CL ./M,s ÇL ds Jo I +jo lï
A cet effet, on choisit sur l'arc un certain nombre de s«tions, que l'on prentl A'i'^ tant plus nombreuses qw l'on désire un résultai plw exact ; pour le pont i' Porto, on en a pris 10. niHi compris la clef et la m^ sance, qui est toujours rr duite au point d'articulaiii«i
Il peut paraître commode^ pour une raison que nous indiquerons plus loin, de disposer ces sections de façon que la distance horizontale rf du centre de gravité de deux sections consécutives soit une constante. Soient M une section quelconque, I son moment d'inertie, fit son aire, m la demi-somme de ses distances à chacune des sections voisines comptées sur la fibre moyenne, et n l'ordonnée de son centre de gravité par rapport à l'horizontale qui passe par A. On obtient ces différentes quantités soit par le calcul soit par un simple mesurage effectué sur une épure.
Tl^îTl ïïï
Calculons les expressions : -^jT— et --» ce qui ne présente
aucune difficulté.
Effectuons la même opération pour toutes les sections, en
disposant méthodiquement les calculs, c'est-à-dire en partant
de la clef et marchant vers l'extrémité A. Pour la clef, m est
égal à la moitié de la distance à la première section choisie
sur l'arc. Pour le point A, I et y sont nuls et m, qui entre
fît seulement dans le calcul de -jr» est égal à la demi-distance de
A à la dernière section.
Cela fait nous effectuerons la somme de tous les résultats obtenus et poserons :
L ds ^A m
0 ÏÏ""2jSû'
Nous trouvons en définitive, après avoir effectué tous ces calculs numériques :
2® Calcul de la poussée produite par une surcharge quelconque et par un poids isolé. Rien n'est plus simple maintenant que de calculer la poussée produite par une surcharge quelconque, soit répartie uniformément sur une ou plusieurs zones de Touverture, soit composée de poids isolés, etc. Il est bien entendu, conformément à l'hypothèse déjà faite, que cette surcharge est symétrique par rapport à la clef. Dans ces conditions, il est aisé de déterminer le moment fléchissant X' u. 25
produit par les forces verticales appliquées à l'arc, à l'exclusion de la poussée.
Considérons deux poids ic placés symétriquement de part et d'autre de la clef, à une distance représentée par u {fig. 236). Soit g la distance horizontale à la clef du centre de gravité M d'une section transversale de l'arc. Le moment fléchissant X' relatif à cette section est égal à celui qui serait développé par les deux poids r, ] dans une poutre droite A 0 A' :
«^^^jUu^ jl ^ ^onY expression :
A'X^^^\ ^Xa ^ i^'9)y si l'on a m < y
■^^ , *^-J ^ Et :
Fig. 236. ^ (^-")» si ^'^^ a tt > y.
Il s'agit à présent de calculer Tin-
-égrale définie | ^ ^* » dont les limites correspondent à la
clef S et à la naissance A : cette opération s'effectuera par quadrature, dans les mêmes conditions que précédemment en posant :
Jo I ~2jS I Or on a :
(' Tz (a — u) nm izia — q) nm , tzIç — m) nm ^
I v ^ - : JLL 1 12 — i pour U > }
1 i nia — g) nm
D'où:
nm
X^nm
2 A X' nm Y^A tc {a — q) nm j^ \\ A tt (g — u] nm S HT" " 2js Ï ^ 2j («=?) ï
. \^A7im . VI A {q — n) nm
= ^ l«-î) Es T + " 1 («=?) I
Ces deux intégrales dont la première, prise entre les points S et A, est indépendante de la position des poids ic et est fonction seulement de la forme de l'arc, et dont l'autre est prise entre les limites définies par le point d'application d'un poids 7c et la naissance la plus voisine A, sont faciles à calculer-
Cela fait,, il n'y a plus qu'à diviser le nombre V * . par
le coefficient N précédemment calculé pour avoir la valeur de la poussée Q due aux deux poids ir appliqués à l'arc.
Pour avoir la poussée due à un poids unique ic, défini par Fabscisse u^ il faudrait prendre la moitié de la valeur correspondant à deux poids symétriques :
Sachant calculer la poussée produite par un poids isolé, il sera facile de déterminer la poussée due à une surcharge composée d'une série de poids^ en effectuant successivement le calcul de la poussée pour chacun des poids pris à part. Si Ton veut, pour abréger, calculer en une seule opération le moment fléchissant X' développé dans chaque section M par Tensemble des poids agissant simultanément, on emploiera la formule suivante :
Connaissant la valeur de X' correspondant à chaque section transversale, on calculera facilement l'intégrale L ^
= y ç, '—rz — > et on en déduira la poussée Q en divisant le
résultat précédent par le coefficient N.
Ceci s'applique à un ensemble de poids symétrique par rapport à la verticale SO.
Si l'on voulait calculer la poussée produite par une surcharge dissymétrique, il faudrait appliquer une surcharge égale mais placée symétriquement par rapport à la clef, calcaler la poussée correspondante, et en prendre la moitié.
3* Poussée due à la charge permanente. — La poussée due à la surcharge complète est égale à la somme des poussées partielles dues à chacun deâ poids isolés en lesquels on a divisé la surcharge. La poussée due à la charge se déduit de
celle due à la surcharge, qu^on multiplie par le rapport -•
Elle peut d'ailleurs se calculer directement à l'aide de la formule suivante que nous jugeons inutile de démontrer :
^— n2jS 2 l '
PONTS MÉTALUQUES.
OÙ Ton donne successivement à q toutes les valeurs correspondant aux différentes sections du demi-arc SA.
4® Calcul de la poussée produite par une dilatation indépendante des [charges, — On a tout simplement \'
On connaît tous les nombres qui figurent dans cette formule.
fl.48. Calcul du travail. — Pour calculer un arc de section variable, nous proposerons de suivre la marche suivante :
1** On prendra un certain nombre de sections de Tare, dont le choix pourra être déterminé par des circonstances particulières dépendant du mode de construction de l'ouvrage (points d'application des pièces du tympan, et par suite de la surcharge) ; si l'on est absolument libre à cet égard on les disposera de façon que les verticales de leurs centres de gravité divisent l'ouverture en parties égales. On calculera alors le coefficient N ainsi qu'il a été dit plus haut.
2° On partagera la surcharge en un certain nombre de poids appliqués aux centres de gravité de ces sections : si les verticales de ces centres de gravité divisent la corde de l'arc en parties égales, ces poids seront égaux, ce qui simplifiera les calculs. C'est pourquoi nous avons précédemment recommandé cette disposition.
On calculera pour chaque poids la poussée correspondante par le procédé indiqué à l'article précédent. Vu la symétrie, il suffira d'effectuer les calculs pour les poids appliqués à un demi-arc.
Connaissant la poussée correspondant à chaque poids, le calcul du moment fléchissant, de l'effort normal et de Teffort tranchant ne présente plus aucune difficulté : il n'y a plus qu'à appliquer la méthode algébrique exposée au n* 138, ou la méthode géométrique du n^ 139, en remarquant seulement
que les coefficients -^ et -. qui servent à déduire le travail
(lu métal du moment fléchissant et de l'eflTort normal, varient d'une section à la suivante. Comme on a déjà calculé I et 0 pour les différentes sections, la recherche de ces coefficients est (les plus simplos.
3° En ce qui concerne le travail du métal dû à la lion, nous n'avons également rien à modifier à ce qui i à propos des arcs circulaires à section constante, le ci la poussée étant fait.
Nous remarquerons en terminant que le calcul es travail maximum à l'extension ou à la compression loppé sous l'action simultanée de la charge, de la sui répartie de la manière la plus défavorable pour cliaqu considéré en particulier, et de la température (écart nu au-dessus ou au-dessous de la température moyenne pas en réalité une opération bien difficile ni bien com] soit que l'on emploie la métliode algébrique, sott abrège le travail en recourant à la méthode géométriq opérations numériques sont, il est vrai, très nombrcusf comme elles se réduisent toujours à effectuer le pro somme ou la différence de deux nombres, elles r aucune difficulté. De ce fait, que l'opération ne s'a jamais qu'à deux nombres calculés à l'avance, apps à des séries distinctes dont tous les éléments sont suc ment associés deux à deux, il résulte que l'on peut t di^sser un tableau à double entrée dont les colonne cales portent en tête une des séries de nombres soun; opérations, et les lignes horizontales l'autre série. A (le rencontre de chaque colonne avec chaque ligne, on le résultat de l'opération faite sur les deux nombres pondant à la colonne et à la ligne : ce tableau pc être rempli par un calculateur absolument ignorao question, dont le travail consiste à effectuer l'opératioi rique indiquée entre tous les nombres placés en 1 colonnes et des lignes.
Nous avons calculé de cette façon un arc circulair tion variable de 80 mètres d'ouverture, en appli{] méthode algébrique dans tous ses détails, et celte o] ne nous a pas certainement demandé plus de quatre de travail, notre besogne se réduisant àpréparer lest de calcul et à vérifier, par la simple lecture, les erre auraient pu être commises dans les opérations numi Tous les calculs ont été effectués par un calculateur, d 1res intelligent et très capable, mais qui n'avait nu
naissance des formules à appliquer et dont le travail se réduisait à effectuer entre deux séries de nombres pris deux à deux l'opération indiquée en tête du tableau.
Lorsque Ton a terminé le calcul complet du travail maximum produit dans tous les éléments d'un arc par la charge, la surcharge et la température, il convient d'y ajouterl'effet dû à l'action du vent, dont lô calcul devra se faire d'après les règles que nous indiquerons plus loin.
