V. — Remarque complémentaire. (Cas singuliers
I . — On vient de voir que le S Q' peut être considéré comme le succédané du SQ là où ce dernier manifeste son infériorité. Il ne faudrait pas se hâter d'en conclure que, dans tous les cas, sans exception, où la répartition engendrée par le SQ' est supérieure à celle duSQ, elle est par cela même la meilleure de toutes. En effet, lorsque le SQ', appelé à remplacer le SQ, attribue plus d'un siège complémentaire à une seule et même liste, laquelle estnécessairement la plus forte numériquemeril^ on a à rechercher s'il n'existe pas une répartition encore meilleure qae celle-là et toute différente, d'ailleurs, de celle que fournit le SQ. Nous allons en donner un exemple probant.
Pans la colonne intitulé ^ du tableau suivant, nous avons
~ 44 inscrit les quantums vrais d'une élection quinquepartite. La somme des parties fractionnaires étant égale à 2 indique qu'il reste deux sièges complémentaires à distribuer pour compléter le total de vingt sièges.
Cela étant, nous avons formé toutes les répartitions qu'on peut obtenir en ajoutant chaque fois un siège à deux listes différentes; il en est résulté les combinaisons inscrites à la suite des quantums vrais et numérotées de I à X; une dernière colonne intitulée SQ' donne la répartition propre au système du quotient fictif.
SQ'
la
la
la
la
iri
Sur la dernière ligne, au bas de chaque combinaison se trouve Terreur correspondante.
On remarquera que cette erreur va en augmentant, depuis la combinaison I, où elle est minimum, jusqu'à la combinaison X qui représente la répartition du SQ. Quant à l'erreur de la répartition du SQ', elle est plus grande que celle de la combinaison I et même que celle de la combinaison II. Il n'y donc pas de doute à avoir : la combinaison I représente^ dans les conditions données^ la meilleure de toutes les répartitions possibles; la répartition de SQ' ne vient qu'en troisième ligne et celle de SQ est la plus mauvaise. En adoptant la combinaison I, on corrige la tendance défectueuse du SQ' à avantager à l'excès les grosses majorités.
Nous avons choisi l'exemple d'un cas à restes égaux, cas de pure curiosité théorique, d'une part, afin de montrer, une fois de plus, que ce genre de problème n'est pas pour nous embar-
rasser, d'autre part, dans le but d'accentuer davantage la différence des erreurs ; nous aurions obtenu un résultat semblable en ôtanto,oi aux quantums des listes B et C pour les donner aux quantums de D et E, auquel cas la répartition par SQ eût été sans conteste possible celle de la conibinaison X* Les erreurs, dans ces nouvelles conditions, sont 1.681 pour la combinaison I et 1,698 pour la répartition de SQ': différence 0,017. La différence correspondante pour le cas des restes égaux est : 1.709 — 1-677 = o;o32.
On a vu de quelle manière nous sommes parvenu à découvrir la répartition la meilleure dans l'exemple considéré cidessus.
Est-ce à dire pour autant qu'en pratique il faille, pour résoudre le problème, procéder à ces nombreux calculs d'erreurs sur une série de dix combinaisons différentes? Nullement : nous allons montrer qu'on peut obtenir le résultat cherché en combinant les procédés opératoires de SQ ' avec ceux du SQ.
Nous savons que le SQ ', opérant seul, attribuerait les deux sièges complémentaires à la liste A ; or, semblable libéralité n'étant pas admissible, comme l'a prouvé le calcul des erreurs, nous nous contenterons de donner un de ces sièges à ladite liste, c'est-à-dire à remplacer son quantum vrai 12,4 parle
quantum fictif i3= 12, 4X — r ProcédantconformémenLaux
principes du SQ', nous allons majorer les autres quantums suivant la même proportion en multipliant par le rapport
; nous obtenons ainsi les quantums fictifs inscrits sous la
rubrique q".
^ Le rapport — , dont l'origine saute aux yeux, est le plus petit de ceux qu'on peut eipployer dans notre cas ; il correspond à la valeur maximum du
Cela fait, nous n'avons plus à notre disposition qu'un siège complémentaire : appliquant alors le principe du SQ, nous l'accordons à la liste dont le nouveau quantum possède le plus grand reste décimal, savoir la liste B, dont le quantum est 3,56. La distribution est ainsi terminée, grâce à l'emploi combiné et successif de nos deux systèmes, et la répartition résultante, inscrite dans la dernière colonne, est identique à la combinaison I, reconnue la meilleure.
J'estime utile de faire remarquer que, si le SQ' avait dû
quotient fictif utilisable dans l'espèce, laquelle est les ia4/i3o de celle du quotient vrai. Nous aurions pu tout aussi bien nous servir d'iin rapport plus
élevé, tel que — ; nous eussions alors obtenu les quantums fictifs i3,6;
3,726 ; 2,63 ; i,54 ; 0,44 dont les différences mutuelles sont plus accentuées que
celles des nombres que nous a donnés le rapport — - ; mais, c'est toujours la
fraction du quantum de la deuxième liste B qui serait à forcer, ce qui ne changerait rien au résultat final. Il suffit, pour aboutir à la bonne solution de laisser la valeur de ce rapport au-dessous de — ^—, ainsi qu'il est facile de le com-
prendre
Une remarque analogue s'applique au second exemple que nous donnons
plus loin et où le rapport employé pour majorer les quotients vrais peut être
6,00 7,00 compris entre = — et^ — sans toutefois atteindre cette dernière limite. 5»79 5,79
opérer la répartition totale à lui tout seul, on eût été oblige, pour obtenir les quantums fictifs, de multiplier les quanLums
vrais par le rapport — - , puisque la liste A devait avoir i4
sièges. Gomme on ne lui demandait qu'une répartition par* tielle, on a fait usage d'un rapport plus petit, ce qui a donné des quantums fictifs plus petits ; cela équivalait à employer un quotient ûciit mitiffé Q'\ c'est-à-dire plus petit que le quotient vrai Q, mais plus grand que le quotient fictif pur ou réglementaire Q'; voilà pourquoi nous avons représenté par q' nos quantums fictifs pour les distinguer des réglementaires q' non utilisables dans l'espèce.
Le cas que nous venons d'étudier nous semble assez intéressaut pour justifier la production d'un second exemple tout autant, sinon encore plus probant. Nous le donnons ici eana reproduire les explications déjà développées.
SQ'
2,^HG
o,Aii
2, IIO
On voit que la combinaison I est de nouveau la meilleure, comme ayant l'erreur minimum 1,572, et que la réparlUion de SQ' ne vient qu'en troisième ligne. La différence entre les erreurs de ces deux répartitions est de 0,089.
La combinaison IV représente la répartition due à SQ, avec une erreur de 1,926.
Pour trouver d'emblée la combinaison I, reconnue la meilleure de toutes, il suffit de multiplier les quantums vrais par le
.9 joo
rapport -z^ — , ce qui donne les quanlums fictifs inscrits à la 5,79
suite du tableau, sous la rubrique q". Nous forçons ensuite la
fraction décimale la plus grande, celle de la liste B, et nous
avons dès lors une répartition identique à la combinaison I.
2. — La contre-partie du cas singulier que nous venons d'étudier se rencontre pareillement dans certaines circonstances ; autrement dit, il peut arriver que la répartition donnée par SQ, tout en étant reconnue supérieure à celle de SQ', ne soit pas la combinaison la meilleure.
Prenons, par exemple, le cas d'une élection tri-partite à six sièges, ayant pour quantums vrais les nombres inscrits dans la colonne q :
SQ'
hA9^
On a, comme on le voit, deux sièges complémentaires à distribuer ; en en donnant un chaque fois à deux listes différentes, on forme les combinaisons numérotées I, II, III. Nous avons ajouté à la suite la répartition du SQ'. Au-dessous de chaque colonne est inscrite Terreur ê de la combinaison correspondante.
On voit que la combinaison I possède Terreur minimum et qu'en conséquence elle doit être préférée à la combinaison II qui représente la répartition due au SQ.
Voici, comme second exemple, le cas d'une élection quadripartite à vingt sièges ; deux restent à distribuer et il en résulte six combinaisons différentes numérotées de I à VI.
SQ'
i,ao3
La combinaison I, ayant Terreur minimum, est la meilleure ; la combinaison III, qui représente la répartition par SQ, ne vient qu'en troisième ligne.
Il est facile de montrer que la formation de la meilleure répartition peut être obtenue par l'emploi combiné des procédés du SQ et du SQ'.
Toutefois ici, il faut, pour appliquer le SQ', recourir à un quotient fictif, non pas mitigé, mais au contraire renforcé^ c'est-à-dire plus grand que le quotient vrai lui-même- Ainsi, dans le dernier exemple, celui de l'élection quadri-partite, nous multiplierons les quantums vrais par un rapport plus petit que
l'unité, à savoir -r — = -:;- = o,q4Q, et nous aurons de la i3,7 187
sorte les quantums fictifs q^:
i,ii
Nous n'avons plus qu'à ajouter à chacun des quantums q" une même fraction 0,59 choisie de manière à forcer les deux restes décimaux les plus grands, ceux des listes B et D ; nous obtenons ainsi les quantums q'", dont les parties entières reproduisent exactement la combinaison I.
Univ. de Lyon. — Monoybr. 4
Wr
3. — Enfin, il peut même se présenter des cas où les systèmes SQ et SQ', opérant chacun isolément, fournissent la menu* répartition et où néanmoins il existe une autre combinaison encore meilleure. En voici un exemple :
lY
La eoml}inaison I, avec son erreur minimum de 0,785, est évidemment la meilleure de toutes ; la répartition commune à SQ et SQ', représentée par la. combinaison III, ne vient qu^en troisième ligne.
On ramènera, comme dans le cas précédent, la formation de la combinaison I à une action combinée du SQ avec un SQ' k quotient renforcé^ de telle sorte que les deux systèmes se partagent la répartition totale. On multipliera, en consé-
quence, tous les quantums vrais q par le rapport - — =; 0,945,
ce qui donnera les quantums fictifs q" :
iy.,7 X 0,945 = 12,00
Nous avons alors à récupérer trois unités, ce que nous obtiendrons en forçant les trois restes fractionnaires des listes B, C, D, c*est-à-dire en ajoutant à chaque quantum fictif q" la fraction o,56; il en résulte les nombres inscrits dans la
— 5ï — colonne q'" . On voit que la somme des parties entières des i quantums q'" est égale à 20 et que la combinaison 12, 5, 2, i
\ est ainsi reproduite par lesdites parties entières.
4* — Existe-l-il des signes qui permettent de reconnattre d'avance quand la répartition fournie par l'emploi exclusif de SQ ou de SQ', suivant les cas, n'est pas la meilleure de toutes ? Gela nous paraît fort probable. Toutefois, les essais que nous avons tentés dans cette voie ne sont, nous semble-t-il^ ni assez nombreux, ni assez variés pour nous autoriser a formuler, à cet égard, des règles absolument certaines, ei ccsL sous bénéfice des plus expresses réserves que nous allons indiquer les signes suivants :
I* Lorsque la répartition par Tun ou Tautre système ne dispose que d'un seul siège complémentaire, il n y a pas lieu de rechercher une combinaison meilleure que celle qui a été trouvée directement ;
2^ Lorsque le nombre des sièges complémentaires dépasse Funité et que le SQ' en attribue plus de i à une seule et m^^mc liste (liste A), ou que le SQ a eu à forcer le quantum vrai de cette même liste, on devra recourir à l'emploi combiné du SQ avec un SQ' à quotient mitigé dans le premier cas, renforcé dans le second : on obtiendra de la sorte une nouvelle combinaison, et le calcul des erreurs tranchera définitivement la question de savoir si elle est meilleure que les répartitions fournies par l'emploi exclusif du SQ ou du SQ' ordinaire.
¥T. — Représentation mécanique de la répartition des sièges par les systèmes SQ et S Q'
Je prends Vexemple suivant :
SQ
SQ'
La colonne intitulée q renferme les quantums vrais des 4 listes A, B, C, D; dans les colonnes SQ et SQ' sont inscrits les quÉmlums approchés fournis par les deux systèmes correspondants.
Construisons ce que j'ai appelé la ligne de proportionnalité , Dans ce hiiL, procédons comme nous l'avons fait pour démontrer, H Taide delà Méthode graphique, la non-proportionnalité des répartitions (voir chap. II, i). Portons sur Taxe des abscisses OA (fig. 5u ;i partir de l'origine des coordonnées 0, des longueurs proportionnelles aux forces numériques des listes ou, ce qui revient au même, à leurs quantums vrais ; aux points ainsi déterminés A,B, C,D, élevons des perpendiculaires ou ordonnée.^. Prenons sur l'ordonnée de A une longueur Aao égale au quantum vrai correspondant 5,2 ; joignons le point aoà l'origine des coordonnées et nous avons la ligne de proportionnalité Oa^ qui coupe les différentes ordonnées en des points Bo, bo, Co, d^,, dont les distances à l'axe des abscisses mesurent les quantums vrais des listes considérées.
Sur chaque ordonnée, à partir de son pied, sont inscrites les divisions i, 2, 3..., qui indiquent le nombre d'unités entières conteuuei^ dans la longueur de la droite, c'est-à-dire le nombre de sièges représenté par la partie entière du quantum vrai.
On voit immédiatement sur la figure que le nombre des unités situées au-dessous de la ligne de proportionnalité s'élève à 8, savoir 5 pour l'ordonnée Aao, 2 pour Bbo et i pour Gcq. Or, la somme des quantums vrais étant égale à 10, cela indique qu'il y a en tout 10 sièges à répartir ; 8 étant déjà distribués, il en reste 2 à caser.
Nous allons montrer de quelle manière la ligne de proportionnalité peut opérer mécaniquement la distribution des deux sièges complémentaires dans les systèmes SQ et SQ'.
i^ Répartition par le SQ. — Déplaçons vers le haut la ligne de proportionnalité parallèlement à elle-même jusqu'à ce qu'elle ait atteint ou dépassé 2 nouvelles unités; ce résultat sera atteint lorsque ladite ligne occupera la position 0^ a^ : elle passera alors par la division 2 de l'ordonnée Gcq et laissera audessous d'elle la division i de l'ordonnée Ddo- Ces deux dernières ordonnées, c'est-à-dire les listes C et D, auront ainsi obtenu chacune un accroissement de i, ce qui portera à 10 le nombre total des sièges répartis. .
Le déplacement opéré a été de 0,4 dans le sens vertical; il a donc ajouté 0,4 à chacun des quantums vrais, ce qui donne les valeurs suivantes :
Nous avons donc bien pour la somme des parties entières, un total de 10.
Le résultat est le même que si nous avions forcé les restes décimaux les plus grands, ceux des listes C et D.
2^ Répartition par le SQ'. — Dans ce cas, au lieu de déplacer la ligne de proportionnalité parallèlement à elle-même.
fais>ons»la tourner autour du point O comme centre, de manière k augmenter son angle d'inclinaison sur Taxe des abscisses, et
SQ
SQ'
Oi7
jusqu'à ce qu'elle ait aussi atteint ou dépassé 2 nouvelles unités. C'est ce que nous obtiendrons en lui donnant la position Oa'o : la ligne de proportionnalité passe alors par la division 3 de rordonnée Bbo et coupe l'ordonnée de la liste A en a'o, au-
dessus de la division 6. Nous avons ainsi ajouté i unité à chacun des quantums approchés des listes A et B, ce qui fournit une répartition conforme à celle que procure le SQ'.
Il est facile de démontrer que l'opération sus-décrite est une conséquence nécessaire du principe qui sert de base au SQ', à savoir Femploi d'un quotient fictif Q' plus petit que le quotient vrai Q. Il ressort des notions exposées dans le chapitre I qu'on peut écrire :
B=boQ=b'„Q' ., . b'o Q , .
D'autre part, sur la figure 5, on voit que :
bo = OBtg.^ et b'o=OBtg. É/. ... (2)
en appelant Q l'angle ao OA que la ligne 'de proportionnalité dans sa position initiale fait avec l'axe OA et & l'angle a© OA de cette même ligne dans la position où elle passe par la division 3 de Bbo. Des relations (2)
ontire: ^=|^' (3)
bo tg.9 ^ '
De la comparaison de (i) et (3), on déduit :
tp-Q" ^^^
Nous voyons maintenant que, si Q' est plus petit que Q, tg. 0' doit être plus grand que tg. Q et d'autant plus grand que Q' sera plus petit; dès Tinstant qu'on a : tg. ^>tg. ^, on doit aussi avoir &^0.
Nous pouvons même calculer l'angle [(/ — 0) dont il nous a fallu faire tourner la ligne de proportionnalité pour l'amener dans la position Oa'o. Nous savons, en effet, que bo= 2,5 et b'o = 3; la relation (3) nous donne donc :
tg.6'=tg.0^=tg. 9— =tg.É)Xi,2.
Or, étant égal à 45* par construction, tg. 0= i , de sorte que :
tg.^=I,2
valeur qui correspond à un angle e=5o®, si on néglige environ 1 1'.
Par conséquent, l'angle dont nous avons dû faire tourner la ligne de proportionnalité est de (5o° — 45*) ou 5^.
Si on désire connaître les valeurs des quantums fictifs^ on
n'a qu'à multiplier par le rapport r-^= i ,2, les quantums vrais correspondants; on obtient de cette manière les nombres ;
dont la soipme des entiers est égale à 10.
Quant au quotient fictif à employer dans notre exemple, il a pour valeur :
La représentation mécanique de la répartition des sièges que nous venons d'exposer nous paraît mettre en pleine lumière la genèse de celte opération électorale et le mode différent suivant lequel les deux systèmes SQ et SQ' procèdent pour parvenir à leur but.
On y constate la tendance du SQ à favoriser les listes numériquement faibles et la tendance contraire du SQ' à avantager les fortes majorités. On y voit aussi la possibilité pour le SQ' d'attribuer plusieurs sièges complémentaires à une seule liste, la plus forte, tandis que le SQ nç peut jamais donner qu'un seul siège à une même liste.
Notre mode de représentation mécanique s'adapte parfaitement aussi aux cas singuliers étudiés précédemment (Cf. § V
du présent chapitre). Il suffit, en effet, dans le premier exemple, celui du SQ' à quotient mitigé, de commencer par faire tourner la ligne de proportionnalité autour du point O jusqu'à ce qu'elle passe exactement par la division i3 de l'ordonnée Aao, puis de la déplacer parallèlement à sa nouvelle position jusqu'à ce qu'elle rencontre la division 4 de l'ordonnée Bbo. Le problème se trouve alors résolu conformément à la théorie. Il va de soi qu'au préalable on aura placé la ligne de proportionnalité de manière qu'elle aboutisse à la division 12,4 de Tordonnée de A, cette dernière étant élevée à la même distance 12,4 de l'origine 0.
On procéderait d'une manière analogue dans les cas où SQ' doit opérer à quotient renforcé ; la seule différence consisterait à faire tourner la ligne de proportionnalité en sens inverse, de façon à diminuer son angle d'inclinaison sur l'axe des abscisses.
Rem. I. — Il y a manifestement une relation entre le degré d'approximation de la répartition et la surface décrite par la ligne de proportionnalité pour obtenir cette répartition, la dite surface étant limitée par les deux ordonnées extrêmes et par les positions initiale et terminale de la ligne mobile. — On peut même supposer qu''à la combinaison la plus approchée correspond la surface la plus petite ; mais, pour l'instant, cette hypothèse reste encore à démontrer.
Rem. 2. — De notre théorie de la représentation mécanique des répartitions à la construction d'une machine opérant automatiquement, il n'y a qu'un pas aisé à franchir ; malheureusement, une semblable machine, quelque perfectionnée qu'elle fût, ne donnerait jamais des résultats comparables pour la précision à ceux du calcul.
