S&3* Ponts À Wkvcm papalM>ll« et entrait s pectlllsnes
Cet ouvrage {fig. 185) correspond au pont suspendu du n* 109. Les formules qui lui sont applicables sont résumées dans le tableau suivant, où a désigne toujours la demi-ouverture, b la flèche de Tare, et n la surcharge par mètre courant de tablier :
Toutes les remarques que nous avons faites à propos du pont suspendu s'appliquent au pont en arc, en remplaçant partout le mot compression par le mot extension, et vice versa. Nous n'y reviendrons pas.
Keiïort maximum subi par l'arc sous l'action de la charge et de la surcharge est représenté par la formule :
* — ijj — v^ a -\-io x\
II varie entre la limite inférieure
— ' ^^ fl , pour X = 0 (clef), et la limite supérieure
fic + »)«,>-- - , . ,
— - — ' ' \/ (C -\-k b , pour X -= a (naissances).
L'effort maximum subi par l'entrait (qui n'est pas influencé par la charge) est donné par la formule :
C'est une tension ou une pression, suivant que l'arc est surchargé entre les limites
CiX CLX
et a ou — a et
Ce maximum varie entre la limite inférieure
kb
pour j = 0 (clef),
et la limite supérieure ^ \/a' + b\
pour x=:a (naissances).
S^ Calcul de la triangulation.
A. L'effort normal supporté par le bras AC, normal à l'entrait CD, a la valeur suivante :
'^~ 2 (a'4-î26*x)(a — ar + scosO)'
Dans cette formule,,? représente la longueur constante d'une maille AB de Tare, x Tabscisse du point A, et 6 Tangle de
l'élément d'arc A B avec Taxe des x [fig. 186). On trouverait peut-être en général plus convenable de prendre 5 cos ô constant, et non pas s. Cela ne changerait rien au calcul.
En supposant s cos 6 négligeable devant a-x, on trouve :
Fig. 186.
Cette expression, qui, par suite de la simplification admise^ donne pour ^ des valeurs trop fortes, a pour maximum :
Tza* Tta
B. L'effort maximum <p subi par le tirant et TefFort maximum cp' subi par le contre-tirant sont donnés par la formule unique :
cos a
cosa'
La charge permanente uniformément répartie sur la totalité ou sur la moitié de Touverture ne développe aucun effort dans la triangulation .
Nous ne croyons pas que ce genre de pont en arc ait jusqu'à présent reçu d'application, du moins en Europe.
%94k. Pont 11 arc et ontrAltt» parcOyoliQues* - —
/" Calcul de Tare et de l'entrait, — L'arc et rentrait sont symétriques par rapport à leur corde commune.
Cet ouvrage correspond au pont suspendu rigide du n** 113. Nous croyons inutile de recopier le tableau inséré dans ce
PONTS MÉTALUQUES.
2" Calcul de la triangulation.
Soient A B et D G Tare et l'entrait, MN la corde commune, qui est un axe de symétrie [fig, 188).
Désignons par C^-C le maximum de l'écart que peut présenter Teffort normal subi par l'entrait de part et d'autre du point D, qui correspond au
Fig. 188.
point A de l'arc dont l'abscisse est x. On a :
46 ^ÛF
a — ar
(a' + %h*x) {a'--x-\-^ cosô) s représente toujours la longueur AB d'une maille de l'arc, et e l'angle de l'élément d'arc avec l'axe des a: ; s cos e est la différence entre les abscisses des points À et B. Les efforts normaux développés dans la triangulation sont:
Pour le bras AD : ^=[C—C\ !ÎE(jLl±);
' ' sina
Pour le Urant BD : a)=(C"-C) ^;
sma
Et pour le contre-tirant FD : o' — (C- C) ^ •
^ sina'
Les angles a, a' et j3 sont faciles à calculer ou à mesurer
sur une épure à grande échelle.
JI»S« Pont À arc papaboUque ot longeron i?ectlli-
K««>- — Cet ouvrage correspond au pont suspendu du nM15.
Comme dans les cas précédents, nous renverrons à ce paragraphe pour toutes les observations et remarques qui se rapportent à ce type d'ouvrage métallique et pour le tableau des formules usuelles relatives aux efforts normaux subis par l'arc et Fig. 189. le longeron {fig. 189).
/** Calcul de Parc et du longeron.
Si l'on suppose que Taxe du longeron soit tangent à Taxe de Tare au sommet 0, les formules suivantes donnent les valeurs maxima des efforts normaux subis par Tare et lo longeron, aux points dont Tabscisseest^z:.
On a pour Tare :
f l^a' + ib'x'
[- ib
et pour le longeron :
Tta
(Compression maximum)
(Tension maximum x[ita — x)j ou compres. min.)
xi(ia — x)^
Tz {a — xY^
■Krt* (ffl + -r) (« — t]
^b x{'ia4-x)
Ces formules ne sont exactes que pour le cas où Taxe du longeron est tangent, au milieu de Touverturc, à Faxe parabolique de Tare.
Cette hypothèse est parfaitement réalisable {/ig. 190) ; mais comme Tare, pièce comprimée de grande longueur, doit avoir nécessairement un Fig. 190. moment d'inertie assez con-
sidérable, et par suite une hauteur notable, on est conduit à interrompre le longeron dans le voisinage de la clef à partir du point L où sa semelle inférieure vient rencontrer la semelle supérieure de Tare.
Les formules qui précèdent ne sont applicables que jusqu'à cette section L : entre L et Farliculation centrale 0, le longeron a disparu et la rigidité du système est assurée par Tare seul, dont le moment d'inertie doit figurer dans les formules. U y aurait donc lieu d'appliquer les méthodes générales des u** 126 et 127. Mais comme la distance OL est forcément très petite, et que d'ailleurs le travail du métal de l'arc diminue de L en 0, le plus simple est d'admettre que ce travail a sur toute la longueur OL la valeur calculée pour la section L, puisque cette hypothèse s'écarte peu de la réalité, et est d'ailleurs plus défavorable.
Il peut arriver encore que Taxe du longeron soit établi parallèlement à la tangente au sommet de la parabole et à ______________ une distance m de cette tangente
":' [M' ^^O- '^^ ^^ ^^ l^'** formules
Î^^^^^^^T"- i- qui précèdent donnent des résul-
^^^ïi===-5^!^jj^.T^^ tats sensiblement exactstanl que le
^^^^^^^^==^5-^1^ -^ÎM ^ y b3?
^^ ^) rapport -f— = 7-5-1 — — ' ou ij
Fig. i9i. et X représentent les coordonnées
du point M de la parabole, est peu différent de l'unité : au besoin on peut rectifier avec une exactitude suffisante les résultats des formules 2 et 3 en les multipliant par le coef-
bx* ficient de correction 7— r—; — r— ; mais comme cette correction
bx + a m
est en général peu importante, et que d'ailleurs les résultats des formules pèchent par excès, il n'y a pas d'inconvénient à s'en dispenser. Dans le voisinage de la clef, comme y de\icnl très petit, les formules ne sont plus applicables. Il y a alors trois partis à prendre :
bx 1" Appliquer le coefficient de correction , , . — r- » ce qui * ^ ^ bx + ara ^
ne donne pas tout à fait le résultat exact ;
2® Se servir de la méthode générale du n^ 126, ce qui est long et compliqué ;
3** Admettre, ce qui est suffisamment vrai, que dans le voisinage immédiat de la clef, c'est-à-dire dans le premier panneau de l'ouvrage, le travail de l'arc et celui du longeron peuvent être considérés comme variant extrêmement peu, cl en conséquence appliquer entre 0 et L les résultats fournis» pour la section L, où les formules sont encore acceptables avec une exactitude suffisante, en se servant du coefficient de correction. C'est le parti le plus simple et il ne peut con duire à aucun mécompte.
Nous voyons donc que les formules qui précèdent ne sont jamais applicables dapsle voisinage de la clef; d'ailleurs, eu posant a;=o, elles fournissent pour l'effort normal une valeur infinie.
La limite supérieure négative de F (travail maximum de
Tare à la compression) correspond à a: = a (naissances), et elle a pour valeur :
La limite supérieure positive de F (travail maximum de Tare à la tension, si, ce qui est rare, Timportance de la surcharge relativement à la charge est suffisante pour faire en certains cas travailler Tare à la tension), ainsi que les maxima positif et négatif de C (travail maximum du longeron à la tension ou à la compression) se manifestent toujours dans le voisinage de la clef; c'est donc dans le calcul de ces efforts qu ilconvientde tenir compte du coefficient de correction, sous peine de s'exposer à des erreurs très appréciables.
On voit d'ailleurs que C s'annule pour x = a : au droit des naissances, le longeron n'est plus soumis à aucun effort, quel que soit le mode de répartition de la surcharge.
S^ Calcul de la triangulation.
A. Pièce verticale ou montant MN [fig, 192). La formule suivante donne l'effort normal maximum subi :
ka
xW
On a toujours :
Rg. 192.
•j/ s'annule pour j?==a (naissances).
Comme la triangulation s'arrête nécessairement dès que y est petit, on n^a pas à se préoccuper du coefficient de
correction
B. Pièce oblique MP. L'effort normal subi par cette pièce est donné par la relation :
cosa
9 et ^ sont toujours de signes contraires. Si l'on veut que f soit toujours positif, il faut ajouter un contre-tirant
NQ de même section formant avec le tirant MP une croix de S t- André.
En général la surcharge est appliquée sur le longeron qui la transmet à Tare. Il faut tenir compte de cette circonstance, et considérer également MN comme une pièce chargée debout et supportant en N une partie de la surcharge ; s'il s'agit d'un pont de chemin de fer, le passage d'une locomotive en N peut donner lieu à un effort de compression notablement supérieur à «l- II convient donc de ne pas négliger ce point de vue, el de calculer en conséquence la section du montant : il est bien évident qu'au droit des naissances, bien que ^ s'annule, il est nécessaire d'attribuer une grande résistance au montant qui présente une longueur considérable.
Cette observation est d'ailleurs générale, et s'applique à tous les ouvrages à triangulation, lorsque Teffort normal, indiqué par le calcul pour une pièce quelconque, n'est pas très supérieur à la surcharge maximum susceptible d'être appliquée à l'une des extrémités de cette pièce : cette surcharge doit servir à calculer l'aire minimum à attribuer à la section des pièces de la triangulation : pour les ponts en arc, où les efforts transmis par les semelles à la triangulation sont généralement faibles, cette remarque est des plus importantes, et trouve fréquemment son application.
§ Il CALCUL DES ARCS DE FORMES QUELCONQUES.
H^O. :^M^tliode al-
ST^brfqiie. — Considérons un pont en arc de forme quelconque A 0 A', ayant ses trois articulations en A, Oet A'
Soit P un poids isolé Fig. 193. appliqué à l'arc, et défini
par sa distance horizontale s à la culée A.
Il est aisé de calculer la poussée Q déterminée par cette charge P, ainsi que les composantes verticales T
