CALCUL DES POUTRES A AME PLEINE
e^. Générautés. — Dans un pont métallique on a toujours à calculer un grand nombre de poutres accessoires à âme pleine, longerons, pièces de pont, poutrelles, etc., soumises à des efforts de flexion. Nous allons indiquer les formules à employer dans les circonstances qui se présentent le plus fréquemment tant au point de vue des forces extérieures appliquées, qu'au point de vue de la forme de la pièce à calculer, et de la disposition de ses appuis.
Nous supposerons que toutes les forces extérieures sont contenues dans un plan de symétrie de la poutre, et tout d'abord nous admettrons que Taxe de celle-ci est une droite horizontale, les forces extérieures étant toutes verticales.
Il en résulte qu'il ne peut y avoir ni couple de torsion ni effort normal, et que l'axe longitudinal en se déformant reste clans le plan vertical de symétrie de la poutre.
Nous supposerons tantôt que les supports placés aux extrémités de la poutre sont de simples appuis, tantôt qu'ils donnent lieu à un encastrement, en maintenant invariable l'oriefitation de la section transversale extrême.
Nous adopterons successivement dans chaque cas les deux hypothèses suivantes :
1* La pièce est soumise à une i ^ charge pi uniformément répartie
Y suivant toute sa longueur / ;
2^ Elle est soumise à l'action d'une
;...-p-.-.l ^p charge concentrée P appliquée en un
p. point de son axe longitudinal.
Nous donnerons dans chaque cas l'expression du moment fléchissant X et de Feffort tranchant
76 PONTS MÉTALUQUES.
V en fonction de la distance x de la section considérée >' à Textrémité de garuclie 0 de la pièce {fig, 40).
Pour une pièce qui supporterait à la fois une cliargt^ uniformément répartie pl^ et une ou plusieurs forces isolées P, le moment fléchissant serait en chaque point la somme algébrique des moments fléchissants calculés pour chaque charge considérée à part. Il en serait de même de TefTort tranchant : il suffirait donc de faire la somme des expressions algébriques de X et de V correspondant à chaque cause considérée isolément.
Nous indiquerons pour chaque cas sur la figure la courbe représentative des moments fléchissants ( — . — . — ), et celle
des efforts tranchants ( ), en tenant compte de
leurs signes. Nous fournirons dans chaque hypothèse les valeurs des maxima que présentent X et V.
Quant à la déformation de la pièce, nous la ferons connaître en donnant la valeur de rabaissement vertical /.subi par Faxe longitudinal de la pièce au-dessous de sa position primitive. Nous indiquerons d'ailleurs sommairement sur la figure la forme de la courbe décrite par Taxe longitudinal déformé : — . — . — . — . — . — . Nous calculerons cette déformation dans les trois cas suivants, qui sont les seuls que Ton rencontre dans la pratique, en distinguant par des indices différents les abaissements maxima de Taxe longitudinal correspondant : /, f^ /,.
V La pièce a une section constante d'une extrémité à Tautre et par conséquent son moment d'inertie I Test également. Nous désignerons par h sa hauteur et par R' le travail maximum du métal dû au moment fléchissant : ce travail a évidemment lieu dans la section où X atteint sa plus grande valeur, que nous distinguerons dans le calcul en le représentant par X'.
2*" La pièce a une hauteur h constante, mais son moment d'inertie varie de telle façon que le travail maximum R dû à à la flexion garde une valeur constante d'une extrémité à
Tautre : -jy = const. R. La poutre est un solide d^égak
résistance de hauteur constante.
3* La poutre est encore un solide d'égale résistance : ~ =
const. R, mais sa hauteur h varie proportionnellement à la racine carrée du moment fléchissant X. Cette hauteur {fiff. 41), qui s'annule avec X, a son maximum h' dans la section où le moment fléchissant atteint lui-même son
^^^^ r-^ir^.— ™*^î°^"^ • X'- Il est bien entendu «■p^-^^^illl— ^^=^^^^*JP que, nonobstant cette variation de
la hauteur, Taxe longitudinal de la *^* **' poutre estrectiligne.
Nous remarquerons que Teff'ort trancTiant étant la dérivée du moment fléchissant, celui-ci présente un maximum chaque fois que Teffort tranchant est nul. Nous observerons, en ce qui concerne les signes du moment fléchissant X et de Teffort tranchant V, les conventions posées au chapitre précédent.
!SO« Poutre appuyée là ses deux: ex.tp^iiiités« —
I. Charge uniformément répartie (fig. 42). A. Calcul du travail : V Moment fléchissant.
X r= - p (/a: — X*} Courbe ODL ; -^ " Maximum: AD \' = lpP x = L
2° Effort tranchant.
Droite BAC;
Fig. 42.
Maxima : V'rnidbp ^ OB, LC, x = oeix = L
B. Déformation. L'axe prend la forme parabolique OA'L et l'abaissement maximum de Taxe longitudinal a lieu en A, milieu de la poutre. L'équation de la courbe OAL pour la poutre à section constante est
L'abaissement au milieu, dans les trois hypothèses relatives à la constitution de la poutre, est donné par les for-
mules suivantes, dont le dernier membre suppose que la valeur de R a été prise égale à 6 x- 10*, et que la valeur de E a été prise égale à 2 x 10", valeur moyenne du coefficient d'élasticité longitudinale du fer : c'est le cas qui se présente le plus habituellement.
5 pi' 5 RT
384 El
6 Rr
24 Eh
6,85 Rf U Eh'
en supposant R = 6X10' E==2X^0"
ji
IL Charge goncsntrée P {fig. 43).
A. Calcul du travail : 1* Moment fléchissant.
Jly (p(^~^) a? de 0 en A, o<2?<»»
Fig. 43. (^ — ^ ^^ A en L, w <ar< /.
Maximum : AD, a'= — ^ — -, — - — * ar=w. 2^ Effort tranchant.
P^^ — T — ideOenA o<ar<7?i, valeur const. OB.
— P j de A en L ?n < a? < /, valeur const. IX,
B. Cas particulier m= ^: 1° Moment fléchissant.
Pjt
Maximum : X' = -7-> a?= ?r — 4 2
2*» Effort tranchant.
CHAP. II. RENSEIGNEXEXtS PRATIQUES. FORMULES USUELLES. 79
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