QUOTIENT. DIVISEUR. DIVIDENDE

ae... sn mm Le nd 0,0808 0,92518....,...... 0,07482

Produit + 07401 44....... — 07401 44

Produit + 00079 92555 2.. — 00079 92555 2

0,99999 365535 2. 0,00000 63444 8 Produit + etc....,....,.,.. — etc.

3. (A) En poussant plus loin la décomposition, il en résultera que la somme des logarithmes de tous les facteurs compris dans le quotient, plus le logarithme de 0,92518, sera égale à log. 1; car nous avons vu {2.) que la somme de tous ces logarithmes est égale au logarithme du premier diviseur plus le premier dividende, c'est-à-dire au logarithme du nombre qu'on a décomposé : nous avons décomposé 1, par conséquent le produit de tous les facteurs compris dans le quotient, multiplié, ce produit, par 0,92518, sera égal à 1; Je veux dire que ce produit et le nombre donné 0,92518 seront des quantités réciproques. Nommons a le premier diviseur 0,92518, m le produit de tous les facteurs susdits, #7 le nombre par lequel nous avons divisé 3,70072, et a’ ce nombre divisé; il en résulte, pour ce que nous venons de dire, que |

aXm—=I1:

donc

la, ou L.i— L.m = L.a.

Mais, comme Flower a fait

4, ainsi — XMm—=I:

n n donc a!

1:—:imii, ou n:a'::m:1, n et IXn n X ou — ad, et L.n — L.m = L.a'.

(A) En poussant plus loin la décomposition, il en résultera encore que les derniers diviseurs approcheront

à l'unité, car nous avons vu aussi {2.) que tous les composans de 7, ici —1, sont ceux qui font augmenter les différens diviseurs, jusqu'à ce que ceux-ci deviennent à peu près égaux à 7. Cette propriété présente - deux avantages : le premier est la manière dont Flower s'est servi pour trouver les chiffres décimaux des facteurs, en prenant chaque fois le complément du chiffre immédiat après la suite des 9. Ce procédé est évidemment naturel, en observant que les diviseurs et les dividendes respectifs de toute décomposition, comme celle ci-dessus, sont toujours le complément les uns des autres; que le premier chiffre significatif des dividendes étant constamment le complément du chiffre des diviseurs immédiat à la suite des 9, il contient autant de fois le diviseur qu'il contient lui-même des unités, car le diviseur est aussi lui-même approchant à l'unité : d’ailleurs ce procédé est presque le même que celui où nous trouvons chaque chiffre du quotient en divisant, etc. Je dis presque le même; car, en se dispensant de tenir compte des dividendes, il arrive quelquefois que, quoique le diviseur soit approchant à l'unité, il est encore assez petit pour être contenu par le dividende plus de fois que le premier chiffre du dividende contient des unités, comme l'on a pu observer ci-dessus à d'occasion de 7482 divisé par 92518, et comme dans 001998 divisé par son complément 998002 : c'est ce qui a contraint Flower de prendre souvent deux fois le complément dans le même ordre de décimales. Le 2m€ avantage est plus conséquent, et nous en profiterons de la meilleure manière : il consiste en ce qu'ayant poussé la décomposition Jusque où nous cessions d'ajouter les produits aux diviseurs, on épargne tout-à-fait le restant de la

division, que nous devions effectuer en divisant tout simplement le reste par le dernier diviseur ; car, celui-ci ayant alors une suite de 9 plus grande que la moitié des chiffres qu'on désire au logarithme, on peut prendre cette suite pour l'unité assez parfaite pour autant de chiffres qu'il y en a dans la suite des 9, comme, par exemple, le diviseur étant 0,99999365552, il est assez parfaitement 1,0000, parce qu'il ne diffère que dans le deuxième ordre de décimales après le dernier zéro; ainsi divisant le reste 00000634448 de la décomposition précédente par 1,00000, il en résulte très-exactement les cinq premiers chiffres positifs 063444 du reste même. On peut donc ajouter au quotient 0,0808 les chiffres susdits, et il vient 0,0808063444, ou 1,0808063444.

4. (A) La nature des nombres est telle, que tantôt il convient de diviser le nombre proposé par un autre prochainement plus grand que son premier ou ses deux premiers chiffres, tantôt il convient mieux de ne le pas diviser, soit parce qu'on épargne cette division, soit parce qu'il est très-peu avantageux de le diviser, lorsqu'il en résulte un quotient peu approchant à l'unité : par exemple, étant donné 9802647, et le voulant diviser par 99, il y faudroit une assez longue opération pour obtenir le quotient 9901663 ..…, etc., jusqu’à deux ou trois chiffres plus qu'il y en faut au logarithme, tandis qu'il approche à l'unité très peu de chose plus qu’il en approchoit. Dans cette alternative, y étant plus de cas où il convient mieux de décomposer le nombre tel qu'il est, s'approchant-il d'ailleurs par lui-même à l'unité dans l'acte de la décomposition, qui est constamment plus facile sur son commencement, nous omettrons dorénavant cette division préparatoire, en nous contentant de renvoyer

ceux qui en voudront faire usage à ce que nous avons dit plus haut. Nous verrons, par une décomposition où les facteurs auront deux chiffres décimaux, que cette division préparatoire ne seroit pas plus courte que toute la décomposition entière. Nous nous tiendrons à la manière de décomposer les nombres sans omettre les dividendes. Elle est, à la vérité, un peu plus longue que celle de Flower, mais elle n'oppose aucun obstacle à sa généralité; elle présente des moyens de vérification, et donne dans le reste du dividende la deuxième moitié des chiffres du quotient toute prête. Venons à la pratique de ce procédé, et voyons en termes précis et généraux ce qu'on doit faire.

(A) Otons toujours tous les zéros qui précèdent et qui suivent le nombre à décomposer : ainsi 0,00932, 932000, 0,09320 sera toujours 932; prenons-en le complément arithmétique, et divisons ce complément par le nombre donné, débarrassé de tous les zéros susdits, sans considération du rang auquel ces quantités appartiennent; car, étant-elles constamment du même ordre, le premier chiffre résultant, soit-il positif, soit-il zéro, sera toujours du rang des unités. Ayant trouvé le premier chiffre positif, suivons la décomposition de la même manière que nous avons indiquée sur le commencement de ce traité, jusqu'à ce que nous ayons au quotient deux chiffres plus que la moitié des chiffres du logarithme demandé, et ajoutons à notre quotient autant de chiffres positifs du dernier reste qu'il y a des 9 dans la suite du dernier diviseur, ayant toujours considération au rang auquel ces chiffres appartiennent.

Voici le type de l'opération pour un logarithme à douze décimales :