n' = 2/\, ou 71 = 12 ans

C = 40,000 fr.

C" = i5o,ooo fr.

r l'intérêt de l'argent t=! o,o5.

{Note 36.) De cette solution générale, il serait possible de conclure des expressions plus simples pour certains cas spéciaux.

Dans un pont de bois, par exemple, si l'on supposait que les travéei en charpente eussent la durée de deux planchers, on aurait : Ji"~2n'.

Et les deux premiers termes de (V ) deviendraient :

Or, en remarquant que

(i^r) i=^[(i+/-)"' + i]Xt(i+^)"'— I]

Réduisant au même dénominateur, et divisant le numérateur et le dénominateur par r, il vient :

g=(,^.;..,(c'+c"+c'(.+/-)") ■ (vj

Expression qui se compose de la simple somme des trois dépenses faites pendant le courant des deux périodes, y compris les intéi'êts cumulés de la dépense C de la 1" demipériode, ladite somme multipliée par le coefficient commun

C) Observons en passant que la durée des bois sera probablement plus considérable , et que leur renouvellement sera certainement moins dispendieux que nous ne le supposons; mais c'est à l'esprit de la méthode plutôt qu'à l'exactitude des chifTrçs que le lecteur devra s'attacher.

FORMULAIRE PRATIQUE ET RAISONNÉ, etc. 267 On se servira de la formule (V. ).

Et en substituant aux coefficiens de C et de C" leurs valeurs tirées de la table ( 200 ) , dans la supposition defi'^ia, 2 n' = :i4 ; on aura :

^=340000 fr. X 0,0628251 H- i5oooofr. X 0,0224709. =25 13 fr. + 3370 fr. 64=5883 fr. 64. (Note^rj.)

Ces calculs peuvent se vérifier par la synthèse suivante, et toujours au moyen de la table (200).

1». La prime totale et annuelle de réserve capitalisée avec les intérêts

au bout de 12 ans, c'est-à-dire (Y), (] Ç-^^, — donnera pour //= 12 :

5883 fr. 64 X 15,9172= 93,65ifr.20

Et si on en retranche la première dépense à faire G'= . 4O3O00 00

Il restera 53,65 1 20

2°. Ce restant en caisse sera devenu au bout de la 2^ demipériode. ( table (200) la valeur du coefficient (Z) dans l'hypothèse de n'=i2.)

(Z) G'(i4-r)"'=53fr.65i,2ox 1,79586^=: . 96,349fr.8o

Et si à ce nouveau fonds de réserve on ajoute le nouveau produit obtenu pendant la 2^ demi-période, des primes de réserve g , c'est-à-dire comme plus haut :

(Y) q = 5883fr.64 x i5, 9172= 93,65 1 20

Or cette somme, formant l'avoir en caisse pour réserve à la fin des 24 ans, se trouvera balancer exactement, sauf une légère différence,

[Note 37.) Par la formule dérivée

(VJ g = (,+o---.' [c'+C"+C'(.-f.)"']

On aurait également obtenu au moyen de la table (200) pour «'=12 et a «'=24. C (i+r) '"=4oooo2fr.Xi, 79586=7 i834fr.4o.

Et ^ = 0,224709 X( 4oooof»'--l-i5oooofr.-|-7i834fr.4o) = = 0,0224709 X 26 1 8341r.4o = 5883 fr . ,64.

provenant d'erreurs dans les dernières décimales, les deux grosses dépenses à faire, c'est-à-dire C -h C"= 40,000 fr. + i5o,ooofr.= . . 190,000 l'r.

Nécessité de se soumettre à ces cbarees onéreuses.

(18G) On s'étonnera peut-être du chiffre élevé de la prime de réserve ^—5,883fr.64, surtout si l'on remarqueque d'après laformule (Y)5,883fr.64 prélevés tous les ans produiraient avec les intérêts cumulés plus de i4niillions 7 au bout de 99 ans, et l'on se demandera s'il n'eut pas été préférable de faire dès l'origine de fentreprisc la dépense d'arches en pieiu^e par exemple, ou du moins d'augmenter la première mise de fonds, pour se dispenser de réserver annuellement des primes aussi élevées de grosses réparations.

La réponse à cette question se déduira des formules précédentes. Le capital produit par une prime annuelle avec cumulatioii d'intérêts a pour expression :

Une avance de fonds avec intérêts composés, devient

Si on suppose Gt=^C!' on aura la relation entre la prime annuelle p et l'avance de fonds primitive C, pour que cette prime annuelle balance au bout de Ti années (intérêts compris) ce capital dépensé.

Cette hypothèse donne : p Et par conséquent

(X). (iVo^438.)

Capital avec ictérélsconijjosés balancé par une prime annuelle; formule j relative. ( X ).

Cette formule (X) donnera toutes les valeurs que peut prendre C pour une même valeur de p selon les diverses variations de 11.

[Note 38.) La dernière question qu'on vient de résoudre [louriait enfin être retournée et se poser dans les termes suivaus.

Calculer la prime annuelle d amortissement p dont l'effet, avec la cumulation des intérêts, serait capable de balancer au bout de n années le capital C placé pendant le même temps à intérêt composés,

La solution de ce juoblème se trouve encore dans la formule (X) puisqu'on peut en tirer la valeur de p.

n-f-'-)'- ^ ,iir.

FORMULAIRE PRATIQUE ET RAISONNÉ, etc. 269 Si on examine diverses expressions de cette valeur, on trouve : 1°. En faisant 7z=oo (infini) C=— .

C'est-à-dire que la plus grande valeur de C répond au capital dont l'intérêt serait égal à p.

Ainsi, dans l'espèce précédente, le maximum de l'avance remboursable par la pi'ime de réserve annuelle 5883 fr. 64, avec une jouissance à perpétuité, eût été le capital même dont l'intérêt serait représenté par 5883 fr.64, c'est-à-dire i i^ôyafr.So ; et en effet, dans le cas d'une jouissance indéfinie, on peut se borner à assurer les intérêts de la somme avancée sans s'occuper d'amortissement. {JS'ote 3g.)

2". En faisant «=i, expression qui répond au minimum de durée, (en nombre entier) d'une concession à terme, on obtient:

C=--q-j, c'est-à-dire C </). Et/j = C-l-Gr;

ce qui s'explique, puisque le capital C ayant emporté intérêt pendant l'année entière, et au contraire p n'étant prélevé sur les recettes qu'à la fin de l'année, il faut bien, dans ce cas exceptionnel, que la prime soit égale au capital dépensé, plus l'intérêt d'une année de ce capital.

{Note 39.) Puisque l'expression G= — répond à la concession à perpétuité, le facteur

^ ^ — qu'on désignera par (R) indique piécisément pour les diverses valeur de n le rapport d'une concession à terme avec une concession à perpétuité. Et en effet la question pourrait être posée en ces termes:

Escompter aujourd'hui en capital le revenu p à toucher annuellement pendant n aimées. On obtiendrait le capital cherché C en le supposant placé à intérêts composés pendant Il années, et en l'égalant au produit de la cumulation du revenu annuel p placé égaleaient

a intérêts composes, cest-a-clu'e en posant: \j { i -\-r]"—p IJ ou 1 on tu e toujours u

Ainsiensupposanl72=oo , on aura'comme plushaut C = Ainsi encore en faisant 7/ =.99,

on aura C=-^ X 0,992015; de même en faisant yo , on aura C=; — X 0,967 1 15.

C'est-à-dire qu'il ne faut attacher que un pour l d'excédant de valeur à une concession perpétuelle comparée à une concession emphithéotique de 99 ans.

Et c|u'une concession pour 99 ans ne doit elle-même être estimée que de 2 4 pour audessus d'une concession tie 70 ans (bien que sa durée soit presque de moitié plus longue.

La table (200) donne le chiffre exact de ce rapport (R) pour toutes les concessions à terme au-dessous de 100 ans.

Il résulte donc de ces dernières applications de la formule (X) :

Que , malgré les sommes considérables que peut produire une prime annuelle au bout d'un certain nombre d'années, ce sacrifice annuel ne répond encore, même pour une concession à perpétuité, qu'à une augmentation de dépenses primitives égale à cette prime capitalisée.

Que pour une concession à terme, ce même sacrifice ne répond, comme balance de dépenses primitives, qu'à cette même prime capitalisée, multipliée par le coefiicient (R) toujours moindre que l'unité.

Qu'ainsi, dans le cas dont il s'agit, et bien que 5883fr.64 réservés annuellement pour grosses réparations puissent produire i4 millions 7 au bout de 99 ans, il n'eût pas été possible d'augmenter, au moyen de cette même réserve annuelle, la dépense primitive de plus de X 0,992015=1 17672^.80 X 0,992015=1 16733 fr.,18

et par conséquent de remplacer les travées en bois du Pont d'Ivry par des arches en pierre, puisque ces arches eussent conduit à une augmentation de 700^000 fr. dans les dépenses du pont.

Dernières cousi- (187) Au surplus, CCS résultats 86 prévovaicnt même sans le secours

déralions sur les , " primes de réserve, des lormules.

Lorsqu'on a calculé (V) la prime nécessaire pour amortir un capital , on n'est parvenu à balancer des sommes considérables avec des prélèvemens annuels fort restreints que par l'admission simultanée de deux hypothèses, savoir:

1°. Parla cumulation, sur toutes les primes annuelles, des intérêts composés pendant la durée entière de l'amortissement.

2°. Par le soin qu'on a eu de ne faire entrer dans les calculs aucun intérêt du capital à amortir.

C'est-à-dire que c'est uniquement à la reproduction du capital brut qu'on s'est attaché.

Et que les mtérêts de ce capital sont toujours restés, hors de cette opération, au nombre des charges annuelles de la concession.

Tout change donc de face lorsqu'on laisse dans les calculs l'intérêt composé du capital à amortir; et l'on voit en effet que si , par exemple , l'intérêt de ce capital dépasse la prime, il en advient chaque année un accroissement de dettes qui l'emporte sur l'accroissement des ressources à appliquer au payement.

FORMULAIRE PRATIQUE ET RAISONNÉ, etc. 271 Ainsi, dans l'espèce que nous avons posée, s'il était nécessaire d'ajouter 700,000 fr. de dépenses pour construction d'arches en pierre, il ne faudrait pas seulement s'occuper de la prime nécessaire pour reformer 700,000 fr. au bout de 99 ans, car cette prime

p = C X ( , , ^„ = 700,000 fr. X 0,00040245

ne s'élèverait qu'à 281 fr.71; mais il faudrait avant tout prélever sur chaque recette annuelle les intérêts de 700000 fr., c'est-à-dire 35, 000 fr. en sus de la prime d'amortissement: autrement ces 35,ooo fr. de dette inévitable, accumulés annuellement avec les intérêts composés, produiraient à leur tour, en outre du capital primitif de 700,000 fr., une somme de 87 millions à la fin de la même période de 99 années, somme qui serait loin de balancer le produit de 14 millions 7 donné par la prime annuelle de 5883,64- En un mot, le minimum de produit annuel qu'il faudrait réserver, indépendamment de toutes les autres charges, pour pourvoir à la dépense additionnelle de 700,000 fr., eût été 35,ooo fr. d'intérêts, plus 281 fr. 71 de prime d'amortissement, en tout 35, 281 fr. 71 au lieu de 5,883 fr. 64.

(188) D'où l'on doit conclure qu'en matière de concession il faut se Conclusion iiarésigner à d'assez fortes réserves annuelles pour reconstructions partielles périodiques, par l'impossibilité où l'on est, non pas d'amortir un excédant de capital, mais den servir les intérêts jusqu'au parfait amoi tissement.

Aussi dans de pareilles circonstances, pour concilier la nécessité de limiter la dépense première avec cet avantage, pour l'avenir, de se réserver la possibilité d'avoir une construction plus durable, doit-on, comme au Pontd'ivry, diviser l'opération en deux périodes ou répartir la dépense totale sur deux concessions successives.

Dans ce système, il faut réduire autant que possible la dépense primitive de l'établissenment provisoire du pont, mais sans toutefois perdre de vue la pensée d'établir un jour un pont définitif.

Ainsi au Pont d'Ivry (8, JVote i ) on n'a donné qu'une épaisseur provisionnelle aux culées, parce que, sans aucune perte, on pourra plus tard reprendi'c ce travail et sur-épaissir ces massifs. (Note 4o.)

(Note 4o.) L'économie qui est résultée pour la compagnie exécutante, en ne donnant aux culées qu'une épaisseur provisoire, doit être évaluée à la dépense du sur-épaississement de

Ainsi ( Note i déjà citée) on a au contraire fondé et disposé les piles pour un pont en pierre parce que, sans cette précaution, c'eût été une reconstruction entière de ces pilotages et maçonneries à laquelle il eût fallu se condamner.

Dans ce système encore, lorsque la durée de la i" concession sera épuisée, on pourra faire face au moyen d'une concession nouvelle à la dépense additionnelle et du sur-épaississement des culées, et des arches en pierre. On pourra même diviser le travail en un plus grand nombre de budjets ou de périodes de concession. De cette manière chaque partie de la dépense sera faite utilement, et de façon à ne peser sur la masse, avec des intérêts composés, que lorsqu'on serait doublement en mesure et pour en profiter et pour en assurer le remboursement avec des ressources suffisantes et au moindi^c prix possible.