V = PP

Il suffira d'effectuer la même construction pour chacune des sections et toutes les directions issues de C, parallèles aux droites qui reiicantrent ladite section dans la figure 220, pour avoir immédiatement toutes les valeurs de F et de V que l'on n'obtenait, d'après la méthode précédente, qu'àl'aide d'un calcul long et sans intérêt.

Cette construction se justifie d'elle-même, et nous croyons inutile d'en démontrer l'exactitude.

Les deux procédés géométriques que nous venons d'exposer permettent d'obtenir aisément et rapidement les valeurs de

— » - cl — •

Il reste maintenant ù calculer

ce qui revient à multiplier par un coefficient constant chacun des nombres fournis par le calcul qui précède.

'a rien de difficile et n'est pas bien longue ; en dispenser. Il suffit de construire deux 'isions, au lieu d'être espacées d'unilé en

(S à des distances égales, pour l'une à -y.

et de se servir de ces deux règles pour mo-

ipures d'un cdté les longueurs MN et de rs CP'.

. multiplication de la longueur par le cocFi une fois pour toutes sur la règle divisée,

irs de -^ *^' ô ' *^° continuera ensuite la en suivant la marche indiquée au numéro

létrique que nous venons d'exposer domio mêmes résultats que la méthode algébrielle n'en est que la traduction, et qu'elle a lit de remplacer des opérations numéiifaligantcs par dos constructions géomé- ! fournissant identiquement les mêmes l'aide de cette simplification, od poun-a ffectuer en un ou deux jours tous les calitifs à un arc circulaire, alors que la mééhrique exigerait probablement le quiii-

iométriquc présente un autre avantage, e à un arc de forme quelconque, pourvu able fait le calcul des poussées : en ofTi-L is qui viennent d'être décrites, nous n'autiliser les propriétés de la courbe cireuse longitudinal, et cet axe eût pu être tique ou même décrire une anse de paraisonnement ni le tracé géométrique rien, à condition, bien entendu, que l'on calculer pour l'arc en question les diiïé- ]ui sont les seules données que l'épure no

368 PONTS MÉTALUQUES.

fournisse pas immédiatement par des mesures directes. Au contraire il serait impossible d'adapter la méthode algébrique à ces différents cas sous peine de tomber dans des formules inextricables, par suite de Ja complication qu'entraînerait le calcul des ordonnées de la courbe et des inclinaisons des tangentes en ses différents points. On serait forcément amené à se procurer ces bases de calcul par des mesures effectuées sur une épure, et, dans ces condiûons, il vaut évidemment mieux profiter de l'épure pour appliquer en entier la méthode géométrique.

nente. — Après avoir fait le calcul du travail dû à la surcharge complète, il suffit de multiplier tous les nombres obte-

nus par le rapport ^ de la charge à la surcharge, pour avoir les

nombres relatifs à la charge permanente. Il n'y a donc en réalité pas de nouveaux calculs à faire.

Toutefois, il pourrait arriver que l'on se proposât de déterminer le travail résultant de la charge permanente et de la surcharge complète, sanS avoir besoin de connaître Teffet d'une surcharge incomplète. Il serait alors parfaitement inutile de recourir aux nombreuses opérations de la méthode précédente, des formules très simples permettant de calculer d'un seul coup, pour une section quelconque, le moment fléchissant et l'effort tranchant dus à la surcharge complète ou à la charge permanente répartie uniformément suivant rhorizontale.

Nous extrayons textuellement ces formules du Traité de résistance des matériaux de M. Bresse (116,117) : nous croyons inutile d'en donner la démonstration qui est d'ailleurs extrêmement simple.

On sait que dans le cas présent la valeur de la poussée est donnée par la relation :

B' et K sont des coefficients, dépendant de r* et de ç, qui sont fournis par la table II, 2 pa est le poids total de la charge.

y et

QSS

ett<

pa

370 PONTS BIÉTALLIQUES.

On cherche ensuite le travail par la méthode habituelle. On peut aussi se servir de la formule :

El

Q=af

si l'arc est très surbaissé.

Remarquons qu'en changeant le signe de a /, on change le signe de toutes les expressions algébriques que nous venons d'énoncer. Le travail change donc purement et simplement de signe et garde la même valeur absolue : donc on peut prendre à volonté avec le signe + ou le signe — tous les nombres représentatifs du travail que donne le calcul, à condition bien entendu que l'on admette l'égalité de valeur entre les écarts positif et négatif que peuvent présenter les températures extrêmes par rapport à la température moyenne. Sinon il convient de modifier les nombres dans le rapport même des écarts admis.

T4k9m ^Superposition des effets produits sur l*càre pur lu cliursey lu surcliurse et lu dilututiou* Oour* l»es représentutives du truvuil. — Après avoir calculé

séparément les effets dus à la charge, à la surcharge et à la dilatation, il convient de superposer ces effets de façon à obtenir le travail que le métal pourra subir dans les différentes parties de l'arc sous l'action simultanée de ces trois causes. C'est une simple addition à faire et nous n'avons rien à en dire, sinon qu'il faut donner au travail dû à la température le signe qui convient à la nature de l'effort maximum que l'on se propose de déterminer, pression ou tension.

Il est utile de figurer les résultats du calcul sur une épure où l'on trace les courbes représentatives du travail, obtenues en prenant pour abscisses les distances des sections à la clef, mesurées sur la fibre moyenne ou sur la corde, et pour ordonnées les valeurs du travail. Il est bien évident que ces courbes sont symétriques par rapport à l'ordonnée qui passe par la clef.

A titre d'exemple, nous donnons les différentes courbes résumant les calculs faits par nous pour un arc circulaire i section constante dont nous avons eu à dresser le projet.

PONTS MÉTÂLUQUES.

Fig. 222. Charge permanente seule.

Fig. 223. Surcharge d'épreuve seule, répartie de la manière la plus défavorable (pression et tension).

! s«tRcii«

Fig. 224. Charge permanente et surcharge à répartition variable.

enJtilap.par nxi. ^ C^Ci .

Épures du travail maximum du métal dans différentes hypothèses de charge.

7i PONTS UÉTALLIQDES.

ar deux courbes qui sont les enveloppes de toutes les coures représentatives qui correspondraient & toutes les bypolèses possibles de surcharge partielle. Le travail maximum

la compression est beaucoup plus considérable, dans toutes ^8 sections de l'ouvrage, que celui qui correspondrait à la iircharge complète, ce qui justifie notre métbode. D'autre art, le métal peut travailler à l'extension dans tous les oints de l'arc, avec une surcharg'e convenablement disposée our chaque point considéré à part. Les maxima, pour les eux scmeDcs et les deux genres do travail, se manifestent lus dans le voisinage du quart de l'ouverture à partir de la ef, c'est-à-dire au droit des reins de l'arc.

3° Le travail dû à la dilatation a à peu près même valeur bsolue pour l'une el l'autre semelle. Il est h peu près nul aux aissances et à son maximum à la clef.

L'offel de l'effort normal est presque nul.

4° Si l'on considère simultanément la charge permanente t l'influence de la température, on reconnaît que la valeur laximum du travail, soit à l'extension, soit à la comprcsion, se manifeste à la clef pour l'une et l'autre semelle !j. 226).

Mais si l'on fait intervenir la surcharge, on constate uc ce maximum s'écarte de la clef, surtout pour la semelle iféricure, et tend à se rapprocher des reins de l'arc, Toute- )is, au moins pour la semelle supérieure, la valeur du tralil k la clef s'écarte peu du maximum.

La semelle supérieure ne peut travailler qu'à la compres ion, ou du moins elle n'a jamais à supporter qu'un travail à extension absolument insignifiant.

Au contraire, la semelle inférieure, pour laquelle le travail

la compression reste toujours plus faible, peut subir uo avail à l'extension d'une certaine importance. Dans le cas ,udié par nous, il était question d'un arc en t6le également île à travailler à la compression et à l'extension. 11 en eu'. ,é autrement s'il se fût agi d'un arc en fonte, ce métal se 'étant, on le sait, dans ces mauvaises conditions au travail ir extension. Comme dans le cas présent, la tension alteiu- -aït la valeur de 3 kilogrammes dans les points les plus faunes, cela eût paru inadmissible.

intégrale i

y* ds

s'obtiendrait en divisant chacun des

produits précédents par la valeur du moment d'inertie correspondant à la section considérée, et faisant la somme de tous les quotients.

L'arc à section constante, présentant en tousses points la valeur moyenne V ainsi calculée, donnerait presque identiquement la même poussée que Tare à section variable que

Ton étudie.

Après avoir évalué les poussées dues à la charge, la surcharge divisée en poids isolés et la dilatation, on chercherait le moment fléchissant, l'effort tranchant et l'effort normal par la méthode habituelle. On ferait de même pour le travail du métal, avec cette seule différence que dans le cas

présent la valeur de ^ et celle de -- varient d'une section à

l'autre, et que par suite les coefficients -^-^z et -^

par les-

quels il y a lieu de multiplier les valeurs de — - et — - précédemment calculées, doivent être établis séparément pour chaque section. Cela complique un peu les opérations et ne permet pas d'obtenir directement le travail par la méthode géométrique, celle-ci ne restant applicable qu'au calcul de

— et de —

T^L-^. .^.pcft* ciirculalres là aptleulations

tpiques. — Supposons que, au lieu de placer l'articulation en A sur l'arc de cercle décrit par l'axe longitudinal de l'arc, on la place soit au-dessous en A,, soit au-dessus en A,, en

la raccordant par une petite courbe avec l'axe longitudinal circulaire (^y. 230.)

On ne pourrait évidemment pas appli* quer à ce cas les formules indiquées précédemment pour le calcul de la poussée.

D'après M. Darcelj la poussée due à la charge permanente ou à la surcharge complète serait dans le cas des arcs très surbaissés donnée par la formule suivante :

Fig. 230.