DÉFORMATION DES POUTRES DROITES
Yfl. 'Etietm de 1a temp^i^Atupe. — Les changements de température ont pour effet d'augmenter ou de réduira dans le même rapport toutes les dimensions des poutres.
Il n'en résulte donc aucun effort nouveau, et il n'y a pas à se préoccuper des effets de température, à la condition que l'on permette à la poutre de s'allonger ou de se raccourcir, en faisant reposer ses deux extrémités, ou tout au moins l'une d'elles, sur un chariot de roulement ou un secteiu* oscillant, susceptible de subir un déplacement horizontal égal à la variation de longueur de la poutre. Lorsque l'on emploie un chariot, il est bon de faire reposer l'extrémité de la poutre sur le chariot par l'intermédiaire d'une articulation
ou rotule en acier de façon à répartir uniformément la charge sur tous les rouleaux portant le chariot (^g^. 120), sans quoi, par l'effet de la déformation de la poutre, le rouleau le plus éloigné de l'extrémité du pont porte toute la charge et peut se briser ou détériorer la plaque de roulement. Lorsque l'on charge le pont de façon à faire subir à toutes ses pièces un travail supplémentaire égal à R', l'angle décrit par le coussinet du point d'appui a pour tan-
R'/ gente ^ett * H est loin d'être négligeable pour les grands ou- L h
vrages.
Lorsqu'une poutre comprend des matériaux divers, comportant des coefficients de dilatation sensiblement différents, les effets des changements de température sur ces différents éléments ne concordent plus, et par suite il y a déformation dans la figure de l'ouvrage et travail supplémentaire dans ses diverses parties. Les coefficients de dilatation de la fonte, du fer et de l'acier sont trop peu différents, pour que cet effet
168 PONTS MÉTALUQUES.
soit sensible pour les ouvrages où ces trois métaux sont associés. Mais il en est autrement pour les ponts mixtes en bois et fer, et, bien que Ton s'astreigne souvent à resserrer les tirants en fer en été, et à les desserrer en hiver, pour compenser les changements de longueur qu'ils subissent, on ne peut porter remède aux effets de la température, qui ont pour résultat de fatiguer les assemblages des pièces de bois, de détériorer leurs abouts, et de les mettre hors de service au bout d'un certain temps.
*T9« Iflllets die 1a dicurgre et de la suirel&flurgr^ sur
le» poutpes II Àme pleine. — Les poutres droites à âme pleine se courbent sous l'action de la charge et de la sur-
Fig. 121.
charge uniformément répartie sur toute la portée : leur axe longitudinal OAL prend la forme d'un arc de cercle OA'L {fig, 121) qui se confond avec une parabole dont Téquation, rapportée aux axes Oo: et Oy, serait :
Rar (/— ar)
en désignant par R le travail maximum subi par le métal, que Ton suppose avoir même valeur dans toutes les sections de la poutre, laquelle est un solide d'égale résistance : h est la hauteur de la poutre, /sa portée et Ë le coefficient d'élasticité du métal, y désigne ici le déplacement vertical d'un point quelconque de l'axe longitudinal au-dessous de sa position
initiale. Pour a? = s' milieu de l'ouverture, y atteint son maximum :
L'inclinaison tg a de Taxe longitudinal sur Thorizontale est donnée en un point quelconque par la formule :
Le maximum d'inclinaison se manifeste au droit des points d'appui :
Les semelles de la poutre déformée décrivent des arcs de cercle concentriques parallèles à la courbe de Taxe longitudinal : les sections transversales de la poutre demeurent normales à Taxe longitudinal déformé, ainsi qu'il a été dit précédemment en parlant des pièces fléchies.
T3* dtets cle 1a eliapse et de la supeliarse sup
les pontifes aptieui^e». — La déformation subie par une pièce articulée, sous Tinfluence d'une surcharge uniformément répartie, présente cette particularité que les angles formés par les différentes pièces de l'ossature sont altérés.
Considérons, en effet, une poutre simple articulée. Soit ABCD un panneau composé de deux triangles consécutifs (fig. 122). La surcharge a pour effet de réduire proportionnellement au
travail du métal la longueur des pièces comprimées AB,AC,GD, et d'allonger les pièces tendues BD,BC.
170 PONTS MÉTALUQUES.
Il en résulte évidemment que les angles A et D sont ot^mentés et les angles B et C diminués.
Le parallélogramme ABDC se déforme et devient le quadrilatère A'B'D'C Le panneau suivant CDEF subit la même déformation, et devient le quadrilatère CD 'ET', identique à A'B'D'C et présentant la même orientation.
Supposons que A soit le milieu de la poutre. A partir de ce point, la triangulation, est renversée : il en résulte que le panneau suivant AGKH devient, en se déformant, le quadrilatère A'G'K'H', identique à A'B'D'C, mais présentant une orientation inverse, de telle façon que la poutre reste symétrique par rapport à la verticale qui passe par A'.
Remarquons encore que le contre-tirant AD a diminué de longueur. Comme en général cette pièce, formée par une tige mince, n^st pas susceptible de subir un effort de compression, il en résulte qu'elle cesse simplement d'être tendue. Par conséquent, une surcharge uniformément répartie sur toute la longueur du pont a pour effet de détendre tous les contretirants. Au contraire la déformation de la poutre donnerait lieu à un allongement des contre-bras. Or, si l'on veut que la poutre se trouve dans les conditions du calcul, il faut que les contre-bras ne travaillent jamais lorsque la charge eM uniformément répartie ; il est par suite nécessaire que le contre-bras puisse s'allonger sans travailler à l'extension. C'est un résultat difficile à obtenir en pratique, ce qui explique la préférence donnée par les constructeurs aux contre-tirants sur les contre-bras, ceux-là se courbant par flexion lorsque la distance de leurs extrémités se trouve réduite, sans subir de travail sensible à la compression. Nous voyons ici la justification de l'habitude prise par des constructeurs américains de constituer tous les contre-tirants par des tiges à tendeurs, que l'on règle après le montage de façon à ce qu'elles restent tendues tant que la surcharge uniformément répartie sur toute la portée ne dépasse pas une limite donnée. Au-delà de cette limite, les contre-tirants deviennent lâches.
Il résulte de l'étude que nous venons de faire que la déformation d'une poutre articulée, sous l'action d'une surcharge uniformément répartie sur toute sa longueur, peut se déterminer par la construction suivante :
CHAP. m. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES. 171
Soit ABGD une poutre droite [fig. 123) dont CD est la
section médiane, placée au mij lieu de la portée, et EF Taxe longitudinal (1). SHl s'agissait d'une poutre à âme pleine, Taxe longitudinal ËF, sous l'action d'une surcharge uniformément
cercle £/, ayant sa tangente horizontale au milieu de l'ouverture en /. La section extrême AB tournerait autour du point fixe E, situé sur l'axe longitudinal, et viendrait en ad, dans la direction du rayon du cercle décrit par Taxe longitudinal. Les deux semelles AC et BD se profileraient suivant des arcs de cercle concentriques à Taxe longitudinal ac et bdj et resteraient par conséquent normales aux sections transversales ab et cd.
Supposons maintenant que nous remplacions l'âme pleine de la poutre par une triangulation articulée, sans d'ailleurs modifier sa longueur ni sa hauteur, ni le travail subi par les semelles, ni enfin la surcharge. Pour avoir la courbe décrite par Paxe longitudinal déformé, il suffira de faire toufmer les arcs de cercle ac, E/ et brf, chacun respectivement autour du point c, f ou d où il rencontre la section médiane CD de la poutre, jusqu'à ce que l'un des angles de la triangulation ait subi la déformation convenable, telle qu'elle résulte de l'étude géométrique faite au commencement de ce paragraphe. A ce moment, tous les angles auront pris les nouvelles valeurs qui leur conviennent, et toutes les pièces de la triangulation auront subi les allongements ou les réductions de longueur correspondant au travail qu'elles supportent.
Ainsi la fibre déformée de la demi-poutre articulée décrit un arc de cercle de même rayon que si la poutre droite avait une âme pleine (21 )« mais cet arc de cercle a subi un changement d'orientation, de telle façon que l'axe longitudinal présente un point angulaire (fig. 124) au milieu M de la poutre,
(1) On a omis par erreur sur la figure 123, les lettres F et f qui désignent des points de la droite CD très voisins, sur la figure, de c. et D. Le lecteur suppléera facilement cette omission, en inscrivant la lettre F & coté et audessus de la lettre c, et la lettre f à coté et au-dessus de D.
OÙ les deux tangentes à la courbe forment un angle 2 v, égal au double de la rotation <j subie par Taxe longitudinal
^^ déformé de chacune des demi-poutres.
On voit que par ce mouvement la flèche que présente le pont en son milieu a augmenté de la distance *^* verticale qui existe entre E et E'.
D'où nous concluons que les déformations subies par les poutres articulées sont^ toutes choses égales d'ailleurs, supérieures à celles qui se manifestent dans les poutres à âme pleine.
Nous remarquons encore que les sommets de triangulation des deux demi-cordes supérieure et inférieure de la poutre sont sur des arcs de cercle concentriques à celui de la fibre moyenne.
Il nous reste à évaluer l'angle a dont a tourné chacune des demi-poutres.
Pour plus de généralité , nous supposerons que les pièces tendues et les pièces comprimées sont formées de métaux différents, ayant respectivement pour coefficients d'élasticité Ë et E\ et que les valeurs du travail auxquelles elles sont soumises sont également différentes. Nous les représenterons par R et R'.
Soit AM la section médiane de la poutre, qui reste après la défo^ mation un plan de symétrie de /^Y Touvrage (/îy. 125).
.'1 Après la déformation les lon-
j gueurs a et m des pièces tendues
— -T'-^^>f;^,„ H CE et BM deviennent a (l + cr)
/ R\ Fig. 125. et m II + prl* Les longueurs i et
c des pièces comprimées AC et AB deviennent de même
L'angle droit CAM a été également modifié ; il se décompose en deux angles partiels : CAB que nous désignerons par M, et BAM que nous désignerons par 0.
Soient ^ et S9 les chang-ements subis par ces deux ang-les ; la déformation de Tangle CAB est égale à la somme ^ta -{- $6 que nous allons calculer.
Le triangle GAB nous donne avant la déformation :
et après la déformation :
* (< - 1^)' - 2*f (< - 1!)* cos (« + Sw).
En négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, cette équation devient :
(3) a* + 2o'5 = 6' — 26'5J + c* — 2c'^ — îéccosw
ti td ti
4- 46c £77 co8«) 4~ ^^^ sin»^. En la combinant avec l'équation (1), on trouve :
(4) ^* ï? + ** p"f + ^* vT — ^*^ Y'' ^^^^ " *^ ^*" ^^^^^
et enfin :
Nous allons maintenant chercher la valeur de ^. Le triangle ÂBM nous donne avant la déformation :
(6) csinô = 7n.
et après la déformation :
(7) c^1-.|^)sin(ô + ôO) = in(l + |j.
En négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, nous trouvons :
(8) c sinô — c -rr? sinô — c cosôSô = m + "* 75
et
174 PONTS HÉTALUQUES.
En résmné la déformation &o -f- S6 de Tangle CÂM est donné par la fonmitc :
et comme les angles co et 0 sont complémentaires (sin « = cos 6) ;
Pour obtenir l'angle <r dont a tourné l'arc de cercle, lieu des sommets de triangulation de la semelle supérieure, il faut retrancher de l'angle Sw + 56 l'accroissement que subirait l'angle CAM si la poutre considérée était à âme pleine.
En effet dans cette hypothèse, la semelle supérieure OCA
(fig. 126) décrivant après la 0 u — \. --g. Ha déformation l'arc de cercle
.. OCA', la corde A'C n'est plus •N noimale à la droite AM, et Mg. 126. elle fait avec Thorizontale un
angle C'A'N dont la tangente est égale à^» en désignant
par n la distance verticale qui existe entre C' et A', et par A la longueur AC de la corde. Il est facile de calculer n à l'aide de la formule du n** 72.
Ra?(/ — x)
y= Eh
On a:
Ré'
h désignant toujours la hauteur de la poutre.
Comme ici nous avons supposé que p- avait une valeur différente pour les pièces tendues et les pièces comprimées, il convient d'introduire dans la formule la valeur moyenne :
WR R^^
