IV ISPOSITION DES APPUIS

raie pour le CAloal de la d6-

)ns (3} et (4) du n* 161 permettent othëse de charge et de surcharge , ^ , „ ^ IverlicaUy et le déplacement horizontal Sx d'un point de l'axe longitudinal d'un arc dans des mditiona déterminées de charge, surcharge et température.

Nous avons indiqué aux n" 150 et iSi la méthode à suivre ïur les arcs articulés aux naissances. Elle est applicable ms changement aux arcs encastrés. Les calculs de stabilité e l'arc déjà eiTectués ontfait connaître le moment âécliissant

et l'effort normal F développés dans chaque section; on aura plus qu'à calculer les intégrales définies de la manière idiquée au n" 166, et l'on trouvera ainsi Sx et Sy.

En conséquence nous croyons inutile de nous étendre sur >tte question et nous n'y reviendrons pas.

Nous ferons remarquer seulement que pour les extrémités R l'arc, qui sont invariablement fixées aux culées, on a toulurs &c=Sy=8e = o, et que pour la clef, dans le cas d'une ircharge symétrique seulement, on a : îx = £0 = o.

Nous nous bornerons h énoncer des formules approximaves pour le calcul de la variation de la flèche b sous l'iniience de la température, de la charge permanente et de la ircharge complète, qui sont applicables aux arcs circulaires

section constante très surbaissée.

ITS. EItteti» de la dilatation et de la cbarse ei-manente. — La formule (i) du n" 161, appliquée au cas 'un arc sans charge soumis à une dilatation a /, devient, gi a cherche le déplacement vertical de la clef S6 :

3é =^ / FÏ (*^*>S'j( — cosa) (sinip — sîna) p'da + bat.

Nous avons défini précédemment (169) l'angle'}'; on sait

sino X = — O(cos^ — cosa) ,et quecosij/= — ^^

On a d'ailleurs dans le cas présent : a:, — x=sin% — sin'^'j d*où

Or on a :

Q = VAit

Substituons à Q sa valeur :

sin*<p sin^coscp sin(p'

p sin îp

Supposons que le terme boit soit négligeable devant lo terme suivant et que r' soit également négligeable devant

^ ^» c'est-à-dire devant -^J la formule devient, en développant le numérateur suivant les puissances croissantes de 5m^, et négligeant les puissances supérieures à la i*' :

Î5 sm tp

(0 f = çoLtX^-^. — =1.80pa^

' ' '^ sm ^ . "^

Ainsi le déplacement vertical de la clef est égal à l'allongement que subirait le rayon de courbure de l'arc sous l'influence de l'écart de température t. multiplié par le coefficient 1.80.

Quant à l'abaissement de la clef sous Faction de la charge permanente 2pay il est donné par une formule également approximative que nous empruntons à M. Darcel {Annales des Ponts et C haussées ^ 1862, 2* semestre, page 88) :

il) /--i^Nc J^-1^^.

^ ^ '~n^ EU*'"" 8 Eu

Considérons les formules qui donnent les déformations des arcs articulés aux naissances sous l'influence de la température et de la charge. Les formules que nous avons données au n"" 149 sont les suivantes :

p. V. PONTS EN ABC.

celles qui précèdent, on reconnaît que, arcs identiques et identiquement cliarastré et l'autre articulé aux naissances, \l de la clef est plus considérable pour

second, sous l'inlluenœ dcladilatation elle de la ciiarge. Ce résultat semble

il est parfaitement logique et il n'en

présenté par la figure 283, et supposons issement de température, sa longueur diminue dG2LX «/.

Si ses extrémités sont articulées, il va décrire la courbe AS,A'. Sises extré- '"' mités sont cncas-

n A et A' demeureront invariablcsy o; rira la courbe AS,A'.

c la figure montre que, pour que les loii- (s deux courbes AS,A' et AS,A' soient ire que la courbe AS,A', qui est exté- \' à ses extrémités A et A', lui soit inonc le déplacement de la clef est plus 'arc encastré (SS,) que dans le cas de n raisonnement analogue expliquerait oduit les mêmes résultats comparatifs.

! S,S, des deux déplacements est tou-

jaissement à la clef.

283 montre que les déplacements v

tîcaux des reins sont plus faibles dans le cas de rencastremeni que dans le cas de Tarliculation. Or nous avons vu que, dans les arcs articulés, c'est aux reins que l'on constate la plus grande déformation. Dans les arcs encastrés, c'est au contraire à la clef que le plus grand déplacement se manifeste ; c'est là un avantage très sérieux à l'actif des arcs encastrés aux naissances.

Il en résulte que, sous l'influence de surcharges àrépartition variable, les arcs encastrés se comportent beaucoup mieux que les arcs articulés, et que pour les ouvrages soumis à des charges roulantes considérables, comme les ponts de chemins de fer, l'encastrement présente un avantage réel.

Remarquons encore que le rayon de courbure de lare encastré est susceptible de subir des variations considérables dans le voisinage des reins, où, par l'effet du moment fléchissant, les sections sont soumises à des changements d'orientation très importants. Il convient de tenir compte de cette circonstance dans l'exécution des tympans, et de vérifier que ceux-ci ne seront pas soumis à des efforts excessifs lors du passage des charges roulantes, ou sous l'influence des températures extrêmes. L'exemple du pont d'Arcole fait voir que cet examen n'est pas toujours inutile.

JLTO* Oontreventeinent et clti»po9ltioiis n^^né^rale** de» ares et des» tympan». — Pour tout Ce qui se rapporte au contreventement et aux dispositions générales à adopter pour les arcs et les tympans, nous nous bornerons à renvoyer aux articles 132 et suivants, où la question a été traitée pour les arcs articulés aux naissances. Les mêmes considérations sont applicables au cas présent, sans modification aucune pour le contreventement, mais en tenant compte de la disposition particulière des naissances et de la répartition du travail qui en résulte, en ce qui concerne les arcs et les tympans. Ainsi que nous l'avons déjà dit, il est rationnel d'augmenter la hauteur de l'arc à ses extrémités, et l'emploi des tympans rigides ne doit pas être recommandé comme étant absolument sans aucune utilité.

PONTS EX ARC

I appnl«. 'Encatmtn L iinl»»«iice«. — Dl

ùssances, le moment extrêmes est susccptib iion : la semelle sup^ lircment soumise à u |ue, pour rendre l'eni M' l'arc à la culée au lerie, qui transmetleni

■ l'ouvrage métallique, les mêmes inconvénie que le point d'appui t , culée, en arrière des Tes de taille de ^rand

■ toutes leurs faces av(

e mode d'encastremei

! Mississipi : les plaqu sont en fer transmissioi lée d'un effc tien exclut I la fonte, gér employée di tombées de^ culés) ; les t tirants ancrt culées, au i quatre par d'arc, ont de très de Ion sont bouloni extrémités plaques ( noyées dans nerie. Un [ tkmc donm

lut toute possibilité t

appui.

480 POKTS MÉTALLIQUES.

On peut rencontrer, en construisant un arc encastré aux naissances, de grandes difficultés pour réaliser, dans les conditions supposées par le calcul, la liaison entre Tare et la culée. Quand Tare est monté sur cintre, il faut le relier d'une manière invariable aux sommiers des retombées, et donner aux sections d'appui leur orientation définitive et immuable, au moment où l'ouvrage est complètement monté ol prêt à être décintré.

Si l'arc est construit sans cintres, c'est-à-dire de telle manière que, avant d'être complètement monté, il exerce une réaction sur les culées, le problème du règlement exact des retombées est particulièrement malaisé à résoudre. Pour le pont de Saint-Louis {Annales des Ponts et Chaussées j 1877, 2'' semestre, fig. 287), on s'est heurté à des difficultés inextricables. On s'est borné à régler les arcs à grand'peine en attribuant le plus exactement possible à chacun des tubes formant semelle la longueur indiquée par le calcul. On a opéré par tâtonnement, en agissant successivement et alternativement sur chacun des deux tubes de l'arc, avec des arrêts et des insuccès sans nombre, et, d'après le compte rendu des opérations, il n'est nullement prouvé qu'on soit arrivé à un résultat bien satisfaisant.

Pour ramener tous les arcs à présenter le même profil, on a exercé sur eux des efforts considérables pour raccourcir les tubes trop longs, en forçant d'autant plus que la résistance rencontrée était plus considérable , sans se préoccuper de réaliser l'égalité de compression dans les différentes fermes de chaque travée. Il est difficile dans ces conditions de savoir exactement comment se comporte l'arc, et il est à peu près certain que l'on n'a pas dû développer dans toutes les fermes le même moment fléchissant aux naissances. Un pareil mode de règlement, malaisé et défectueux dans le cas que nous venons de citer, eût été manifestement impossible si les arcs, au lieu d'être formés de tubes réunis par des articulations aux barres de l'âme, eussent été composés de semelles en tôle assemblées par rivets avec la triangulation de l'âme, comme cela se pratique pour les ponts européens. Nous ne voyons pas en particulier comment on eût pu procéder pour le pont du Douro, si l'on avait jugé à. propos d'encastrer ses extrémités.

182 PONTS ïfÉTALLIQUKS.

Nous avons déjà parlé précédemment des arcs dcnii-encastrés : on les décintre à la température moyenne en les laissant reposer sur des articulations centrales placées aux naissances, et l'on ne rend invariable qu'après coup l'orientation des sections extrêmes. Leur règlement ne saurait présenter aucune difficulté et on l'opérera en toute certitude et sécurité. Il suffira de placer les cales d'appui entre les plaques de retombée, et de serrer également et modérément les écrous qui relient les boulons d'ancrage à ces plaques.

Les boulons Jouent ici un rôle bien moins important que dans le cas qui précède : en effet, lors du décintrement, le moment dû à la charge permanente est, par construction, nul ans naissances, et l'effet produit par la charge se réduit à une compression uniforme de la section d'appui. Il en résulte que les efforts de tension transmis par l'arc aux boulons d'ancrage sont toujours petits. On peut même les faire disparaître entièrement sans aucun inconvénient.

Supposons, en effet, quenous supprimions lesboulons d'ancrage (^^. 288) et que nous nous bornions à interposer des cales entre l'arc et le sommier d'appui. Ce mode de construction présentera le caractère Fig. 238. suivant : les cales ne pouvant trans-

mettre au sommier que des efforts de traction, la courbe des pressions ne pourra pas sortir de la hase d'appui limitée par les cales extrêmes. Dans le cas où le calcul indiquerait qu'il en doit être autrement, parexempleque cette courbe doit pas.ser au-dessus de la cale supérieure, alors l'arc cesserait à ce moment de se comporter comme un arc encastré aux naissances : la cale supérîeuie fonctionnerait comme une articulation effective, autour de laquelle tournerait la plaque de retombée en quittant l'articulation centrale et la cale inférieure.

L'ouvrage se comportera en définitive non comme un arc encastré, mais comme un arc articulé dont les articulations seraient mobiles entre les cales extrêmes des retombées, et se déplaceraient de façon à réaliser en toute hypothèse de sur-

rature, l'invariabilité d'orientation de la 'arc, qui ne serait susceptible de subir un aire que dans le cas où la courbe des preslirailes déterminées par la base d'appui, un arc articulé )a section extrême seréduit -même, avec laquelle la section normale de irdée sans variation brusque de hauteur.

lorsque ta courbe des pressions passe au 'appui (température moyenne, surcharge de l'arc qui transmet l'effort à l'articulatrianglc marqué sur la figure 288 par des

à l'axe de l'arc ; les triangles extérieurs, îs hachures, sont des parties inutiles et ne ivail. Si, au contraire, l'arc est placé dans le où l'articulation coïncide avec la cale :ie de l'ouvrage qui supporte tout l'effort ^1g, également marqué par des hachures

ïlg. 289.

. sur la cale supérieure. Dans l'autre état

limite, ce sérail le triangle qui aboutit à la cale inférieure. Il

i8i POXTS MÉTAU.IQUBS.

faut donc que l'exlrémité de l'arc soit établie assez solidement pour ne pas se briser ni se déformer sous l'action de la poussée agissant en un point quelconque de la base d'appui. 11 en résulte que, dans les ponts à demi encastrés de cette espèce, il faut atlribucr à la portion de l'arc voisine des naissances une solidité exceptionnelle et ne pas se contenter de la section transversale indiquée par le calcul ; on renforce l'ouvrage dans cette zone critique à l'aide de tôles supplémentaires, de pièces en fer forgé ou de flasques ou renforts en fonte.

La figure 289 indique la solution l adoptée pour un pont à arcs Hemi-en- K castrés do 60 mètres d'ouverture établi ■^. à Nantes, sur la Loire {fig. 290), Un S arc de cette forme se comporte, ainsi a qu'on l'a vu, très sensiblement comme S «n arc demi-encaslré, sauf le cas cx- ■g ceptionnel où la courbe des pressions S tendrait à sortir de la base d'appui, É ce qui ne peut guère arriver. On le calji culera donc par les formules habi- ^ tuelles relatives aux arcs encaslfés (en ce qui touche l'effet de la surcharge et celui de la dilatation), sauf à vérifier à posteriori que les courbes de pression ne pourront jamais dépasser les limites formées par la base d'appui, et à rectifier dans le cas contraire les résultats du calcul, en tenant compte de la mobilité de la section extrême autour d'une de ses exlréDiilcs.

Le règlement d'un pareil pont se fait sans difficulté, en plaçant les cales d'appui et les serrant légèrement après avoir décintré l'arc à la température moyenne sur l'articulation centrale