FORMULAIRE PRATIQUE ET RAISONNÉ

commune, d'une somme très-faible, placée k intérêts composés , de sorte que les prélèvemens pour remboursement sont presque insensibles.

Mais aussi les intérêts restent constans depuis la première jusqu'à la dernière année, et pendant cette longue période ils sont toujours égaux aux intérêts du capital entier primitif, circonstance importante d'où résulte une masse de dépenses considérable.

Ce dernier mode a été adopté par presque toutes les sociétés industrielles de France; il a pour lui la simplicité, et l'avantage d'alléger autant que possible les charges d'amortissement des premières années, ordinairement les moins productives de l'entreprise. Nous démontrerons cependant : que la somme des prélèvemens pour intérêts et pour remboursement est toujours moindre dans l'hypothèse de l'amortissement partiel et annuel , et ce, quelle que soit la durée de l'opération ; et que cette différence en faveur du remboursement annuel va même toujours en croissant à mesure de la plus longue durée assignée à l'amortissement.

Il existe néanmoins un troisième mode de remboursement qui consiste à ne commencer l'opération qu'un certain nombre d'années après la dépense du capital; mais à la régler de manière à acquitter et ce capital et les intérêts cumulés antérieurement à l'amortissement.

Aulrc mode d'amortissement sur des ressources à venir, par exemple, sur une prolongalion de jouissance.

D'autres questions se rattachent encore aux précédentes. On a, par exemple , souvent demandé le nombre d'années de prolongation nécessaires dans une concession à terme pour amortir une augmentation dans les dépenses primitives. Nous poserons la formule analytique qui donne la solution de ce problème, et néanmoins nous tâcherons de nous défendre des conséquences rigoureuses et purement mathématiques que l'on pourrait tirer de la formule qui s'y rapporte.

(181) Ordre à suivre pour la solution des questions qui précèdent. Nous j, ■^g'^' donnerons d'abord les expressions élémentaires d'où dérivent toutes les autres formules , savoir :

1°. La valeur d'un capital avec ses intérêts composés.

2°. L'effet de la cumulation d'une prime réservée annuellement et placée à intérêts composés.

3«. Les rapports qui résultent de cette expression entre la prime de reproduction, le capital à reproduire et le nombre d'années de l'opération.

Primes de réserve el de remljouisemenl.

Comjjaiaison des deux modes ordinaires de remboiiisemenl.

Bemboursemenl imputable sur des ressources h venir.

Table ou Barcme pour les concessio'.is à terme.

Nous en conclurons le calcul des primes de réserve pour grosses réparations et l'impossibilité de s'affranchir de ces charges onéreuses.

Nous déduirons encore des mêmes formules élémentaires la solution de toutes les questions de remboursement avec des primes annuelles placées à intérêts composés.

Nous comparerons alors les prélèvemens qu'exige le mode de remboursement intégral et final, tant pour i eproduction de capital que pour service d'intérêts , avec les sacrifices analogues que demande le remboursement annuel et partiel.

Nous compléterons toutes ces questions d'amortissement en examinant combien les difficultés et la durée de l'opération augmentent dans une proportion tout-à-fait extraordinaire, lorsque l'amortissement est uniquement alimenté par des ressources prises dans l'avenir.

Ce travail sera terminé par un manuel de toutes ces formules, et par une table de coeffîciens calculée à l'avance , qui réduii^a la solution de la question la plus compliquée à une simple et unique multiplication.

Tel sera donc l'ordre des matières (*) :

Formules élémentaires.

Prime de réserve pour grosses réparations à prévoir. Prime de i^emboursement d'un capital brut dépensé. Remboursement soit annuel et partiel , soit final et intégral. Remboursement imputable sur des ressources à venir, par exemple, sur une prolongation de concession. Résumé et table.

En appelant

Capital avec rèls composés.

( Formule Z

i«. FORMULES ELEMENTAIRES =

(182) Pour calculer ce que devient un capital avec cumulation des intérêts composés après un certain nombre d'années: C le capital primitif , G le capital avec cumulation d'intérêts , r l'intérêt annuel , 71 le nombre d'années , - On emploie la formule : C =î C ( i H- r)" (Z ) ) — — ■ —

(*) Notre but étant de mettre ces notions à la portée des personnes même les moins exercées dans ces sortes de calculs , le lecteur s'expliquera et l'exposé élémentaire que nous en donnons, et les diverses applications que, pour plus de clarté, nous croyons devoir successix ement en faire ressortir.

FORMULAIRE PRATIQUE ET RAISONNÉ, etc. 263 Il faut en effet ajouter successivement au capital C : Les intérêts de la première année C r.

ici. de la deuxième année G /■ + C r".

id. de la troisième année C / -f- C + G r\

id. de la année G r+Gr'-|-Gr'+etc + Gr".

Et cette somme devient :

C =C + nC r + ( n—i) C + (n^2 ) C r' -\- etc + G r" =

G [ H-7i/'+ («— I ) r + ) H- etc + r" ] = G ( iH-r)"

(i83) On appelle ordinairement prime d'amortissement une somme ou nL-fiintion d une

' . , , , . prime annuelle de

réserve annuelle capable, avec les intérêts composés, de reproduire un leprodnciion. capital brut donné, dans un laps de temps également déterminé.

Il faut cependant se garder de penser qu'une semblable prime suffise au remboursement d'un capital et à toutes les charges qui en dérivent.

On ne parvient en effet à éteindre ainsi que le capital brut; quant au service de la totalité des intérêts , il faut y affecter des ressources spéciales et en dehors de la prime, pendant la durée entière assignée à l'amortissement.

Ges primes de réserve ne balancent dès lors ( comme on le verra ) qu'une faible partie des doubles frais d'intérêts et de remboursement qui constituent les charges entières de l'amortissement (*).

Il nous paraîtrait donc convenable de substituer à cette expression , prime d'amortissement , la dénomination plus exacte de prime de reproduction. Ce serait d'ailleurs une expression générale , également applicable , et aux primes de remboursement destinées au payement d'un capital dépensé, et aux primes de réserve destinées à balancer une dépense à venir.

Pour calculer le produit de la cumulaîion d'une prime annuelle de reproduction avec les intérêts composés, après un certain nombre d'années :

!la prime annuelle de reproduction = />, l'intérêt anruiel =: r, le nombre d'années ~ n, On emploie la formule :

{") Cette observation se développera bientôt, et rectifiera plusieurs erreurs assez généralement accréditées.

Gnpital Lrut produit par une prime annuelle placée à inlérèls composés.

Formule Y. )

Chaque prime annuelle produit en effet avec les intérêts composés , savoir :

La prime de la dernière année n — p.

La prime de l'année ( iv — -i )t= p -\- pr.

( «-—3 ) = p -]- pr pr*.

de la i"". année. , . . n — (n — i) =:p-{-pr-\-prl+etc...-+-pr"~\ La somme de tous ces produits partiels donnera le résultat final de toutes les primes au bout de n années, et cette somme sera :

C = np + ( ri' — .1 )pr+ { iv — >2 ) pr' + etc -f- pr"-'.

Cette expression, au moyen de deux transformations fort simples, devient successivement :

Cr =71 pr H- ( ?!• — .1 ) pr' + ( ti- — 2 ) pr^ + etc -(- pr\ =:

= [p-\-jipr+ ( jb — I )pr' 4- ("—2) /)r' + etc +/?'^] — />• =

=/> [ I +« r+ {n- — '\ ) r' + { ?h — a ) r^ -+■ etc + ]■ — p.

C'est-à-dire ; Cr = p ( i+r)"- — <p ^ p [( i-|-r)" — 1 );

d'où l'on tire : C^p x {jàllpl^'j (Y)

(184) La formule (Y) donne avec ses dérivés la solution des trois questions principales qui se rattachent ordinairement au calcul d'une prime annuelle de reproduction p'acée à intérêts composés.

i". Question. Connaissant l'intérêt de l'argent, la prime annuelle de reproduction, le nombre d'années de l'opération, déterminer le capital qu'on doit obtenir à la fin de la dernière année.

2^ Question. Connaissant le capital dépensé, l'intérêt de l'argent et le nombre d'années de l'opération, déterminer la prime annuelle capable, avec les intérêts composés , de reproduire le capital brut.

3^ Question. Connaissant le capital dépensé, l'intérêt de l'argent, et la prime annuelle de reproduction , affectée au remboursement de ce capital brut, déterminer le nombre d'années nécessaires pour la formation intégrale du capital avancé.

' C le capital dépensé.

/' l'intérêt de l'argent.

n le nombre d'années, l p la prime de reproduction.

Appelons à cet effet

FORMULAIRE PRATIQUE ET RAISONNÉ, etc. 265 On a déjà vu,

Capital C = X j^—

i-ry-i

Et on en conclura les deux formules suivantes

Prime de reproduction , p = C x ( ,^^)n.

Nombre d'années, ji~\oq,. ( i H x

log. ( i+r)