SUR UNE PROLONGATION DE CONCESSION

Amortissement ajourné à un nombre n d'années.

On suppose que le capital à reproduire s'est augmenté, pendant le même temps, désintérêts composés.

(193.) Lorsqu'on se propose de remboui ser un capital au moyen d'une prime annuelle placée à intérêts composés, comme l'on a vu, cette prime balance seulement la reproduction du capital brut, et le service des intérêts de ce capital doit en outre être prélevé sur la masse pendant le cours entier de l'opération.

Il semblerait naturel d'opérer de même lorsqu'on ajourne cet amortissement à un certain nombre d'années. Néanmoins on a quelquefois supposé que dans certains cas spéciaux, dans l'hypothèse, par exemple, d'une augmentation imprévue de dépense, il y avait, pour une compagnie exécutante, impossibilité de payer les intérêts de cette dépense supplémentaire pendant un certain nombre d'années, et de consacrer la moindre prime à la diminution de cette dette pendant la même période de temps.

Ainsi, pendant n' années, la dépense supplémentaire C s'augmente de la totalité des intérêts composés et devient G' (i-f-r)"'; et ce n'est qu'au bout également de n' années qu'on vient servir les intérêts de ce nouveau capital C (i+r)"' et songer à la reproduction de son chiffre brut au moyen d'une prime annuelle.

On comprend tout de suite que la difficulté du remboursement s'est augmentée, en raison de la loi d'accroissement que subit (i-j-r)"' pour la valeur ti' assignée au délai pendant lequel la dette s'est accumulée; ainsi, au bout de 99 ans , cette charge se sera aggravée dans le rapport de i à 125,239. Table (200).

Le calcul de la prime annuelle nécessaire pour reproduire le nouveau capital brut C (i-f-r)"', s'obtient, du reste, avec la dernière facilité au

Formules générales y relatives.

Formule (Va) pour la prime annuelle nécessaire à la reproduction de ce ca])ital Lrut.

Formule ( T , ) pour le DomLre d'années de cette opération .

moyen de la formule (V) /)=Cx — puisqu'il suffit d'y substi-

tuer : C=^C' ce qui donne: p := C x r-^ll±^] (VA

^ ' L(i-4-r)" — iJ

On aurait de même le nombre d'années n nécessaire à la reproduction du capital brut C (i+r)"' en dégageant n de la formule (V3.)

«=log. [

Crfi-fr)"'

log. (i+r)'

FORMULAIRE PRATIQUE ET RAISONNÉ, etc. 279 (194) De ces expressions générales on peut déduire toute autre solu- Cas particulier.

, Impulalion du rem-

tlOn particulière. boursement sur une

Ainsi on s'est demandé de combien d'années il fallait prolonsrer une P^'o'.oDgaiiondecou-

•i ~ cession.

concesssion de péage à terme, pour faire la balance d'un accroissement dans les avances prévues ou consenties ? C'est alors supposer :

1°. Que 11 est la durée de la concession primitive; et n le nombre d'années nécessaire de prolongation de jouissance.

2°. Que Çl est toujours la dépense primitive additionnelle, devenue avec les intérêts composés Ql (i +/)"', par suite de ce que pendant 11! années il n'a rien été prélevé sur la masse ni pour le service des intérêts, ni pour le remboursement de l'avance égale dans le principe à C

3°. Que la prime annuelle à consacrer au remboursement du chiffre brut de ce nouveau capital C'(i+r)" se trouve égale à la totalité du revenu net du péage, diminué seulement de l'intérêt annuel et constant de la même somme C'(i+r)"'.

C'est-à-dire, en appelant a le revenu net du péage, qu'on aurait:

De sorte qu'en substituant cette valeur de p dans l'expression (T3), on obtient :

7;- Inr Fi I ^'^('+^^"' 1 w rry . Formules (V4)

Si l'on remarque que CV(iH-/') "' représente l'intérêt du capital dû au bout de d années; en exprimant cette quantité connue paré, la formule (TJ devient :

, — , expression aussi simple que lucide, puisqu'elle

iog. (i-j-r.) ' ' i T

met en évidence toutes les données principales du problème, savoir : 6 l'intérêt du capital dû au bout de 11 années; a le revenu net du péage; et a — S la somme à affecter au remboursement.

C195.) Il résulte d'abord de la formule (TJ que n serait infini, c'est-à- consMiuence de dire que le remboursement serait impossible dans le cas où l'on aurait '^^^ expressions. a = CV(i -H/')"' ou à plus forte raison a < CV(i H-r)"', c'est-à-dire, dans l'hypothèse où le revenu à percevoir au bout de ni années ne serait pas

28o P.ONT-D'IVRY.

Limiie des avan- g^P^i'i^ur à l'intérêt de la somme brute G' dépensée , augmentée des inté-

ces qu'il est possible , i i. j r •

de rembourser sur rêts composes au Dout de n années.

ne Xu"" to?icii°er Autrement dit, si l'on voulait savoir dans quelle limite il faut restreinqu'au bout de n somme G à dépenser aujourd'hui pour être remboursée par un

anuées, .

( Formule u.) reveuu a quc l'on ne doit toucher qu'au bout de n' années, on supposerait at=GV(i+r)"'; d'où l'on tirerait:

(U) C't=:a X ■ r{\^r) ' ^^^^^^ répond à la supposition de a — ê=:o et par conséquent de/z = co; et qui indique la limite au delà de laquelle il n'y a plus possibilité d'amortir, même avec une jouissance à

perpétuité; et en effet de cette expression, on tire : — = C (i+r)"';

Conclusion qui indique que dans cette hypothèse, — (c'est-à-dire le capital du revenu a du pont) fait précisément la balance de la somme C capitalisée avec les intérêts composés pendant n' années.

Le revenu tout entier ne satisfait donc alors qu'aux intérêts du capital dû au bout de n' années, sans qu'aucun excédant de produit puisse être affecté à l'amortissement. {^Note ^i.)

(Note 4i-) On peut encore raisonner dans l'hypothèse où le revenu d'un péage serait précisément égal à l'intérêt du capital social, plus la prime annuelle d'amortissement de ce capital.

... 1 X (7 le capital social, Ainsi appelant ! ' , ^. „

( TT la prime d amortissement,

^ j f par n' la durée du remboursement de 7,

et continuant de I ^ ■ , - '

j , . ) a le revenu net du peaiïe ,

designer j ^ . .

° ( C la dépense additionnelle au capital social 7,

La question suppose a. = yr-^iz.

L'expression (Y) donne y = -K | — -|

D'où résulte a = Tr (i+r)"'

Et par conséquent d'après (U) C'=' —

C'est-à-dire que dans ce cas particulier le chiffre où il n'y aurait plus, pour cette dépense additionnelle, d'amortissement possible, serait le capital dont l'intérêt égalerait la prime d'amortissement du fonds social primitif 7, calculée sur n! années de remboursement.

Ainsi, au Pont d'Ivry, si l'on suppose:

a = 7; — }-7r= I,o5o,000 fr. XO,o5-}-422 fr.57.

On peut calculer C de deux manières :

i". En opérant la transformation ci -dessus, ce qui donne C'= — , et ce qui laisse

FORMULAIRE PRATIQUE ET RAISONNÉ, etc. 281 ( 1Q&.) On pourrait s'étonner des résultats que donnent les formules Réflexions au su-

^ * jet de ces derniers

précédentes, puisqu'on est amené à en conclure : problèmes.

1°. Que pour peu que s'élevât le chiffre des dépenses primitivement calculées, il faudrait que la durée de la concession fût considérablement prorogée.

2". Que par exemple, dans l'espèce du Pont d'Ivry, si cette élévation arrivait à 8,5oo fr. (la i25\ partie environ du capital primitif), il faudrait, même avec une concession à perpétuité, renoncer à rembourser cette somme supplémentaire, toute minime qu'elle est.

Se trouverait-il donc si peu de latitude dans les opérations de ce genre , et une aussi faible extension de dépenses pourrait-elle porter dommage à ces entreprises , en compromettant la première condition de leur prospérité, la certitude de la rentrée des capitaux?

Heureusement, les formules précédentes ne sont vraies qu'autant que Appréciaiion à

, leur juste valeur de

1 on suppose : ces conséquences

1°. Que la recette brute, que l'évaluation des entretiens annuels, que l'aperçu des frais d'administration et de perception sont des quantités mathématiques, et qu'il en résulte pour le revenu net un chiffre invariable.

2*. Que le chiffre du revenu net est rigoureusement égal à la somme des intérêts à servir et de la prime de reproduction du capital social primitif.

3° Que le taux de l'intérêt est aussi impérativement arrêté que toutes les données précédentes.

Ces hypothèses, toutes mathématiques, sont, sans doute, nécessaires

mieux encore en évidence que la limite des avances possibles la première année en sus du fonds social de i,o5o,ooo fr. , avec la certitude d'en être remboursé sur les revenus à toucher après 99 années, eût été le capital dont les intérêts répondent à la prime de l'amortissement dey, c'est-à-dire :

■TT ù,li fr. 57

— =^ z=o45i Ir. 40.

1°. En opérant par la méthode générale et en appliquant à la formule (U) ,

C'=aX—

d'une part la valeur « = SiSoo fr.-f- fyii fr.57 = Sagaa fr.57 ; et de l'autre part le coeffi- '^'^"^ ^(7+^' ~°'^^9694 dans la supposition de «'=99. Table {100)

On obtient : C' = 52922 fr.57 X = 52922fr.57 X o, 159694 = 845ifr.42.

Pont d'Itby. 3g

pour résoudre le problème analytiquement parlant; mais les réalités, qui n'ont rien d'absolu, en modifient singulièrement les conséquences.

Ainsi, et par cela même que le spéculateur aura, dans ses calculs, grossi les charges et amoindri les produits, les entretiens ordinaires et extraordinaires, les frais d'administration et de perception resteront probablement au-dessous des chiffres présumés, tandis que la recette effective les dépassera.

Une des données du problème, l'intérêt de l'argent, peut d'ailleurs être réduite au gré des actionnaires; et cette réduction , qui s'effectuant alors en raison inverse de l'augmentation des charges serait le résultat le plus fâcheux à craindre, empêchera que le principe vital du remboursement puisse jamais souffrir dans son entier accomplissement.

Importance cepen- (107.) Cependant ccs hvpothèses, quelqu'éloiffnées qu'elles soient du

liant et utilité de .. . . .,. . .

ces formules. positif, deviendraient inévitablement la loi des parties dans une contestation relevant de la question que nous venons de traiter.

La formule (TJ déterminera en effet toujours les droits d'une compagnie qui réclamera une prolongation de jouissance. Et sous ce rapport, en méditant la même formule, l'administration ne saurait être trop circonspecte dans le libellé de tout engagement qui, basé sur des dépenses évaluées à l'avance stipulerait une extension de jouissance proportionnée à une augmentation dans le chiffre des dépenses convenues entre les parties.