deuxième partie du présent cha

pitre où cette question est traitée.

Fig. îii). Nous remarquerons ici seulement

que l'articulation est un point critique dont il convient de vérifier la stabilité. En effet, pour un pont composé par exemple de deux arcs, il peut arriver que le moment fléchissant développé à la clef par l'effet du vent soit assez considérable pour que, durant les vibrations que subira Touvrage, la clef de l'un des arcs puisse travailler à l'extension : si dans ces conditions l'articulation était disposée comme l'indique la figure 209, il pourrait y avoir déboitement de la rotule, et chute de l'ouvrage (fiff. 210). Alors même que cet accident ne se produirait pas, l'effet du moment fléchissant serait de modifier la répartition de la poussée sur les deux rotules, en augmentant l'effort supporté par la rotule 0, de l'arc opposé au vent de la quantité dont serait allégée la rotule 0 de l'autre arc. II pourrait y avoir en consé-

quence excès de travail en 0, et par suite rupture de Tune des rotules. C'est là une question qui mérite un examen approfondi, lorsqu'il* s'agit d'établir un pont en arc de très grande ouverture, et de très grande flèche, comme le pont de Porto sur le Douro par exemple, où les effets du vent peuvent acquérir une importance exceptionnelle.

1L94L. i>^fopiiftAtioii« — Nous ne donnerons la valeur du déplacement vertical subi sous l'action de la température et sous l'action de la surcharge complète pour l'articulation centrale de l'arc que dans le cas particulier d'un arc à axe longitudinal parabolique. On a vu (118) que dans ce cas la variation de la flèche b ou le déplacement vertical à la clef pour un changement de température de -|- ^ ^^^ donnée par la relation :

La clef s'abaisse lorsque la température décroit et se soulève lorsque la température augmente.

On peut en général admettre la formule plus simple :

Sous l'influence de la surcharge complète w, le déplacement de la clef est donné par la formule :

Û représente ici l'aire de la section de l'arc et E le coefficient d'élasticité du métal.

Désignons par R le travail du métal de l'arc dû à la surcharge complète. La formule précédente peut être mise sous la forme :

Eu général 6* est négligeable devant «*, et l'on peut employer la relation plus simple :

__15Ra^

PONTS BfÉTALUQUES.

Nous croyons pouvoir conseiller de se servir de cette formule pour tous les types de ponts suspendus à triple articulation. A supposer qu'elle soit très inexacte pour les ouvrages où Taxe n'est pas sensiblement parabolique, elle donnera au moins une idée de la valeur du déplacement de la clef, le résultat de la formule et la déformation réelle étant nécessairement des quantités do même ordre.

Examinons le cas d'une surcharge couvrant une moitié de l'ouvrage à Texclusion de l'autre ; la clef subit un déplacement horizontal en se rapprochant de la surcharge, le milieu du demi-arc surchargé s'abaisse, le milieu du demi-arc libre se soulève. Ces différents déplacements sont pour le cas particulier de l'arc parabolique à entraits rectilignes (118) donnés par les relations suivantes :

Déplacement longitudinal de la clef :

Ra E '

Relèvement vertical du milieu de la demi-travée libre :

3 Rq'

16 Eb '

Abaissement vertical du milieu de la demi-travée surchargée :

3Ra' 8 Eà'

Dans ces expressions R désigne le travail du métal du à la surcharge répartie sur la moitié de l'ouverture.

On pourra également avoir une idée de la déformation que peut subir un arc quelconque en se servant de ces formules, bien qu'en dehors du type du n"" 123^ elles ne soient psus exactes. Pour le type du n* 125, elles donneraient très évidemment un résultat tout à fait exagéré. En ce qui touche les déformations produites par le vent, nous renvoyons à la deuxième partie du présent chapitre.

n. — ABCS ARTICULÉS AUX NAISSANCES.

• ■'*-iA-:

-'Mai

t3S. G^n^raut^». — Dans tous les ouvrages méialli- ,1

qnes que nous avons étudiés jusqu'ici, les réactions exercées sur les culées se déterminent à l'aide de formules très simples de Statique. Il n'en est plus de même dans le cas présent : la détermination de la poussée exercée par Tare sur les deux calées ne peut se faire qu'à l'aide des équations de la Résistance des matériaux, et elle constitue un problème des plus ardas, qui n'a encore complètement été étudié que dans certains cas particuliers. La résolution de ce problème exige des intégrations successives très difficiles et laborieuses, qui, dans certains cas, ne peuventse faire, et, dans d'autres, conduisent à des formules d'une telle longueur et d'une telle com* plication que l'emploi en devient impossible, ce qui conduit à recourir soit à des formules simplifiées, d'une exactitude peu satisfaisante, soit à des tables numériques établies avec les formules exactes, soit à des méthodes de quadrature permettant d'effectuer dans chaque cas, avec des données numériques, l'intégration des fonctions qui entrent dans les calculs.

Dans tous les cas où le problème de la recherche de la poussée a été déjà complètement étudié, et où il est exposé dans les traités de résistance de matériaux, nous nous abstiendrons d'indiquer le développement des calculs analytiques, qui encombreraient inutilement le présent chapitre. Nous nous bornerons strictement à énoncer, sans aucune démonstration, les formules auxquelles sont arrivés les Ingénieurs qui ont traité la question, ou à fournir des tables numériques pour le calcul de la poussée, ou bien encore à exposer les méthodes de quadrature, en indiquant, en chaque cas, la marche à suivre dans l'application de ces formules, tables ou méthodes de quadrature.

Nous verrons d'ailleurs que, lorsque l'on a calculé la valeur de la poussée d'un arc placé dans des conditions déterminées de charge, de surcharge et de température, la recherche du

travail du métal dans ses différentes parties est une opération des plus simples, qui s'effectue sans difficulté à l'aide des formules élémentaires de la Statique et de la Résistance des matériaux.

CALCUL DES ARCS CIRCULAIRES A SECTION CONSTANTE AVEC ARTICULATIONS SUR L'AXE DE FIGURE.

m 30. i>éteFmiitaUoii de la poussée. — M. Bresse a fait une étude complète de ce genre d'ouvrages, qu'il a exposée en détail dans les chapitres lY et Y de son traité de Résistance des matériaux. Nous nous bornerons à énoncer les résultats auxquels il est parvenu, et à indiquer comment l'on devra se servir de ses formules et de ses tables.

Dans ce qui va suivre, nous considérerons l'arc circulaire, qu'il soit à âme pleine ou à triangulation, comme une pièce prismatique, et nous calculerons le travail du métal suivant la méthode connue, en cherchant, pour chaque section, le mo* ment fléchissant, l'effort normal et l'effort tranchant développés par les actions extérieures agissant sur l'ouvrage. Nous allons d'abord faire connaître comment l'on peut

déterminer la poussée de l'arc sur ses points d'appui, connaissant la charge et la surcharge qui agissent sur l'arc, ainsi que sa température.

Nous conserverons comme axes des coordonnées ox et oy la corde OA de l'arc et la verticale qui passe parle sommet ou la clef S de l'arc. Nous désignerons toujours par 2a l'ouverture mesurée entre les deux articulations, et par b la flèche de l'arc (/ty. 211).

Nous emploierons en même temps un s}'stème de coor-

Fig. 211.

itï

données polaires ayant pour pôle le centre C de Tare de cercle décrit par Taxe longitudinal AOA\

Le rayon vecteur CM d'un- point quelconque de l'axe longitudinal a pour longueur constante le rayon de courbure p de Tare. On a d'ailleurs entre les deux systèmes de coordonnées les relations suivantes :

x = p 8in6, y = p (cosO — costp).

Soit 2f Tangle au centre de Tare AOÂ' ; on a également :

a = p8in<p,

i = p(1 — cosïp).

1* Poussée produite par un poids isolé.

Soit ir un poids isolé appliqué en un point M de Taxe longitudinal défini par ses coordonnées x et y ou par l'angle 6.

La poussée horizontale Q exercée par l'arc sur chacune de ses retombées est donnée par la formule suivante :

Q = itXBXK.

B est une fonction des deux angles 6 et cp, qui entrent dans

son expression d'une manière assez compliquée. Le produit te

B, qui diffère assez peu en général de la valeur exacte de Q,

est ce qu'on appelle Ibl partie principale de la poussée.

r* K est une fonction de l'angle tp et du rapport -i du carré du

rayon de gyration de la section transversale de l'arc (laquelle est constante sur tout le développement de Tare) au carré de la demi-ouverture : sa valeur est donc indépendante de la position du poids r, et ne dépend absolument que des dimensions principales de l'ouvrage. La valeur de K est toujours mférieure à l'unité, dont elle diffère peu en général ; nous appellerons ce nombre le coefficient de correction de la poussée.

Le calcul des nombre B et K est une opération des plus laborieuses et des plus longues, et si Ton avait à l'effectuer chaque fois qu'on a un arc à étudier, on n'en finirait pas. Aussi m. Bresse a-t-il paré à ce grave inconvénient en dressant

des tables numériqaeâ spéciales donnant dans chaque cas particulier les valeurs convenables de B et de K.

Nous avons placé à la suite du présent chapitre les tables dont il s'agit : seulement la table n"* I , qui est à double en-

trée en fonction de — et de - — , n'est pas celle àeM, Bresse.

Tz stn f ^

Au lieu de graduer la table d'après des valeurs régulièrement croissantes du rapport - , comme le fait M. Bresse, nous avons

basé la graduation sur le rapport -: — , égal à - , que nous

faisons varier de cinq centièmes en cinq centièmes. Nous indiquerons plus loin dans quel but nous avons effectué cette substitution, qui nous a obligé à calculer une table nouvelle.

Quant à la valeur du coefficient de correction K, elle est donnée dans la table n"* II extraite sans modification de l'ouvrage de M. Bresse, Cette table est à double entrée (— et -i] et permet de calculer les valeurs de K dans tous les cas de la pratique, le rapport—? ne dépassant jamais la limite extrême

admise par la table.

A défaut de ces tables, on pourrait obtenir approximativement la' valeur de la poussée à l'aide de la formule suivante due à M. Darcel, ingénieur en chef des Ponts et chaussées, auquel nous ferons plusieurs emprunts dans le courant de cette étude. {Annales des Ponts et chaussées, 1862. 2* semestre) :

5 sin* e — 30 sin*6 sin> + fô sin*<p "^ 64sin'<p(1 — cos<p)

5ar* — 30a*x* + 25a* 64a'6

Ayant ainsi calculé la poussée, c'est-à-dire la composante horizontale de la réaction exercée par l'arc sur la culée, il reste, pour connaître cette réaction, à en déterminer la composante verticale, qui, à l'inverse de la poussée, n'a pas même valeur pour Tune et l'autre culée.

Soit T la composante verticale correspondant à la retombée A, la plus voisine du point (t application M du poids «, et T' la composante verticale correspondant à la retombée A', la plus éloignée du point d application M du poids -k.

On a:

/i\ >r (siny + sine) a + x

^^^ ^-"^ 28iny -""^^T'

(2) T,^^(8iny~sine)^^a^^

Ssincp Tta

Il faut attribuer dans ces formules le signe — à shi 6 et à a: lorsqu'ils sont comptés dans le sens négatif des x^ c'est-à-dire à gauche de Forigine 0. Si Ton convient aussi d'attribuer à A' les coordonnées — a et — (p, en suivant la même règle que pour M, la formule (1) devient applicable dans tous les cas et la formule (2) est sans objet.

T Poussée produite par une charge uniformément répartie suivaîit l'horizontale.

On a, d'après M. Bresse :

2 pa est le poids total de la charge; B', coefficient de la partie principale de la poussée, est une fonction de l'angle au centre 2 <p ; il est fourni dans chaque cas par la Table II, placée à la fin du chapitre. A titre de renseignement intéressant, nous avons également inscrit dans cette Table la valeur du coefficient qui correspondrait à un arc circulaire de même ouverture 2a et de même flèche é, articulé à la clef en S. On peut ainsi se rendre compte de la modification apportée dans le travail de l'arc parla suppression de Tarticulation centrale : la poussée est notablement réduite et par conséquent la courbe des pressions passe au-dessus du centre de gravité S de la section transversale de la clef, qui est ainsi soumise à un

moment fléchissant positif.

r* K est le coefficient de correction dépendant de <p et de —,

dont il a été parlé précédemment : il est donné par la table II.

A défaut de la table, on pourrait calculer la poussée à l'aide de la formule approximative suivante :

348 PONTS HÉTALUQUBS.

qui peut être encore simplifiée sans grande erreur quand est très petit (arc très surbaissé), et s'écrire :

Les composantes verticales de l'effort transmis par Tare aux culées sont, dans le cas présent, égales à la moitié de la charge totale :

3" Poussée produite par un poids uniformément réparti suir vant la fibre moyenne de Parc, On a, d'après M. Bresse :

Q = 2;}'ctp.B''K.

Nous désignons par p' le poids de la charge par mètre courant delà fibre moyenne de Tare ; 2p' ptp représente donc le poids total, puisque p f est la longueur de Tare.

B" coefficient de la partie principale de la poussée dépend de la valeur de Tangle au centre <p ; il est fourni par la Table IL

K est le coefficient de correction dont il a été déjà parlé.

A défaut de Table, on pourrait employer la formule approximative :

que l'on peut encore simplifier sans grande erreur quand - est très petit (arc très surbaissé) , et écrire :

On a encore :

A poids égal, on voit que la poussée est plus faible dans le cas de la charge uniformément répartie suivant la fibre moyenne, que dans le cas qui précède.

On n'a guère occasion d'utiliser cette partie de la Table, car on suppose presque toujours dans les calculs de pont que la charge, aussi bien que la surcharge, est répartie uniformément suivant l'horizontale.

Toutefois, lorsque le poids de Tare proprement dit est prépondérant, il peut être plus exact de répartir la charge suivant la fibre moyenne et c'est pourquoi nous avons donné ce renseignement dans la Table.

Au surplus, en répartissant toute la charge suivant l'hori* zonlale, on ne s'expose qu'à se placer dans une hypothèse plus défavorable que la réalité, et par conséquent on se donne ane marge de sécurité.

4* Poussée produite par une dilatation indépendante des charges.

Dans les ponts métalliques que nous avons étudiés jusqu'ici, nous ne nous sommes jamais préoccupé de l'influence de la température sur le travail du métal. En effet ces ouvrages étaient disposés de telle sorte que les dilatations et contractions dues aux variations de température pussent se produire librement, par suite sans rien changer à leurs conditions de stabilité.

Il n'en est pas de même pour les arcs dont il est question à présent : comme la longueur de leur corde, déterminée par Técartement des culées, est invariable, etque la clef étant rigide ne peut s'élever ou s'abaisser sans qu'il y aii un changement dans la figure géométrique de Tare, il en résulte que la température ambiante a sur les conditions de travail du métal une influence considérable, dont il y a lieu d'étudier les effets.

Si l'on considère un pont en arc à double articulation, il existe une température déterminée et une seide^ pour laquelle les poussées dues à des charges et des surcharges quelconques ont exactement la valeur donnée par les tables et les formules

350 PONTS HÉTALUQUES.

dont il a été question plus haut : nous l'appellerons la température moyemie : au-dessous de la température moyenne^ la poussée diminue d'autant plus que l'écart est plus grand ; audessus, elle augmente également dans la proportion de l'écart constaté.

En général cette température moyenne est la température observée lors du décintrement de l'arc : en effet à ce moment, il y a contact intime, sans pression aucune, entre les retombées de Tare et les sommiers des culées.

Au moment où l'on opère le décintrement, la charge agit sur Tare sans modifier sa corde et donne lieu à la poussée théorique.

Mais si avant de décintrer Tare on a fortement serré les coins que l'on interpose d'habitude entre des plaques de fonte fixées sur les sommiers et sur les extrémités des arc«, on a une poussée initiale qui n^est pas due à la charge, et par conséquent on est dans les mêmes conditions que si la température extérieure était déjà supérieure à la température moyenne. Au contraire, en desserrant les coins après le décintrement, ou en laissant au moment du décintrement un léger jeu entre les coins et les plaques, on obtient le résultat inverse : la température du décintrement est alors inférieure à la température moyenne, et la poussée est plus faible que la poussée théorique.

En résumé, si l'on veut que la température moyenne soit exactement celle observ^ée lors du décintrement, il faut qu'à ce moment les coins soient bien en contact avec les plaques des arcs, mais sans être fortement serrés ; s'il existe un jeu, la température moyenne est supérieure à la température du décintrement ; si les coins sont serrés avec force la températurc moyenne est inférieure à celle du décintrement.

En serrant ou desserrant les coins d'un pont en arc en métal, opération assez difficile, qui ne peut se faire qu'en frappant les coins avec un mouton, on peut à volonté relever ou abaisser la température moyenne, et par suite augmenter ou diminuer la poussée exercée par l'arc sur les retombées.

Cet écart en plus ou en moins, que la poussée réelle présente sur la poussée théorique, est indépendant de la charge

et de la surcharge, et il est proportionnel à la diiïérencé qui existe entre la température considérée et U température moyenne précédemment définie. C'est ce qu'on appelle la poussée produite par une dilatation indépendante des charges.

Soit / l'écart positif ou négatif qui existe entre la température moyenne et la température actuelle. La poussée due à la dilatation est donnée par la formule :

« est le coefficient de dilatation du métal, Ë son coefficient d'élasticité, I est le moment d'inertie de la section transversale de Tare.

B'" est le coefficient de la partie principale de la poussée. Il ne dépend que de <p et est fourni par la Table IL

K est le coefficient de correction, dépendant de y et de /••,

dont il a été question plus haut. En réalité, ce n'est pas lui

qu'il conviendrait d'employer ici, et M, Bresse donne dans son

ouvrage le moyen de calculer le coefficient de correction exact

àadmfettre. Maisl^erreur commise en substituant au coefficient

vrai le coefficient K ne peut , en aucun cas^ atteindre ^rr-z

delà valeur de la poussée. CtQi écart est insignifiant, et c*est pourquoi l'on peut sans inconvénient se servir ici du coefficient K donné par la Table IL

A défaut des Tables, on peut avoir recours à la formule suivante, qui ne donne pas d'erreur sensible pour des arcs très surbaissés (Bresse, Résistance des matériaux^ 102) :

Q = ot^El. ^

Supposons que Ton serre ou que l'on desserre les coins d'un pont en arc, et que l'on se propose de déterminer la quantité îdont on a fait varier la température moyenne, afin de rectifier les calculs de stabilité en tenant compte du changement apporté dans les conditions d'établissement de l'ouvrage. On y arrivera aisément, si l'on a pu mesurer le déplacement

horizontal subi par chaque articulation, par Teffet du serrage des coins : la somme des déplacements subis par les deux articulations représente rallongement ou la contraction 2^ a subi par la corde de l'arc 2 a.

On a :

za a

Le changement subi par la poussée est donc

Q' = otT.EI

Réciproquement si on se propose de modifier la poussée dans un sens ou dans l'autre , il est facile de tirer des formules précédentes la quantité dont il y a lieu d'augmenter ou de diminuer la corde de Tare.