ARC ENCASTRÉ
Ela^X
+ EIa^X
La figure 271 permet de comparer les intensités des moments fléchissants dans Fun et l'autre cas.
travail fût presque con L'avaDlagc qu'il y a à a cl à uniformiser l'offorl lions est évident.
En résumé, au point < gemcnts de lempéralurt articulations des naiss de la charge et de la sui
±tO. Effet delà <
en remplaçant dans les leurs valeurs en fonclioi
l-fr
Fig. 212.
Le moment âéchissai tif — Qs en A, et l'a nulc en uo point C vo des pressions coupe l'a
L'angle au centre <j;, correspondant au point C, présente
cette particularité qu'il est toujours sensiblement égal à
7—== ou - ç, comme dans le cas de la dilatation. Il est facile 1^3 7
de le démontrer. L'équation j X ds = o, qui exprime que
rorientation des sections transversales A et S est invariable, peut être mise sous la forme suivante, en tenant compte de ce que le moment fléchissant est nul au point C :
{i) //^^/?(sin'^ — sin*a)p'rfa — l ^^ Q (cos^f — cosa) p'rfa =r: 0. On a en effet en un point quelconque défini par l'angle a :
X=^pp* (sin'^j; — sin'a) — Qp (coscp — cosa).
Intégrons cette équation différentielle entre les limites o et p <p. Nous trouverons :
(2) |pp'(çsin-4— | + 5iîiî|î^)=Qp'(.pcos^-sinç).
<p ... sin 9 Posons 4^ = r-7=, ou, ce qui revient au même, cos'|/= —
(169). Le second membre de Féquation s'annule; si ce que nous affirmions précédemment est vrai, il faut qu'il en soit de même du premier membre. Développons le coefficient de
5 p p* en fonction des angles <p et ^, en négligeant les puis-
sances de 9 et ^ supérieures à la troisième. Nous trouverons :
?? 3 Égalons à 0 cette expression : nous en tirons :
Donc, en attribuant à \j/ la valeur ■= 9, on annule à la fois
les deux membres de l'équation (2), ce qu'il fallait démontrer.
toute sécurilé, ue nous l'avoDs
Sgal à ^ : celte
it d'inertie I de
dc3 pressions, obligé de clicrrésenle, comme mpliquée et est
n peut négliger
' devant l'unité,
- Q2 à l'aide de emcnt en devers équations qui itiennont sin ç ù lUs bornerons à ont les formules
par la formule :
ïnc au cas de la i valeur de Q st cbissant devient
Ckf
La figure ci-jointe permet do comparer les intensités des moments fléchissants dans les deux cas.
L'encastrement double le moment fléchissant à la clef, et lui donne aux naissances une valeur deux fois supérieure à celle relative à la clef. Par consé- .^NakMRCM quent le travail du métal dû au moment fléchissant développé par la charge permanente est le double à la clef et le quadruple aux naissances du maximum qu'il atteindrait à la clef dans le FJg- 273. cas de l'arc articulé (/îy. 273).
Il n'y a réduction dans le travail que sur une zone très restreinte MN, située au droit des reins de l'arc, dans le voisinage du point C où le moment fléchissant s'annule. Quant au travail dû à l'efl'ort normal, il est à peu près le même dans les deux cas. Nous en concluons que, au point de vue de l'effet de la charge permanente, l'encastrement aux naissances est une mesure très désavantageuse qu'il convient d'éviter.
HTfl. E:iiet de la supciiAPse. — Pour calculer au moyen de formules générales la poussée et le moment fléchissant Qz dus à un poids isolé quelconque, il faudrait d'abord effectuer les intégrales définies entre les limites correspondant au point d'application du poids. Les formules auxquelles on arriverait sont d'une telle complication qu'il est plus simple en pareil cas d'appliquer la méthode générale du n^ 166, en procédant comme pour les arcs de forme quelconque. C'est d'ailleurs ce que l'on serait obligé de faire pour les arcs articulés aux naissances, si les Tables dressées par M. Bresse ne fournissaient pas immédiatement les renseignements nécessaires.
Nous n'avons fait aucune application des formules que nous avons précédemment formulées, de sorte que nous ne pouvons donner aucune indication sur les résultats que peut fournir le calcul du travail développé dans chaque section
ci du moment fléchissant dus à un poids isolé quelconque, au moyen de formules dont l'emploi n'exige pas sensiblement plus de travail que celui des formules relatives aux arcs articulés.
Il paraît résulter de l'étude que nous avons faite qu'il y aurait tout intérêt à encastrer les arcs au point de vue des effets de la température, tandis qu'il est infiniment préférable d'admettre des articulations en ce qui touche les effets de la charge permanente : il semble qu'il y ait impossibilité de satisfaire à Tune et à Tautre condition.
Pourtant rien n'est plus aisé : il suffit [fig. 273) de construire l'arc avec des extrémités articulées et de le décintrer dans ces conditions; on sera assuré à ce moment que la
résultante des réactions de Tare sur la culée passe par le centre de l'articulation a. Supprimons alors cette articulation en calant la section extrême de l'arc sur les sommiers au droit des 2 semelles b b. Nous aurons un ouvrage qui se comportera à la température moyenne, sous l'influence de la charge per- Fig. 275. manente, comme s'il était articulé, puisque la poussée passera par le centre a, et dont Tencastrement ne se fera sentir que pour les effets dus à la dilatation. Nous nous serons donc placés dans les meilleures conditions possibles. Or, nous venons précisément de décrire le mode d'établissement des derniers ponts en arc de grande ouverture construits en France, notamment du pont sur l'Erdre (chemin de fer de Nantes à Châteaubriant), qui a été ainsi décintré sur articulations, puis encastré à l'aidé de cales supplémentaires, après avoir pris son équilibre sous Taction de la charge permanente.
Il est curieux de voir ainsi la théorie fournir après coup la pleine justification d'une disposition empirique admise par M. l'Ingénieur en chef Dupuy par une sorte de diviuation du résultat à obtenir, comme il l'a expliqué dans sou Traité de construction des arcs métalliques (page 53).
En ce qui touche l'effet de la surcharge nous pensons aussi, bien que nous ne puissions en fournir la preuve, pour les motifs indiqués au n** 171, que l'encastrement ne peut
Touvrage sa hauteur minimum dans les points où le moment fléchissant atteint précisément son maximum. Cette mauvaise disposition oblige à augmenter considérablement le poids du métal Fig. 276. employé, et conduit par
conséquent à un excès de dépense absolument inutile.
Il est préférable de conservera Tare une hauteur constante sur tout son développement, et de faire varier le moment d'inertie en réglant en chaque point Taire de la section transversale de manière que le travail dû au moment fléchissant et à Tefi'ort normal reste constant : on est conduit
ainsi à employer des semelles d'épaisseur variable, la répartition des tôles se fait absolument de la même manière que pour les pou- Fic 277 ^ très droites, et Ton obtient (^y. 277)
un résultat analogue à celui qui correspond au cas des poutres droites encastrées ou des poutres droites à travées solidaires.
La hauteur de Tare étant constante, le rayon de g}Tation varie peu d'une section à l'autre, et l'on peut appliquer à ce cas, sans erreur sensible, les formules relatives aux arcs à section constante.
Dans le calcul de la poussée et du moment fléchissant aux naissances, on adopte pour valeur de I et de fl la moyenne des valeurs qui se rapportent à la clef et atix naissances, et l'on ne tient compte de la variation des sections que pour le calcul du travail, lorsque l'on a déterminé le moment fléchissant et l'efl'et normal en chaque section par la méthode générale du n** 138.
Il semble plus exact, au moins pour le cas de la surcharge complète, de prendre la moyenne des sections à la clef et aux naissances que de prendre la section moyenne de Tare tout entier, le moment d'inertie de la section correspondant aux reins, section pour laquelle X est toujours très petit, n'exerçant qu'une influence insensible sur la valeur de la poussée.
POSTS EH ARC. 46
m- vaplnble. — On peut être tetlU
ir (le l'arc h l'inlensUé du momcn
licalion de ce principe conduirai
ar de la clef aux reins, puis à li
faire croître des reins aux naissances. L'aspect de l'ouvragi
serait disgracieux," son exécution présenterait des difficuUéi
l't son assemblage avec les tympans serait assez compliqué
On devra donc se borner en général à faire croître la hau
leur suivant une loi régulière depuis la clef aux naissances
nù elle atteindra son maximum. Cette solution donne ui
ouvrage d'un aspect agréable et Cst suffisamment rationnelle
le maximum de bauteur correspondant aux maxima di
moment fléchissant et de l'efTet normal; il est nécessaire ci
pareil cas de renforcer la clef en augmentant l'épaisseur de
semelles.
Soit ASA' un arc établi dans ces conditions {fig. 278) : l point de rencontre C de la courbe des pressions correspon (lant à la dilatation n'est plus
placé aux —de la longueur de '
l'arc à partir de la clef S. Il
en est de même du point de
rencontre C de la courbe des
pressions correspondant à la
charge permanente. Ces points,
ainsi qu'il est aisé de s'en rendrt ipprochés de la clef.
Leur déplacement est d'ailleurs toujours très faible, alor lème que les moments d'inertie des sections extrêmes A et : mt très différents. Désignons par Ig le moment d'inertie à 1 lef, et par 1^ le moment d'inertie aux naissances. Supposons que le moment d'inertie varie suivant la l( ;présentée par la formule : *■
)— Ksin'a ! cocfficienl K étant donné par la condition :
-Ksin'(p li si
fer-
■-If-
Le profil (le Tare, tel qu'il résulte de Tapplication de cette règle, paraît assez rationnel.
Cherchons la valeur de Tangle «f , correspondant au point C de rencontre de Taxe longitudinal de Tare et de la poussée due à la dilatation.
— rr— = 0 peut être mise sous la forme :
/*c©Q(cosJ/ — cosa)p*rfa 099 1^ , • \ /• v • x \ *j
La résolution de cette équation donne :
K sin"© s,n(p ^
