marine française et l’un des membres les plus distingués de l'Institut de France.

Pour compléter, autant que possible, la théorie desmoyennes, je donnerai

ci-après trois lettres qu’il m'a fait l'amitié de m'adresser, au sujet d'un mémoire sur l'appréciation des documents statistiques et en particulier sur l'appréciation des moyennes, que j'avais inséré dans le t. II du Bulletin de la commission centrale de statistique de Belgique. Dans ce mémoire, je n'avais eu en vue que l'examen du cas où les causes accidentelles n’ont pas de tendance à agir dans un sens plutôt que dans un autre. Peut-être n’avais-je pas suffisamment expliqué l'objet de cet écrit; je le regrette d’autant moins aujourd'hui, qu'il a donné lieu à des lettres très-intéressantes de la part d'un savant qui s’est occupé avec un grand succès de la théorie des probabilités et de ses applications aux sciences d'observation. Je ne donne pas ici les lettres auxquelles M. Bravais fait allusion, parce qu'il les reproduit suffisamment lui-même.

« Paris, le 17 janvier 184.

« J'ai lu avec beaucoup d'intérêt vos recherches statistiques ; vous y rendez très-sensible pour tout le monde la nature de la loi de possibilité des diverses sortes de résultats que peut amener une série prolongée de tirages. Cette loi de possibilité a pour limite PR lorsque les nombres de tirages deviennent très-grands. Mais doit on admettre que, dans la nature, la courbe de possibilité des écarts æ plus ou moins grands d'une quantité physique, autour de sa moyenne, soit toujours et nécessairement une fonction de ce genre? C'est ce que je ne pense pas qu'on puisse admettre à priori, quoique l'observation à posteriori justifie le plus souvent cette vue de l'esprit. Par exemple, pour la taille, ne pourrait-on pas concevoir qu'il existe des causes spéciales qui portent un certain nombre de tailles humaines de préférence vers 1,700, tandis que d’autres causes portent d'autres tailles vers 1M,600, de manière que la courbe des possibilités offrit deux maxima, l'un vers 1M,600, l’autre vers 1",700? La possibilité maximum correspond-elle toujours à la moyenne? Les deux branches de la courbe sont-elles toujours symétriques ? Il me semble que l’on pourrait citer bien des exemples où cela n’est pas. En voici un seul. On sait que les plus grands écarts du baromètre vers le haut de la colonne ne sont guère que la moitié ou les 2/3 des écarts du baromètre vers le bas; de sorte que l’on aura une courbe de possibilité de la forme

dont les deux moitiés ne seront pas symétriques ; seulement l'ordonnée moyenne doit toujours partager le segment total en deux aires égales. Ne pourrait-on pas concevoir à priori que, dans la taille humaine, il se passe quelque chose d'analogue à ce qui se présente (passez-moi le mot) däns la taille de la colonne barométrique ?

# Je me borne à vous signaler mes scrupules, etc, »

« Paris, le 27 janvier 1845,

“ Je suis vraiment presque honteux qu'une simple remarque que m'avait suggérée la lecture de vos Recherches statistiques vous ait inspiré autant d'intérêt, et vous ait engagé à me demander, d'une manière aussi flatteuse pour moi, ce que je pense des courbes de possibilité en général. Et d’abord, permettez-moi de vous dire qu'ayant relu avec plus de soin la page 67 de votre travail, j'y vois clairement que vous n’avez aucunement tombé dans la faute que j'avais cru pouvoir me permettre de vous indiquer, puisque vous dites, article 1 : « Dans le second cas, il n'existe entre les résultats « aucune loi de continuité nécessaire. »

“ Quant à la première partie de votre proposition, je suis à me demander si elle n'est pas encore énoncée d'une manière trop générale, et si elle n'a pas besoin, pour être vraie, de subir des restrictions importantes.

“ Ainsi, et en premier lieu, il me semble que si la quantité à mesurer (bien entendu, correspondante à un concret réellement existant) est susceptible de varier en vertu de causes inconnues, la possibilité ne devra pas toujours suivre la même loi. Je prendrai avec vous, comme exemple, l'étoile polaire ; seulement je prendrai un exemple un peu plus simple que le vôtre, et je supposerai qu'il s'agisse d'obtenir la hauteur vraie de cette étoile, à son passage au méridien inférieur ou supérieur, élément d'où dépend la déclinaison de l'étoile, la latitude étant connue. Pour simplifier encore, je supposerai qu'on ait tenu compte de la précession, de l’aberration et de la nutation. Mettons de côté les causes d'erreur qui peuvent provenir d'une inexacte application de ces corrections ; il reste encore plusieurs autres causes d'erreur qui pêsent sur chaque déterminationisolée(l). La parallaxe de déclinaison d’abord : (supposons-la d’ 1”). Si la hauteur obtenue est de 45° 30’, on voit que, par cette cause seule, la hauteur observée pourra varier entre 45° 29’ 59’’ et 450 80’ l/’; mais il est de plus facile de voir que les hauteurs seront plus souvent observées près de ces deux extrêmes que près de la valeur médiane. En effet, l'équation de la parallaxe sera de la forme de a sin (4 +b), & étant la longitude du soleil, a et b deux constantes ; soit pour simplifier a—=1, b—0o; l'équation se réduit à sin &, quantité susceptible de toutes sortes de valeurs entre + let 1. En nommant e l'erreur correspondante à &, e + de celle correspondante à a + da, on aura e = sin à de — cos «da. Soit P la possibilité pour que l'erreur tombe entre o ete, et pour que la longitude du soleil tombe entre oet a, on aura P —» {e), o étant une fonction inconnue. On aura ensuite

aP dy de dx — de dx Or, on a évidémment dy 1 1 B—=2— ee Re ee 27? done de T COS % rV/1 = e

(1) La parallaxe de déclinaison, l’excentricilé dans le cercle répétiteur, la réfraction, eic., ne seraient pas des erreurs accidentelles, mais devraient être traitées comme des erreurs constantes ou variables, comme M, Bravais d’ailleurs à bien voulu le reconnaitre lui-même dans la lettre suivante. (A. (.)

“ On voit que la courbe des possibilités des erreurs e est

FENTE rever rV/1 — €?

en appelant p le coefficient différentiel de P, c’est-à-dire la possibilité de l'erreur e et a la forme (ci-dessus) d’une sorte de parabole contenue entre les deux asymptotes e — 1, e — — 1]. D'ailleurs si l’on intègre

Gr de, de—1à +1,

on retrouve 1 pour l'intégrale, ce qui est conforme à ce que l'on doit obtenir à priori. Dans ce cas, l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est finie, quoique les ordonnées soient infinies pour e = +1.

« Voilà doncune première cause qui tend à faire dévier la courbe générale des possibilités de la forme exponentielle normale e—"#?, et à lui donner deux maæima correspondants aux deux plus grandes digressions parallactiques de l'étoile.

“. Je supposerai maintenant que l'on se soit servi d’un cercle répétiteur, dans lequel l'erreur d'excentricité £ (£ étant l'excentricité et R le rayon du cercle) ne soit pas convenablement éliminée ; l'erreur d’excentricité sera, sur chaque lecture 7, de la forme - sin (2+ a), a étant une constante. Comme il y a deux lectures 7, [’, dont la différence est la double distance zénitale, soit 2Z, l'erreur définitive est

tune E | NAT A Re) OR EMEA RS 7 SR Lea RAR

Or, comme Z, a, €, R sont constantes et que Z peut avoir toutes les valeurs possibles de 0° à 860°, on voit que l’on retombe dans le cas précédent, sauf la valeur des deux constantes, qui sera généralement différente.

« Considérons maintenant les erreurs de réfraction. On suppose la réfraction dans son état moyen qui correspond à une valeur 0,08 du coefiicient de la réfraction terrestre. Or, connaissons-nous la loi des écarts de

ce coefficient en dessus et en dessous de cette valeur moyenne ? Cette loi dépend des variations du décroissement de densité dans les couches inférieures de l'atmosphère. Ces variations ne peuvent-elles pas être telles, que la loi de possibilité des valeurs de ce coefficient autour de la moyenne 0,08 soit différente de la loi générale eh? 9 C'est ce qui arrive, entre autres, pour la pression de l'air considérée dans ses variations autour de sa moyenne (760mm= environ au niveau de la mer). Y aurait-il une cause pour que les variations du décroissement de densité des couches soient à priori plus régulières et plus symétriques que celles de la pression barométrique ? Je ne crois pas qu’on puisse l’affirmer. Dans les deux cas, il y a oscillation autour d'une certaine position d'équilibre.

“« Quant aux erreurs de graduation du cercle, erreurs que l’on doit supposer variables si le cercle est répétiteur (je me borne à considérer ce cas, parce que, dans le cercle non-répétiteur, ces erreurs sont des erreurs constantes dont nous n'avons pas à nous occuper ici), au lieu d’avoir pour l'erreur

2€ e "sin dou = g Sn cos (+ 2Z + a),

on a dans ce cas e— f{L), la fonction f étant quelconque, par conséquent inassignable à priori; toutes les lectures Z étant également possibles de o à 27; la loi de possibilité sera de la forme A

“ L'erreur de lecture suit des lois très-différentes ; elle est très-faible lorsque la division du vernier est précisément en face de celle du limbe ; elle est plus forte lorsque aucune division du vernier n'est en face de celles : du limbe ; elle dépend du reste que laisse la division de la lecture 7 divisée par l'arc que le vernier permet d'apprécier.

« L’erreur de parallaxe dans la lecture, ainsi que l'erreur de coïncidence de l'étoile sous le fil, proviennent de causes encore plus difficiles à analyser.

« C'est la réunion de toutes ces causes qui donne naissance à l'erreur définitive, et par suite à la loi de possibilité que l'observation fait découvrir à posteriori.

“ [l en serait à peu près de même dans la mesure dela taille d’un homme isolé, faite à diverses reprises. La taille s’allonge par le repos et se raccourcit par la fatigue; les variations vont au moins à 1 centimètre; mais l’état moyen se présente-t-il le plus fréquemment de tous ? C'est ce dont il est permis de douter.

“« [’équerre mobile qui sert à la mesure peut n'être pas horizontale. Si les faces antérieure et postérieure du couloir vertical (qui permet à l'équerre mobile de glisser de haut en bas et de bas en haut) ne sont pas bien parallèles entre elles, on aura deux inclinaisons différentes selon celle de ces deux faces qui appuiera sur la face correspondante du pilier immobile qui sert à la mesure ; de sorte qu'il pourra en résulter ou une correction égale à + c, ou une correction égale à — c. La courbe de possibilité se ré-

duit à deux points symétriquement placés par rapport à l'axe des ordonnées de cette courbe.

mr |

« Reste maintenant le cas d’une quantité parfaitement invariable dans la nature, Je crois que, dans ce cas même, la courbe des erreurs possibles pourra être très-variable, quoique ces erreurs, dans ce cas, proviennent toutes de l'observation. Mais nos instruments, et aussi nos sens, portent en eux des causes d'erreur. Ainsi, dans le cas trés-simple d'une longueur que l'on mesure en portant un compas alternativement sur la longueur à mesurer et sur un étalon, il y à une variation de pression de la main sur les branches, qui peut tantôt augmenter, tantôt diminuer le résultat obtenu ; mais l'événement correspondant à une variation de pression de la main capable de produire l'erreur o à + de millimètre, est-il plus probable que l'événement capable de produire l'erreur :# à -& de millimètre? Je ne pense pas que nous puissions l’affirmer à priori.

« En résumé, je pense que, dans le cas le plus général, toute cause partielle et distincte d'erreur donne lieu à une courbe de possibilité des erreurs (ou si l'on aime mieux, des écarts autour de la moyenne), laquelle peut avoir une forme quelconque, courbe que nous pouvons être puissants ou impuissants à découvrir, et qui, dans le premier cas, peut se déterminer soit par des considérations à priori, sur la nature propre de cette cause, soit à posteriori, par l'observation, à la condition de l'isoler des autres causes d'erreurs concomitantes.

“ Je vais essayer maintenant de rétablir en partie ce que je viens de défaire, et de faire reparaître la courbe ordinaire e—h# suivant laquelle semblent si souvent se coordonner les écarts observés autour du résultat moyen. Je crois que trois causes principales y contribuent.

“« 1° La courbe de possibilité des erreurs dont reste passible un résultat moyen se rapproche toujours beaucoup de la forme er et la courbe converge vers cette forme, à mesure que le nombre des résultats partiels concourant à la formation de la moyenne augmente lui-même. C'est en cela, si je ne me trompe, que consiste la loi des grands nombres. Je vais citer deux exemples de cette convergence. Reprenons le cas cité ci-dessus, où la courbe de possibilité de l'erreur se réduit à deux points, l'erreur étant nécessairement égale à + à ou à — i. Supposons que l'on répète la mesure, et voyons de quelle erreur sera susceptible la somme des deux mesures : on aura quatre combinaisons qui correspondront à e — +- 25, 0,0, —- 2i. Si l'on a trois mesures, on aura huit combinaisons que j'indique par

+++, ++, ++, +— DR VUE À Un nie eut Gone © EL Tre. On aura

les quatre valeurs possibles e—+ 3i, — + à, — — à, — — 3i, avec les probabilités ?, £, ©, & Dans le cas général de m mesures, on aura les erreurs possibles mi, T(m—2)i....:. — (m—2)i, — mi avec les probabilités il 1 m(m—-lli 1 1 Om? Po NT don HONTE ENIORE ANT STE

“« On rentre alors dans le cas que vous avez si bien discuté dans votre mémoire ; la courbe des possibilités est discontinue, et correspond à une série de points isolés, équidistants dans le sens des abscisses, et dont les ordonnées sont proportionnelles aux termes du développement du binôme (1+1m—=]l+Letc....... La courbe continue qui relie ces points entre eux, converge, comme vous le démontrez très-bien, vers la forme e 7 /**,

an a’ a 0 b b’ 1104

“ Le second exemple est celui où la courbe des possibilités est une droite AB, droite finie parallèle à l'axe des abscisses et coupée en deux parties égales, en C, par l’une des ordonnées, de sorte que l’on ait la possibilité p — constante, entre deux limites + à, et nulle hors de ces limites. Sur la figure, on à AC—CB—i. Co doit être égal ner pour que la surface du rectangle aABb soit égale à 1. Ce cas se présente lorsqu'on prend un nombre dans une table, par exemple un logarithme dans une table de logarithmes ; ainsi, si en cherchant /og. 2, nous trouvons 0,30103, nous pouvons seulement affirmer que log. 2 est compris entre 0,301025 et 0,301035, toutes les valeurs intermédiaires étant également possibles. Si nous faisons la somme de deux logarithmes, quelle sera la courbe des possibilités des erreurs dont cette somme est passible ? On trouve que cette courbe est alors représentée par la droite brisée a/Cb’, a'o étant égal à — 2i et à + 21. Pour la somme de trois logarithmes, on a un système de trois paraboles ; l'une allant de a/’ jusqu'au point de rencontre de la ligne Aa et ayant pour équation

DZ;

he (EM. GE al:

l'autre, allant de la ligne Aa à la ligne Bb et dont l'équation est

la troisième, enfin, semblable à la première, qui vient se terminer en b/ à une distance ob” — oa/’ — 3i, et a pour équation

Label uen RTE ST ET à 0e

Pour quatre logarithmes, la courbe se composerait de 4 paraboles du 3e degré, et commencerait à rappeler beaucoup, pour sa forme, celle de la courbe e — ##?, Ainsi, en la comparant à l'exponentielle correspondante et douée de la même ordonnée maximum, les probabilités correspondantes à e=0,—= + 2i,—= + 4i seront, pour la courbe exponentielle,

1 1 1 gs 26667; 2 0,6513; à 0,0098;

et, pour la courbe à quatre paraboles,

« La différence entre les deux courbes de possibilité est déjà de peu d'importance.

«“ Si, au lieu des sommes de m termes, nous considérons maintenant les moyennes des mêmes » termes, il est visible que la loi de possibilité des erreurs serait la même, en remplaçant dans les résultats précédents l'erreur e sur les sommes, par la fraction qui est l'erreur correspondante sur les moyennes. |

« Il existe dans la Théorie des probabilités de Laplace, vers les pages 260 à 265 de cet ouvrage, une méthode générale pour obtenir la loi de possibilité des erreurs d'une somme de nombres, lorsque l'erreur sur chaque nombre isolé a une loi de possibilité connue, qui peut être la même pour tous ces nombres, ou variable d’un nombre à l’autre. Je n’ai pas en ce moment cet ouvrage sous les yeux, ni ceux de MM. Poisson et Cournot.

» Mais dans tous les cas, à mesure que la somme augmentera, la courbe

NOTES. 46l

tendra à se rapprocher de la forme e — "*”*, On voit que le cas Le plus défa-

vorable à une convergence rapide est celui où la courbe est renfermée entre deux asymptotes verticales ; mais, étant poussé à l'extrême, il nous mène à une courbe représentée par deux verticales, ou, ce qui revient au même, représentée par deux points situés à droite et à gauche de l'axe des ordonnées. Ainsi ce cas, qui déjà a été examiné, est précisément celui où la convergence est la moins rapide. Donc la courbe des possibilités de l'erreur commise sur une moyenne convergera toujours vers la forme e— #3 mesure que le nombre des tirages augmentera, et cela, avec une convergence supérieure à celle de la série

m (m — 1) m(m — 1) LM SEE ee MA MN ei E

en 2 vers la forme e — "#*

“« Ainsi voilà une première cause qui tend à ramener souvent dans l'observation la courbe de possibilité e — l#?: c'est la formation des sommes ou des moyennes. ,

« 2° Dans le cas même où l’on considère un résultat isolé, un nombre provenant d'une observation unique, la forme e l#* tend encore à se présenter, à cause de la multiplicité des causes d'erreur de diverse nature qui interviennent; l’erreur totale E est réellement la somme ete +e/+Le... d’une multitude d'erreurs différentes , qui se compensent en partie et auxquelles correspondent des courbes de possibilité ofe), y{e’), Ÿ (e//)..... etc., lesquelles tendent à donner une courbe de possibilité ® (E) des erreurs E, d'autant moins différente de la forme e — in que les courbes de possibilité des erreurs partielles seront plus nombreuses et moins dissemblables entre elles. Le cas où toutes les courbes seraient les mêmes rentre dans le cas examiné ci-dessus : à mesure que l'énergie de ces causes devient au contraire de plus en plus dissemblable, la forme de la fonction correspondante à la cause la plus énergique, tend à prédominer dans la forme de (E).

« 3° Enfin, je crois que, dans la nature, les courbes de probabilités des écarts sont le plus souvent concaves vers l’axe des abscisses, ce qui revient à dire qu'ordinairement les plus grands écarts sont les plus rares ; cela est surtout, je crois, vrai pour les erreurs d'observation. Il semble à priori que cela doit être ainsi, et ce que nous savons du groupement des erreurs ou des écarts, dans le cas où ce groupement a été effectivement observé, ne dément pas cette supposition.

“ La question de la possibilité des erreurs est extrêmement importante dans les sciences d'observations, telles que l'astronomie, la géodésie, etc. Je ne pense pas qu'elle ait été traitée jusqu'ici ex professo dans un ouvrage spécial avec la clarté désirable et les développements nécessaires. Il me semble me rappeler que M. Hagen a essayé de démontrer que, dans la mesure d’une grandeur naturelle invariable, la possibilité de l'erreur suivait l'exponentielle e — h&, mais je crois aussi me rappeler que cette démonstration ne m'avait pas paru suffisamment rigoureuse. Dans certains cas, par exemple dans l'astronomie et la géodésie de précision, chaque résultat

est toujours déduit d’un assez grand nombre de mesures, et rentrant dans la classe des moyennes, son erreur probable doit suivre la loi e— #**,

« C'est ce cas spécial que j'ai traité dans un mémoire communiqué, en 1837, à l'Académie de Paris; ce mémoire étant actuellement imprimé, je pourrai vous en adresser prochainement un exemplaire.

« J'ai assez souvent dirigé mes réflexions sur ce sujet; mais je n'ai jamais eu le temps de rien mettre au net; aussi j'ai saisi avec plaisir l'occasion de vous soumettre quelques-unes de mes idées, cette lettre m'imposant l'obligation de leur donner un corps qui jusqu'ici leur manquait. Je ne sais si j'aurai été constamment clair dans l'exposition qui précède ; ce serait un plaisir pour moi d'entrer dans tous les développements ultérieurs que vous pourriez désirer,

« Pardonnez-moi cette longue lettre, én raison de l'intérêt que vous prenez à ces questions. Lorsque vous me ferez l'honneur de m'écrire, veuillez me dire si vous êtes de mon avis, ou en quoi vous en différez. Il y a là une utilité pratique plus grande qu'on ne le pense communément; c'est en m'occupant d'un problème tout pratique dont voici l'énoncé : « À quelle distance de la côte doit se tenir un navire qui se propose de « lever, sous voiles, le plan de cette côte ? » (Eh bien, cette distance dépend de la loi de possibilité des erreurs des instruments, etc.) C’est, dis-je, en m'occupant de cette question, que j'ai été conduit à m'occuper des probabilités dans les sciences naturelles.

“« Veuillez, etc. »

« Paris, le 15 février 1845.

“ Je suis bien loin de regretter la publication de votre mémoire, qui renferme de si excellentes choses et qui à, considéré au seul point de vue théorique, l'avantage de faire toucher au doigt bien des choses qui devraient, si c'était possible, entrer dans l'éducation de tout homme s'occupant, à quelque titre que ce soit, de l'étude de la nature : en France nous ignorons trop ces principes ; nous avons eu dernièrement ici un essai de l'application des grands nombres à la statistique médicale; la plupart des médecins ont jeté les hauts cris, en partie sans doute par suite d’une crainte vague et instinctive du danger des généralisations, et par sentiment du besoin de flexibilité de la thérapeutique suivant l'organisation spéciale du malade ; mais aussi en grande partie à cause de la difficulté de comprendre les lois des moyennes, et parce que le sujet n’a point été exposé avec la clarté désirable. J'aurais désiré seulement que, dans votre mémoire, les restrictions que vous avez faites, et que vous avez si bien développées dans vos deux lettres, fussent mises un peu plus en évidence : je serais loin d’avoir été compris, si vous aviez pu croire que mes remarques allaient au delà.

Je souscris d'avance à la distinction à faire des causes variables et des causes accidentelles ; mais j'avoue que cette distinction me paraît difficile à: bien établir, de manière que la cause accidentelle, attentivement examinée, ne passe pas en tout ou en partie au rang des causes variables. Ce que vous dites des causes que l'on peut regarder comme

constantes pendant assez longtemps, et qui varient ensuite, me paraît fort juste ; elles sont les analogues des équations séculaires de l’astronomie, et sont ordinairement les plus difficiles à démêler ; elles jettent souvent leur incertitude sur les résultats finals.

“ Lorsqu'on détermine l'erreur à craindre d’un résultat, on peut se demander deux choses : ou bien de déterminer une limite inférieure de cette erreur, ou une limite supérieure. Si, prenant le premier de ces deux points de vue, on conclut seulement de ses calculs que le degré de précision dont on peut répondre est au plus égal au degré de précision qu'assigne le calcul, je crois que le physicien est tout à fait dans son droit, et qu'il est inattaquable sur ce terrain. Dans le cas contraire, où l'on croit pouvoir poser une limite supérieure à l'erreur possible, il faut le faire, je crois, avec beaucoup de prudence, attendu que l'on a à redouter contre une affirmation trop absolue, et les erreurs constantes encore inconnues, et toutes ces erreurs variables à longue période dont vous parliez ci-dessus. Mais poser une limite inférieure, c’est déjà quelque chose : si on eût pris dès longtemps ce parti, bien des résultats n’eussent pas été admis trop complaisamment pour être bannis plus tard. Par exemple, la diminution de l'intensité magnétique horizontale avec la hauteur ne, me paraît pas encore pouvoir être admise comme un fait démontré,quoique l’on commence déjà à ne plus oser la révoquer en doute.