Oscillation du Pendule

$ 5. Quand un corps pesant est attache à un axe fixe autour duquel il peut seulement tourner, il ne peut rester en équilibre, à moins que son centre de gravité ne soit soutenu, c’est-à-dire, ne se trouve dans le plan vertical mené par l’axe de suspension (p. 33, $ 4)» Si un corps placé en équilibre de cette manière, est mis en mouvement curviligne par un choc latéral, son mouvement ne sera pas uniforme. 11 peut être mis en mouvement sans secousse, par sa seule pesanteur, lorsqu’on l’écarte plus ou moins de sa situation d’équilibre, de sorte que le centre de gravité ne soit pas dans la ligne qui passe verticalement par l'axe. Si ensuite on abandonne le corps à lui-même, il en résulte des oscillations de pendule , et la considération de cette sorte de mouvement, est très-importante.

§ 6. Chaque corps AG (fig* 12 ), quelle que soit sa forme, se nomme pendule physique ou composé , lorsque son centre de gravité B ne coïncide pas avec le point de suspension A. Un pendule simple ou géométrique est uneseule ligne droite AB [fi g» 1 3) qui se meut autour de A, et dont la seule extrémité B est pesante. Un semblable pendule ne peut pas exister réellement : mais un petit corps B {fig. i4) d’une masse compacte, suspendu à un fil mince AB, peut en tenir lieu. Ce que l’on nomme alors la longueur d’un tel pendule, en le considérant comme simple , c’csl la distance du point de suspension A au centre de gravité du petit corps B.

7. Si un pendule simple AB [fl g. ï5) est amené dans la position AC, et alors abandonné à lui-même, le point matériel B est forcé de décrire Tare de cercle CB, et il le décrit avec un mouvement accéléré, puisque la pesanteur agit continuellement sur lui à chaque point de sa course; mais comme la direction verticale de cette force, devient de plus en plus oblique à son mouvement, X accélération ira en diminuant de C en B, et ne sera pas uniforme. La vitesse augmente d’abord continuellement de C jusqu’en B, et clic est à son maximum d’énergie en B, ou la force accélératrice devient nulle. D’après cela, le corps ne peut demeurer en B , et il continue à décrire l’arc BiJ , en vertu de sa force d’inertie. Mais on voit aisément que sa. vitessç, maintenant que la pe-

DÈS CORPS SOLIDES

santeur agit d’une manière contraire, doit décroître dans la meme proportion suivant laquelle elle croissait auparavant; de sorte que, par exemple , il aura en G la même vitesse qu’il avait eue au point E, lorsqu’il se trouvait à une hauteur e'gale. Si l’on mène du point C, ou commence le mouvement, la ligne horizontale Cil, il est clair que le corps doit s’élever jusqu’en H; mais, parvenu en ce point, il se trouve dans le même cas oit il était en C; il reviendra donc de H jusqu’en C, et il continue ainsi à osciller d’un de ces points à l’autre ( ).

Quelques physiciens entendent par le mot oscillation une allée et: un retour; d’autres nomment ainsi une seule allée ou un seul retour: nous adopterons cette dernière signification.

<jj 8. 11 est clair que ces oscillations du pendule, devraient continuer ainsi d’une manière égale et non interrompue, s’il ne se trouvait

aucun obstacle au mouvement; mais la résistance de l’air, et la force, quoique bien peu considérable, qui est nécessaire pour la flexion du

fil en A , ôtent à chaque instant au pendule quelque chose de sa vitesse; par cette raison, il n’atteint jamais la hauteur de l’oscfllatiön précédente, et l’arc d’oscillation devient toujours plus petit, jusqu'à ce qu’enfin le pendule s’arrête tout-à-fait. Cependant, les obstacles au mouvement, peuvent être tellement affaiblis, que ces oscillations durent plusieurs heures de suite (i). (*)

(*) Soient Ee la direction verticale et la grandeur de la pesanteur , ET nus tangente en E : prolongeons le rayon AE, et faisons le parallélogramme E teh : l’effet de la composante Eh qui agit des E vers h , est détruit par la résistance du fil; et il ne reste sur E que l’action de l’autre composante accélératrice E/ qui agit de E vers T. Une semblable décomposition faite en un autre point F, montre que la composante Et' est une force retardatrice. La même décomposition faite en G , fait voir que la force retardatrice en ce point , est de même intensité que l<i force accélératrice en F, en observant que celle de la pesanteur est partout îa même, (2) Dans les expériences sur la mesure du pendule, faites à l’Observatoire da Paris, avec l’appareil de Borda , le mouvement était encore sensible au micros« cope , apres un intervalle de vingt-quatre heures. Pour le détail de ce genre d’expériences, voyez Y Astronomie physique de Biot } 2.e édition, M. Prony a éprouvé qu’un pendule composé d’un poids de dix à douze kilogrammes et d’environ un mètre de longueur, pouvait, la suspension étant faite avec beaucoup de soin, osciller pendant un jour sydéral , c’est-à-dire, pendant le temps qui s’écoule entre deux passages consécutifs d’un astre par le même méridien ; ce qui est une propriété fort importante dans ce genre de recherches.

§ g. Autant il est facile d’expliquer la production des mouvemens du pendule, autant il est difficile, sans le secours du calcul, d’en presenter une théorie exacte et entière : nous nous contenterons donc d’exposer les résultats des recherches mathématiques faites d’après les expériences. On trouve, avec la description de la machine d ' Atwood , que nous avons indiquée ci-dessus, pag. 35, § 3, celle d’un appareil employé pour cet objet.

1) La propriété la plus remarquable de cette sorte de mouvement f est la parfaite égalité, ou, comme on a coutume de l’appeler, l’wochronisme des oscillations. La durée d’une oscillation n’est que trèspeu changée par la grandeur de l’arc CB; et comme cet arc n’est en général que de peu de degrés dans les expériences oîi l’on emploie le pendule, les oscillations sont tout-h-fait isochrones pour nos sens (i).

2) Dans des arcs d’oscillation égaux, lorsqu’ils sont parcourus dans le vide, le poids , la grandeur, la forme et les quantités matérielles du corps B, n’ont aucune influence sur la durée d’une oscillation.

3) Le temps d’une oscillation change avec la longueur du pendule, et est proportionnel à la racine carrée de sa longueur (2).

(1) I,e temps de l’oscillation croît avec la grandeur de l’arc BC , ou de l’angle BAC; et en le comparant à celui d’une oscillation infiniment petite, qui est toujours sensiblement le même, comme on le voit ci-après, l’accroissement du temps d« l’oseillation , sera

Si CAB ~ 3o°, de 0,01675

= lo°, 0,00190

— 2°^, o,oooo3

Le temps d’une oscillation infiniment petite, est pris ici pour unité. On voit que pour des arcs de 2°|-, la différence est à peine sensible. Ces résultats sont calculés d’après la formule rapportée dans la note suivante.

(2) La chose la plus importante, mais aussi la plus difficile, dans la théorie des oscillations du pendule, c’est la détermination du temps que le pendule emploie à faire une partie quelconque de son oscillation. Il est très-facile , au contraire , de déterminer la vitesse du corps dans chaque point; car si, par exemple, le corps est allé de C jusqu’à E, il a, selon le chap, XII, § 12, la vitesse qu’il aurait eue en chute libre de D jusqu’à F. On ne peut parvenir à la détermination complète du temps que par une intégration compliquée dont nous allons donner, au moins.

DES CORPS SOLIDES

J io. Il résulte de ces lois, que le temps de l’oscillation du pendule simple ou idéal, est un pur effet de la pesanteur, indépendant

ici le résultat. Soient L la longueur du pendule, T le temps d’une oscillation dans l’arc CBH, Y le sinus verse de l’angle CAB, g la pesanteur, ou l’espace que décrirait un corps grave dans la première seconde de sa chute ; enfin 7i la demicirconférence, ou 3,1415926; on a trouvé

T= - |/X-- (1 + i V+äh V + etc.)

La quantité comprise entre les parenthèses forme , à la vérité, une série infinie ; mais elle est si convergente, que, dans les arcs très-petits, le premier terme suffit déjà, en sorte que Ton peut prendre