Dessin de l'arche de Souppes. premier volumet page

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La courbe à plusieurs centres, au contraire, suivant la hçon dont on dispose ces derniers, peut être plus ou moins arrondie aux naissances, plus ou moins aplatie su sommmet, et une certaine part est ainsi réservée au goût de l'architecte qui l'emploie.

Si l'anse de panier n'a pas été appliquée dès l'antiquité pour les arches des ponts, on l'employait parfois pour la construction d'autres voûtes et Héron d'Alexandrie, qui écrivait ses traités de mathématiques plus d'un siëcleavant notre ère, avait déjà indiqué le moyen de la tracer de la façon suivante :

Soit AB la largeur de la voûte à construire, sa hauteur ou montée étant d'ailleurs indéterminée ; l'on décrit sur AB une demi-circonférence, et par le point C de celle-ci, pris sur la verticale OC, on mène la tangente mn, sur laquelle on prend les longueurs On et Ot égales à la moitié du rayon. En joignantmOet nO, on détermine les points D et Eà l'aide desquels on trace le triangle isocèle DOE dont la base est égale à la hauteur. Cela fait, on mène la corde DA, on la divise en 4 parties égales et par les points de division a, b, c, ou trace des parallèles à DO. Les points où ces parallèles coupent l'axe horizon-

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tal AB et Taxe vertical CO prolongé, donnent les centres cherchés pour tracer sur AB diverses courbes à 3 centres, comme le montre la figure. Ces courbes sont celles qu'on nomme d'ordinaire Vovale antique. La plus élevée a été appliquée notc^mment à des voûtes du palais de Tibère.

Depuis que Tanse de panier a été couramment adoptée pour la construction des ponts, les procédés proposés pour la tracer se sont multipliés et Ton a augmenté de plus en plus le nombre des centres. Nous allons exposer brièvement en quoi consistent ceux de ces procédés qui sont le plus en usage.

Ce qu'on s'est proposé surtout , c'est d*arri ver à tracer des courbes parfaitement continues, sans jarrets et d'un contour élégant ; comme le problème est indéterminé, on s'est imposé arbitrairement telles ou telles conditions, qu'on a supposées devoir conduire d'une façon plus sûre au résultat cherché. Ainsi, tantôt on a admis que les diverses parties d'arcs de cercle dont la courbe se compose devront correspondre à des angles au centre égaux entr'eux* D'autres fois, ces arcs de cercle partiels ont été pris de même longueur, ou bien encore on a fait varier, suivant des proportions déterminées, soit l'amplitude des angles soit la longueur des rayons successifs.

On a toujours admis, d'ailleurs, qu^un certain rapport serait maintenu entre le surbaissement de la voûte et le nombre des centres servant à tracer la courbe d'intrados, ce surbaissement étant mesuré, pour l'anse de panier comme pour Tare de cercle,par le rapport de la montée àTouverture, c'est-à-dire parle

rapport --, b étant la montée et 2a la largeur ^e la voûte.

Ce rapport peut être du tiers, du quart, du cinquième, ou moindre ; mais cependant dès qu^il devient inférieur au cinquième l'arc de cercle doit, en général, être préféré à l'anse de panier ou à l'ellipse ; s'il n'est pas inférieur au tiers, la courbe peut être tracée avec trois centres seulement ; avec un plus grand surbaissement il est bon de se donner au moins 5 centres et Ton en a admis parfois jusqu'à 1 1 ,comme pour la courbe du pont de Neuilly par exemple. L'un des centres devant toujours se trouver placé sur l'axe vertical, et les autres disposés symétriquement en nombre égal à droite et à gauche, le nombre total en est toujours impair.

Poar les courbes à 3 centres, le procédé ;&j]ivant, dû à Buyghens, consiste à les tracer en faisant correspondre les arcs de rayons différents à des angles égaux, c*esl-à-dire à des angles de GO*".

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Soient AB Touverture, et OE la montée de la voûte ; du centre 0 Ton décrit avec OA pour rayon, Tare AMF sur lequel on prend Tare AM égal au sixième de la circonférence et dont la corde est par conséquent égale au rayon OA ; on trace cette corde AM et la corde MF, puis, par le point Ë^ extrémité du petit axe, on mène Em parallèle à MF ; Tintersection de AM et Em détermine la limite m du premier arc ; en menant par ce point m la ligne mP parallèle à MO, les points n et F sont les deux centres cherchés ; le troisième centre n'est situé à une distance 72'(Lde Taxe OE égale à nO. L'inspection de la figure suffit pour faire voir que les trois arcs de cercle Am, mEm', m'B dont la courbe se compose, correspondent en effet à des angles au centre Anm, mPm' et m'n'B égaux entr'eux et tous les trois de 60^.

La méthode suivante due à Bossut, pour le tracé de cette même courbe à 3 centres, est plus expéditive.

Soient encore * AB et OE l'ouverture et lamontée de la voûte, c'est-à-dire le grand axe et le petit axe de la courbe à tracer. On joint AE et à partir du point E on prend EF égal à OA —

i . Figure de la pa^^e suivante. •

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ÛE, puis on élève une perpendiculaire par le milieu m de AF et les points n et P^où cette perpendiculaire rencontre le grand axe et le prolongement du petit axe, sont les deux centres cherchés.

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A égalité d'ouverture et de montée, la courbe ainsi tracée diffère fort peu de la précédente.

Pour les courbes à plus de trois centres, les méthodes indi* quées soit par les auteurs que nous venons de citer, soit par BérfiM*d, Perronetf Gauthey et autres, consistaient, comme nous le dirons tout-à-l'heure pour la courbe du pont de Neuilly, à procéder par tâtonnements et à tracer d'abord d'après des données arbitraires une première courbe approximative dont on rectifiait ensuite les éléments, à 1 aide de formules plus ou moins certaines, pour les faire passer exactement par les extrémités du grand axe et du petit axe.

M. Michaly dans une notice publiée en 1^1 ^ a traité la question d'une façon plus scientifique et dressé des tables contenant les données nécessaires pour tracer du premier coup, sans tâtonnements et avec une certitude parfaite, des courbes à 5, 7 et 9 centres.

Sa méthode de calcul s'appliquerait d'ailleurs au tracé de courbes d'un nombre de centres quelconque.

Les conditions qu'on s'impose pour que le problème cesse d'être indéterminé étant en partie arbitraires, M. Michal s'est