V. PONTS E.\ ABC. 32J
ouvrage aux points d'appui tics relier il 0 la somme dos moments des î à partir de l'extrémité A, d'abord lui, par suite de l'articulation, est un sdtante.puis par rapport au point A'.
1 on lire QelT:
îux nœuds M et N appartenant l'un . l'autre à la corde inférieure de l'ourt normal développé en M, il suffira de cet effort par rapport au point N moments des forces extérieures applicomprise entre l'extrémité A et le l'on connaît puisqu'on a déterminé
10 l'effort normal développé en N en ■ forces par rapport au point M. Cela soin l'effort développé dans une barrt ■ojetant sur l'axe de cette barre toutes
efforts normaux en M et- N) appli- ANM, et égalant la somme des pror la barre. Ce calcul ne serait pas ce
ainsi qu'il est aisé de s'en rendre xposor la métbode générale que nouf m cas particulier aux n" 110, H4,
1 un point quelconque de l'axe d'une -„-, - pour une barre quelconque de lo Inangulation, l'effort normal dû à un poids isolé, rien n'esl plus aisé que de faire le calcul pour «ne surcharge répartie sur uoe longueur quelconque du tablier. Il suffit en effet de diviser celte surcharge en un certain nombre de poids isolés
pour chacun desquels Iv calcul peut être fait par la mélhodo qui précède. Il faut ensuite effectuer la somme des efforts correspondant à la surcharge totale.
Nous renverrons d'ailleurs au n**138 où la marche à suivre est indiquée en détail : la seule différence entre les arcs articulés à la clef et les arcs à clef rigide consiste dans la détermination de la poussée, qui dans le dernier cas est plus difficile et exige l'emploi de tables ou de formules comph'quées.
Une fois le calcul de la poussée effectué, il y a identité complète entre les deux cas et il y a lieu de se reporter au n° 138 où la question est traitée avec tout son développement.
m s T. :tiétuoac fçôomôtpiquo. — 1* Détermination delà courbe des pressions et de la poussée. — Supposons que chacune des moitiés de Fouvragc métallique à calculer puisse être assimilée à une pièce prismatique, suivant la définition que nous en avons donnée au no 1.
Le pont est alors composé de 2 pièces prismatiques AO et A'O, à axes généralement courbes A B 0 et A' B' 0
Considérons une section transversale MN de la pièce A'O: cette section est normale l\ Taxe longitudinal en C. Pour déterminer le travail du métal de l'arc sous Tintluence d'une surcharge quelconque.
• R il suffit d'après la
^''\ ^^^--Q^ ^.^^ règle connue de cal-
culer le moment fié chissant, l'efforlnormal (perpendiculaire à la section) et l'effort tranchant (parallèle à la section). Soit D le point où la section transversale MN est rencontrée par la résultante R de toutes les forces appliquées à la portion d'arc A'MN : connaissant l'intensité et la direction de cette résultante R, ainsi que le point D. rien ne serait plus facile évidemment que de calculer le moment fléchissant, l'effoii normal et l'effort tranchant (20).
Fig. 194.
Lp lieu des points de rencontre Dde la résultante des for appliquées à une portion d'arc, avec la section transvcn qni la limite, est appelé la courbe des pressions de l' correspondant à la disposition de surcharge considérée.
Dans le cas d'une surcharge uniformément répartie sur i portion de l'ouverture, il est évident à priori que la cou lies pressions est l'enveloppe des résultantes R, et que suite la direction de la résultante est donnée par la tangc
la courbe.
Nous allons chercher l'équation- de cette courbe rappoi us axes vertical et horizontal passant par l'articulation dans le cas particulier d'une surcharge uniformément répa couvrant une zone continue quelconque du tablier.
Cette courbe est indépendante de la forme de l'axe long dînai de l'arc, qui peut même être dissymétrique par rapj
1 plan vertical passant en 0.
On reconnaît facilement à priori que la courbe en quesl sp compose d'une parabole à axe vertical, correspondant longueur de la zone surchargée (ST ou SiT,) et des d laDgentes aux extrémités de la parabole (S ou T, S, ou ifi'j. 195), pour les deux parties du tablier qui ne porl &acuDC surcharge.
Nous faisons bien entendu i
i abstraction de la charge j manente, et la courbe pression cherchée se r porte uniquement à la i charge considérée is ment.
La courbe des prcssi passe nécessairement les trois articulations A et A'.
Cela posé, il est i
d'étabhr l'équation de
parabole dont nous ven
de parler. Nous jugeons
perflu de développer les calculs élémentaires qui y con
sent, et nous nous bornons à énoncer les résultats.
Soient s et f les abscisses des deux extrémités S et T d
maw^
324 PONTS MÉTALLIQUKS.
zone surchargée. Supposons-les toutes deux de même signe, positif pour fixer les idées (fig, 195), ce qui signifie que la zone surchargée est tout entière d'un même côté de Tarticulation centrale 0, du côté des x positifs.
L'équation de la parabole (courbe pleine ST de la figure) est alors la suivante :
Si 5 et / étaient tous deu^ négatifs, il suffirait de substituer dans Téquation — ar à -}- ar, pour obtenir la relation à employer.
Cette courbe est tangente en T à la droite A' 0, qui réunit les deux articulations A' et 0, et qui constitue la courbe des pressions entre les limites — a et ^. La tangente AS complète cette courbe entre les limites 5 ctâr.
Supposons maintenant que les limites Si et Ti de la zone surchargée soient de part et d'autre de l'articulation centrale. Alors l'abscisse t^ du point Ti est négative : /, <o.
L'équation de la parabole (courbe pointillée SiOT, de la figure), qui passe alors par le point 0, est en ce cas :
(2) y-2a(s.-^)-V-CL 2« J
La poussée due à la surcharge, c'est-à-dire la composante horizontale constante de la résultante R, dont nous venons de trouver T enveloppe ASTA', est toujours égale, ainsi qu'il serait aisé de le démontrer, au poids n par mètre courant de la surcharge divisé par le double du paramètre de la parabole.
Les formules (1) et (2) permettent de tracer la courbe des pressions dans toutes les hypothèses possibles, puisque, après avoir décrit la parabole, il suffit de prolonger jusqu'en A et A' les tangentes menées à ses extrémités S et T. En faisant diiïérentes hypothèses sur les valeurs de s, t, s^ ou /,, nous avons obtenu des formule.% se rapportant à certains cas particuliers qui présentent de Tintérêt.
326 PONTS MÉTALUQUES.
On n'aura guère dans la pratique qu'à étudier les cas de surcharge correspondant au courbes spéciales, dont nous venons de donner les équations. Après avoir tracé Taxe longitudinal de Tare et les courbes de pression sur une épure à grande échelle, on a immédiatement pour une section transversale quelconque : le point de passage D de la résultante, qui est le point de rencontre de la courbe des pressions (droite ou parabole) avec la normale à Taxe longitudinal que Ton considère ; la direction de cette résultante qui est tangente à la courbe des pressions ; enfin sa composante horizontale qui est la poussée Q.
On peut ainsi déterminer R en grandeur et direction : donc le problème est résolu.
Il ne serait pa^? plus difficile de tracer la courbe des pressions relative à une série de surcharges discontinues, couvrant des portions successives non contiguës du tablier. On aurait une série d'arcs paraboliques raccordés par des droites : on obtiendrait leurs équations à l'aide de calculs simples, que nous avons jugé inutile d'indiquer, car ils ne présentent aucun intérêt pratique.
Lorsque l'on a à étudier un ouvrage établi dans les conditions habituelles, c'est-à-dire avec un axe longitudinal qui ne s'écarte pas beaucoup de la parabole y = -5- ar", il suffit d'étudier
complètement le travail du métal dans les différentes sections correspondant aux courbes de pression :
(1) 2/ = -5 a?* (charge permanente ou surcharge totale)
et
(3) y = —ç X* X (demi-surcharge) ;
c'est en effet la surcharge sur une moitié de l'ouverture qui donne lieu d'habitude aux plus grands efforts de flexion dans chacun des demi-arcs (voirie tableau qui précède). Quant aux autres modes de répartition de la surcharge, il suffit de les étudier partiellement, c'est-à-dire qu'après avoir tracé les courbes de pression qui leur correspondent, il convient d'examiner les points où ces courbes s'écartent d'une façon anor-
il, et OÙ par suite le moment flécliisgrandc valeur. Il est bien évident , ces courbes se rapprochent plus de courbe correspondant à la demi-surnt inutile d'effecluer un calcul qui it à une valeur du travail maximum ons considérées, à celle déjà trouvée mi-surcharge.
à l'aide de la méthode que nous maximum dû à la surcharge répartie léfavorable, on ajoute pour chaque ivail dû à la charge permanente, qui
^ - x', et on a le travail maximum a'
alors renforcer la section de l'arc ou
"ésultat obtenu est supérieur ou infé-
wment fléchissant, de l'effort normal
lies pressions correspondant à une î la surcharge et calculé la valeur de ite, il s'agit de trouver le moment il et l'effort tranchant dans une secique MN de l'arc.
ourbe des pressions flfl renconlre le ) la section MN et « l'angle que fait ente Dé k la courbe avec la droite MN 61. Le moment de la résultante R par l au centre de gravité C de la section Tsale MN, c'est-à-dire le moment lant cherché, a pour valeur : R X DC
< sin « est égal à la perpendiculaire lissée du point C sur la tangente D6.
ons par 0 l'angle que fait avec l'hole la tangente DA. Menons par Cune le Cil qui rencontre cette tangente
On a
Q = RcosO.
Or Tangle HCE est égal à ô; d'où
ll(]cosO=rEC.
Effectuons membre à membre le produit des deux égalités qui précèdent :
QXHG = RX1^<^.
Donc le moment fléchissant peut être également obtenu en effectuant le produit de la poussée Q par la distance verticale HC du centre de gravité de la section MN à là tangente à la courbe des pressions enD,
Remarquons que les points de rencontre K et H de la verticale qui passe par C avec la courbe des pressions ellemême et sa tangente en D diff'èrent très peu, et que Ton peut, sans erreur sensible, substituer dans le calcul la longueur CK à la longueur Cil.
L'erreur commise est toujours en réalité absolument insignifiante, et ne dépasse guère la valeur des décimales que Ton néglige dans les opérations.
Donc nous admettrons que le moment fléchissant a pour valeur le produit de la jwussée ho7*izontal€ Q par la distance verticale de taxe longitudinal de rare à la courbe des pressions: X = QA (fy. 197).
On mesure la longueur A sur l'épure et, connaissant Q, on peut calculer immédiatement X.
Quant à l'effort normal et Teffort tranchant, il est aisé de reconnaître que leurs valeurs sont données par les formules suivantes :
Q sina
cosO
Qcosa cosô
6 est toujours l'angle de la courbe des pressions avec l'horizontale, et a l'angle de la section MN avec la courbe. C2s deux angles doivent être mesurés directement sur l'épure.
Supposons qu'au lieu de l'angle a on donne l'angle jS que
