INTÉGRAL
(190) On se rappelle qu'on peut faire face à la double charge des intérêts et des remboursemens d'un capital :
1°. avec des intérêts constans et une prime annuelle placée pour reproduction du capital brut.
2°. Avec des intérêts décroissans, et un remboursement partiel et annuel du même capital brut.
I*" hypothèse.' — 'Dans la supposition d'une prime annuelle de réserve à intérêts composés pour remboursement intégral du capital brut, les prélèvemens de chaque année sont constans, et se composent de la
somme Cr-|-C — , de l'intérêt Cr du capital primitif C , et de la
prime de reproduction C — de ce capital.
Pour obtenir la masse entière P des prélèvemens pendant la durée totale
de l'amortissement, il faut ensuite multiplier cette somme CrH-Cf '- ^
par le 'nombre n d'années de remboursement. Somme des prélé-
^ . vemenspourintéréls
On arrive par conséquent a cette expression : et pour rembourse-
\ 1 , ment dans l'hj'po-
P= n I Gr-\-C(—^^ ) =n Cr ( I -\ \ rembourse-
( V^(i|r)« — 1/) \ ' (1+'')" — 1/ ment final et irile-
Même calcul dans dans la supposition du remboursement annuel et partiel.
Anaij'se de ces expressions.
2^ hypothèse. Dans la supposition d'un remboursement annuel partiel les prélèvemens de chaque année sont variables et se composent d'abord
5 • » Cl
d'une quantité constante pour remboursement t=: ~, et ensuite d'une quotité d'intérêts , décroissante d'une année à l'autre.
Pour obtenir la masse entière Q des prélèvemens pendant la durée totale du remboursement, il faut par conséquent :
D'une part, multiplier — par n, ce qui reproduit le capital C , et d'une
autre part calculer la somme de tous les intérêts annuels décroissans.
Or, ces intérêts s'élèveront la première année à l'intérêt même de la totalité du capital C/\
La 2% année, comme on aura remboursé-^, le capital engagé ne
sera plus que deC^i ;
Et on en conclura l'intérêt à servir C j r
De même on aura pour l'intérêt de la 3'. année , C (^i — . — ^ r
Et pour la dernière et n^"" année G ^1 — r.
La somme de ces termes en proportion arithmétique sera :
— ( CrH r ] = 1 .
Ajoutant à ces intérêts le capital brut C, on aura :
Q= 1 Cr+fe hC( iH ).
(191) La valeur Q se compose d'un terme fonction du nombre d'années de concession, et d'un terme constant, quelle que soit la durée de la concession.
L'influence relative, sur la totalité des prélèvemens, de ce terme constant, égal au capital C multiplié par ^iH — , est notable. Lorsque la
concession n'a qu'une année de durée, il entre pour les dans les prélèvemens. Pour une concession de i5 ans, il entre encore pour les \. Pour une concession de 40 ans, il figure pour moitié. Enfin, pour une concession de 99 ans, il ne figure plus que pour ; environ.
FORMULAIRE PRATIQUE ET RAISONNÉ, etc. 276
Le terme variable est égal au nombre des années de concession , multiplié par la moitié de l'intérêt du capital primitif. L'influence relative de ce terme augmente donc en raison de ce que la concession est plus prolongée. Pour une concession d'un an, ce terme ne serait que ^ des prélèvemens. Pour une concession de i5 ans, il deviendra Et successivement, pour 40 ans il deviendra 7 , pour 99 ans^.
Enfin il est assez curieux de se rendre compte de la masse des prélèvemens pour intérêts et pour remboursement, comparée au capital primitif. Ce rapport va sans cesse croissant en raison du nombre d'années de la concession. Si on appelle toujours Q la masse entière des prélèvemens et C le capital primitif, on aura :
C : Q :: I : 2 pour une concession de 4» ans. :: I : 3 pour une concession de 80 ans. I : 3,5 id. de 99 ans.
(191 bis. ) Considérons à son tour la valeur P, qui se compose de deux termes fonctions du nombre d'années de concession.
Pour apprécier les variations de cette valeur suivant l'étendue plus ou moins prolongée de la concession, il faut calculer les changemens considérables que la partie , du coefficient peut à son tour en éprouver.
Or en supposant l'intérêt à 5 pour °, la quantité , aue nous
représenterons par K, devient avec les diverâ accroissemens de savoir :
71= 14 ans, 2 mois, i5 jours Ki=i
/z=:^ 26 ans, 6 mois, 20 jours X; — ,
«=33 ans environ K=
72=45 ans environ K=
« = 71 ans, 8 mois K:=:-
7z=99ans, 6 mois K = -
O'est-à-dire que K joue un rôle fort important pour une concession de peu d'années, mais que son influence, moindre que l'unité à partir de i5 ans, va toujours en s'atténuant et se réduit à -^j pour un péage de 99 ^iis.
C est-à-dire qu'à la limite, (pour une concession d'une année par exem-
ajG PONT D'IVRY.
pie) K X 7iCr est égal au capital îiC, lorsque le premier terme nCr n'est égal qu'à l'intérêt de ce même capital.
Tandis que dès la quinzième année, le deuxième terme se trouve ramené à l'unité, et qu'à la loo^ année il se trouve réduit à la 128'. partie du premier terme égal toujours à nCr.
Si, d'une autre part, on veut apprécier dans cette hypothèse la masse des prélèveraens, tant pour intérêts que pour remboursemens, comparée au capital primitif, on remarquera :
1°. Que ce rapport va toujours croissant avec le nombre d'années de la concession.
2°. Que si on appelle toujours Pla masse entière des prélèvemens et G le capital primitif, on aura :
G : P :: I : 2 pour une concession de 27 ans.
id.
id.
id.
id.
('102') Enfin si pour les mêmes valeurs de // on met les expressions P
ComparaisoQ de J i ^
ces résuliais. g(- Q gjj présencc l'unc de l'autre on trouve :
iV Que la masse comparée des prélèvemens est toujours plus considérable avec des intérêts^ constans et une prime de reproduction à intérêts composés.
2°. Que cette différence entre les prélèvemens, ainsi comparés dans les deux hvpothèses, n'est cependant ni constante, ni assujettie à une loi régulière depuis la valeur de «=i jusqu'à «=99.
Qu'on pourrait en classer les variations en deux séries, savoir : depuis /î=i jusqu'à «=i5, et depuis 7i=i 5 jusqu'à « = 99.
Que pour la première série c'est-à-dire lorsque la concession ne s'élève pas au delà de i5 années, la différence entre Q et P est fort peu sensible, et qu'il faut en attribuer le motif aux influences respectives et de la quantité constante ^ Gr-|-G dans la valeur de Q et du coeffi-
c\QYii ^ dans la valeur de P; coefficient qui , comme on l'a vu,
est un nombre entier jusqu'à ce que «> 1 5 années.
Que pour la 2'. série au contraire, c'est-à-dire lorsque la concession est de plus de i5 ans, l'influence de la constante ^Gr-f-G, et du coefficient (K) qui devient une fraction , va en s'afFaiblissant.
FORMULAIRE PRATIQUE ET RAISONNÉ, etc. 277
Que dès lors la loi des différences dépend de plus en plus du 1" terme des valeurs respectives de Q et de P.
Et que ce i" terme étant exprimé, comme on l'a vu par /^Crdans Q et par nCr dans P, les différences entre la valeur correspondante de Q et de P vont en croissant d'une manière assez rapide, et proportionnellement à — .
De telle sorte, par exemple, qu'au bout de 99 ans on se trouve avoir
Pour rendre plus sensible tout ce que nous venons de développer, nous joignons ici un tableau en nombres ronds des valeurs comparées de Q et de P, et de leurs termes élémentaires pour les diverses valeurs de n.
On supposera pour plus de simplicité que C=:i. Tableau des pj'élèi^emens nécessaires dans les deux modes de rembouî' sèment.
Valeurs de k.
Une année.
ans, mois, jours,
33, environ.
4o, Id.
45, Id.
58, Id.
71, 8, Id.
Valeur de Q ==
n Cr
nCr
-f- - Cr.
«Cr I
Valeur de P = «Cr-|-nCrX
nCr.
«GrX-
(14-r) " — I ;tCr+nCrX
Id.
Id.
Id.
Id.
Id.
Id.
Id.
Id.
Conclusion à l'avantage du remboursement anuuel et partie!.
Tableau <jui met celle conséquence en évidence.
