PP

' i& EU 3' E/fel des variations de la température.

Si t est positif, A b l'est aussi et Tare se relève à là cl C'est l'inverse dans le cas d'un abaissement de températun

On peut substituer à la formule précédente une formi beaucoup plus simple :

A6=1,ii6a(.p.

L'erreur commise ne peut guère dépasser 5 7» de la valt réelle de /. Son emploi conduit donc à des résultats très su: sammenl exacts.

Oq doit admettre que, dans tous les cas que nous venons considérer, l'arc, sous l'influence de la cbarge,de la surcbai complète ou des variations de la température, conserve forme géométrique primitive, tout en subissant un surhai sèment ou un surbaissement général, sa clef se déplaçf verticalement de bas en haut ou de haut en bas. Chaq point de l'axe longitudinal se déplace aussi suivant une v (icale, et la valeur A ^ de ce déplacement est donnée, en dé gnant par x la distance horizontale à la clef du point con déré, par la relation :

Pour les arcs à section variable, on peut employer les f mules précitées de M. Bresse, en substituant à l'arc étudié arc fictif ayant pour section constante la section moycr calculée d'après les règles posées au n* 143.

M. Bresse n'a pas étudié les déformations produites sur arcs circulaires par des surcharges incomplètes ne couvri qu'une partie de l'ouverture. Dans le cas où l'on voudrait faire la recherche, il faudrait recourir à la méthode génér. de calcul par quadrature, que nous allons exposer, en parh des arcs de forme quelconque

392 PONTS MÉTâLUQCES.

± SO« .AlPCS de fforaie ciiielooii«iue* Ol&arsey i cliflurg^ complète ou sym^trlqtne» temp^PAtitre* —

Considérons un arc de forme quelconque, que nous supposerons bien entendu symétrique par rapport à la verticale qui passe par le milieu de l'ouverture .

Nous chercherons d'abord les effets produits par la charge, par la surcharge complète, par une surcharge incomplète symétrique par rapport à la clef et par les variations de la température.

Dans tous ces cas particuliers, la section transversale de Tare à la clef conserve sa verticalité après la déformation, par raison de symétrie. Les formules du n** 146 sont donc applicables à cet ouvrage. Transcrivons ici les formules 7 et 8:

(8) «1/, = 8 ». + p " 'V *' '^+fi'm *—'(*-».)•

1** E/fets de la charge permanente et de la surcharge complète.

Pour calculer le déplacement vertical 5 y^ subi par un point

quelconque, il faut d'abord déterminer par approximation les

valeurs des deux intégrales :

Jo El ^ ^^ Jb Eû^^'

Fig. 237. La première s'évaluera aisément, en

conservant les notations du paragraphe précédent et posant :

rs, X{x,—x) 1^ ^M X{x,—x)m

Jo Êï '^— eZjS I

Les calculs effectués pour la recherche du travail du métal ont fait connaître m, I et x, —x, distance horizontale du point M à chaque section considérée entre S et M. lien est de même de X, moment fléchissant dû à la charge permanente, qui 8/ été calculé à Tavance, si Ton suppose qu'on ne cherche la déformation de l'arc, qu'après avoir établi ses conditions de stabilité. La 1" intégrale est donc aisée à évaluer parja méthode de quadrature.

La 2® est encore plus facile à trouver. On a en effet :

~ est le travail dû à l'efFort normal : on l'a calculé

demment pour chaque section transv m' est la projection verticale de '.

gueur m de la fibre moyenne, sur 1 on admet que la section transvers meure constante : c'est la demi-som Kg. Î38. distaaces verticales du centre de

de la section considérée aux cen gravité des deux sections qui la suivent et la précèdent diatement. La sommation est des plus simples à faire ivoir effectué ces calculs numériques, on obtient Sy, formule :

(n K. .„ , < vMX(;r,-x) <v"^,n'

(<) «i'. = ^y.+ Ëls i — '"-^ËZiSii"'-

Pour avoir Sy,, il faut donc connaître Sy„ qui est par la formule générale oi!i l'on prend s, = L, ce qui à l'appliquer à l'exlrémité A de l'arc, pour laquelle que Sy, est nul. D'où :

Lorsque l'on a calculé Sy,, on obtient en général [ point quelconque M (x,y,) de l'arc une valeur très si ment exacte du déplacement vertical Sy, par la formu

(3) Sy. = îy.^.

On peut donc se dispenser d'en faire le calcul exai au plus, est-il convenable de vérifier la conconlance en relation et la formule exacte pour un point do l'arc, pa

pie pour les reins : x ^ ^-

On pourrait de même cberchcr la valeur de Sx,, d'une méthode identique. Mais remarquons que Sj:, pour x= o et a = o, à la clef et aux naissances. En il est très petit, presque nul pour tous les points de

sa recherche ne peut présenter d'intérêt. On peut donc admettre que &r, est nul en tous les points de l'arc, qui ne subissent qu'un déplacement vertical.

2° Surcharge incomplète mais symétrique par rapport à la clef.

Les formules sont celles du cas précédent, et on effectuerait le calcul absolument de la même manière, étant donné que Ton connût pour chaque section la valeur de X et de F.

Remarquons seulement que la fibre moyenne de l'arc ne

conserve pas sa forme géométrique, et que par conséquent la formule approximative (3) du présent article n'est plus applicable. Il faut chercher pour un certain nombre de points la valeur de ^y^.

Fig. 239. La figure 239 montre avec

exagération de quelle manière se déformera l'arc AS sous l'action de surcharges diversement réparties, mais symétriques par rapport à la verticale OS.

i"" Surcharge complète. Courbe ASi^.

2° Surcharge concentrée à la clef. Courbe AS,. L'abaissement est maximum à la clef. Dans le voisinage des naissances, il peut se produire un relèvement au-dessus de la position primitive.

3** Arc chargé aux reins et vers les ruiissances. Courbe A5,. L'abaissement maximum se manifeste aux reins. Il peut y avoir relèvement de la clef.

Ces remarques suffisent pour faire ressortir l'intérêt que peut présenter l'étude de la déformation dans certains cas particuliers de surcharge.

La remarque faite précédemment au sujet de Sar^ subsiste encore ici : en général on peut s'abstenir d'en faire le calcul, et admettre que chaque point de l'arc ne subit qu'un déplacement vertical.

3** E^et de la température.

s le cas préseï

donnent Heu 1 nt insignifian nt ÛéchissanI m; on l'a ca

que de trouvi un point quel

!t dispensé dt

vation que pi irdé comme

asymétrique ( |uc la section i .déformatioi onc pas appl relatives à la

(4)duN» Uî

f> '-^, = Sx, - 60. (y. - y,) - jj^' '^'■"eY'''^ ^"^jx

\ h, = Sy, + Sa,(x,-x,) + £''^^^^^ ds + J

Nous pouvoDS en faire disparaître le ter

mpérature, dont nous ne nous occupoi

ornent.

PrenoDS pour axes des coordonnées la ^

l'horizontale A'x qui passent par l'extrémité de gauche A' de l'arc, et appliquons les formules précédentes au point quelconque M {x,y,).

Nous aurons :

puisque le point A' est fixe.

D'où:

(5) Sx, =

Pour calculer Bx^ et Sy,, il faudrait connaître 56^, déplacement angulaire de Taxe longitudinal au point d'articulation A'.

Nous allons donc commencer par chercher B\, ce qui se fait très simplement en appliquant la 2* formule au point d'articulation A.

On a en ce cas ; x, = 2 «, y^ = o, 5^ = 2 L, en appelant 2 L la longueur totale de la fibre moyenne.

D'ailleurs le point A est fixe, et par conséquent on doit' trouver pour lui : Sy^ =r o.

D'où :

>« v.ci ■ r2LX(2a — ar) , o = Se„X2a+ / -L-gj i-ds

et

•" ^ajo El

Il est aisé d'en déduire la valeur de $6^ : quel que soit le mode de répartition de la surcharge que Ton considère, les calculs de stabilité, déjà efi'ectués pour l'évaluation du travail du métal, donnent pour chaque section les valeurs de X et de F.

• Connaissant 56^, on appliquera aux différents points de lare les formules (5) et (6) qui donnent leurs déplacements verticaux 5 y, et horizontaux Sa:,.

Nous ne reviendrons pas sur la manière d'évaluer par quadrature les intégrales définies.

Si l'on a fait le calcul pour différentes surcharges, or tiendra la déformation résultant de toutes ces surchs agissant simultanément, en faisant, pour chaque poin somme des déplacements verticaux et horizontaux d chaque cause considérée à part. Réciproquement, en re: cLant de l'effet de la surcharge complète celui d'une surcl partielle, on aurait l'effort dû à la surcharge partielle cor mmtaire.

Tous ces calculs présentent un grand intérêt, au moins les ouvrages de très grande portée. Depuis longtemps MM. Darcel et Albaret ont remarqué que, pour les arcs c laires, les déformations maxima résultent de surcharges lielles et se manifestent aux reins, non à la clef. Ils onl suite conseillé de toujours les calculer, etM. Albaret a em] i cet effet la méthode de quadrature pour les arcs qu'il diait, mais en se bornant à l'examen du déplacement su ijuart de l'ouverture.

La seule application vraiment complète de cette met qui soit venue à notre connaissance a été faite par M. Se que nous avons déjà cité. Il a déterminé la forme aff par la fibre moyenne du pont de Porto sur le Douro dan. férontes hypothèses de surcharge, et il a démontré l'utili ce travail, en vérifiant que la déformation due à une suret couvrant une moitié du tablier était assez considérable modifier le mode de répartition de la surcharge et changi conditions dé stabilité de l'ouvrage.

Ses recherches lui ont fait voir que, sous l'inflence i surcharge complète, le déplacement vertical de la clef et) 16 millimètres, et que le déplacement horizontal des diffé points de la fibre moyenne ne dépassait en aucune secti maximum de l^^.S, ce qui justifie ce que nous avons dit haut sur le peu d'intérêt que présente le calcul de 3a:en pare:

Pour la surcharge couvrant 40 mètres de part et d' du pont, le déplacement vertical de la clef atteint 17""° l'arc se relève dans le voisinage des naissances, où le haussement atteint 4 millimètres. Le déplacement horiz n'est plus négligeable et il atteint 5 millimètres au 1 l'ouverture. Il peut être intéressant de le calculer.

Pour la surcharge couvrant la moitié de l'ouvcrtui

déplacement vertical de la clef estde S"",!

et son déplacemenl horizontal de36"",7.

Lea déplacements verticaux variententre l'abaissement maximum 26"',' (reins de la partie surchargée) et le relèvement maximum I9"-,5 (reins de la partie libre).

Le déplacement horizontal atteint son maximum à la clef, il s'effectue partout dans le même sens.

Nous croyons intéressant de reproduire ici une épure dressée par M, Seyrig, où il a représenté la fibre moyenne primitive do l'arc du pont de Porto, et à une échelle 250 fois plus ^ande.

les déformations résultant dos différents cas de surcharg:^ qu'il a considérés

ifig- 2iO).

Sîl'onvouIaiLfaire à cet égard un travail complet, il faudrait calculer pour chaque section do l'arc le déplacement dû à chacun des poids isolés en If^ quels on a divisé la

iv."

Userait pour chaque point de la fibre moyenne les déplacements de même sens, en y ajoutant les déplacements de même sens déterminés par les éccurts de la température, et Ton obtiendrait ainsi deux courbes, l'une supérieure, l'autre inférieure à la fibre moyenne, représentant les enveloppes de toutes les courbes que pourrait décrire la fibre moyenne dans toutes les hypothèses de surcharge et de tem-

>tï ^-

Coupè transversale au montant 2 „£cheflf âéO'lUpomiroo

- frr«4x.ct /. ^

Fig. 242. Pont de Porto sur le Douro.

Coupe des arcs et contreventement transversaL

pérature. Ces deux courbes donneraient en chaque point les limites des déplacements dans un sens ou dans l'autre de la fibre moyenne. Un pareil travail, dont les résultats seraient intéressants, serait malheureusement fort long, et l'on ne pourrait guère s'astreindre à le faire que pour un ouvrage de très grandes dimensions.

CONTREVENTEMENT.

jISS* Oontreventement long^ltudlnsàl ou borlxon*

tai. — En général on ne songe pas à calculer l'effet du vent sur les ponts en arc, et Ton arrête les dispositions et les dimensions des pièces de contreventement d'après des ouvrages existants ou d'après des bases prises arbitrairement.

CHAP. V. PONTS EN AftC.

Lorsque le pont étudié comprend plusieurs arcs, on se préoccupe surtout d*assurer leur solidarité en les reliant par des triangulations formées de membres robustes : Ton obtient par surcroît une stabilité plus que satisfaisante au point de vue de Faction du vent. Le tablier du pont^ qui est généralemeot d'une grande rigidité, et les tympans, dont tous les éléments sont réunis par des croix de Saint- André, contribuent à augmenter la solidité de Fensemble.

Ce n'est guère que pour les ouvrages de très grande portée, où Ton s'attache à réduire le plus possible le poids du métal employé et où Ton évite toutes les pièces dont le rôle n'est pas bien défini, que le calcul du contreventement est réellement utile et doit être fait avec soin.

Nous n'avons trouvé d'exemple d'un pareil calcul effectué en détail et suivant une méthode rigoureuse que pour le pont dePorto sur le'Douro, que nous avons déjà cite plusieurs fois [fig. 241 et 242). La méthode que nous allons exposer est celle suivie par M. Seyrig dans son travail.

Il y a lieu d'abord de calculer l'intensité des efforts exercés par le vent sur rou\Tage tout entier, tympans et tablier : vu la forme irrégulière que présente l'élévation d'un pont on arc, on est conduit à la diviser en un certain nombre do zones dont il est facile d'évaluer la surface pleine et au centre de gravité desquelles on applique l'effort du vent calculé en raison de cette surface.

Supposons que l'on ait opéré de cette façon pour le demiarc AS, et que l'action du vent soit représentée par quatre forces I, II, III, IV, dont les points d'application sont respectivement!, 2, 3, 4. Le demiarc AS' sera soumis à des forces égales disposées symétriquement {fig, 243).

Il s'agit de calculer les efforts tranchants et les moments fléchissants développés dans la pièce AS A' dont les extrémités A et A' sont encastrées, puisque les forces 1, II, III, et IV, normales au plan de l'arc, sont par conséquent parallèles aux articulations A et A' qui ne fonction- R. 26

Fig. 243.

ncnt pas dans le sens correspondant à la direction du venl.

Le calcul de Teffort tranchant ne présente aucune difficulté. Il est égal dans une section quelconque à la somme des forces appliquées entre cette section et la clef S.

Pour le moment fléchissant, le problème est plus compliqué, vu la forme affectée par la poutre ASA', dont l'axe longitudinal courbe est situé dans un plan perpendiculaire à la direction des forces extérieures.

Considérons une poutre horizontale auxiliaire asa\ de même portée 2 a que Tare, encastrée à ses extrémités a et a'^ placées verticalement au-dessus de A et de A'. Projetons sur la droite osa' les points d'application des forces I, II, III et IV (1 , 2, 3 et 4), et calculons les moments fléchissants développés dans cette poutre parles forces I, II, III et IV, T, II', IIÎ' et IV', que nous lui supposons appliquées. Le calcul en sera facile à l'aide des formules que nous avons indiquées au second chapitre du présent ouvrage (30). Le procédé le plus commode consistera à construire pour chaque force les deux droites représentatives du moment fléchissant, et à faire la somme des ordonnées de toutes ces droites pour chaque section transversale considérée sur la poutre rectiligne osa : nous obtiendrons ainsi la projection horizontale du moment fléchissant développé dans la section correspondante de Tare : X*.

Considérons maintenant une poutre verticale av ayant pour hauteur la flèche b de Tare et encastrée au point a qui correspond à A, l'autre extrémité a, qui correspond à S, étant libre. Projetons de même les points 1, 2, 3 et 4 sur celle droite aa, et calculons les moments fléchissants développés dans ses différentes sections par les forces I, II, III, IV, gue l'on supposera lui être appliquées.

Le calcul se fera à l'aide des formules du n"^ 32 et donnera la projection verticale du moment fléchissant développé dans la section correspondante de l'arc : X^.

Connaissant X^ et X^, on pourra calculer sans difficulté le moment fléchissant développé sur l'arc lui-même :

x=i/xr+xr.

Onendéduirale travail de l'arcdùà l'action du vent: d'ailleurs

lAP. V. PONTS I

Fi)r. 344.

devra considérer pour l'évaluation de ce

>a pas la section transversale de l'arc,

versale de la poutre rigide constituée par Lous les arcs reliés par leur contreventcment. Dans le cas de deux arcs seulement, chacun représente une des semelles de la poutre de contreventement, les pièces de contreventement formant les éléments de l'àme {fig. 244). Il arrive que, dans les ponts portés par un très grand nombre d'arcs, on réunit tous ces arcs à l'aide des pièces de contreventement, de façon à constituer une poutre d'une solidité absolument excessive et hors de toute 4)roportion avec l'intensité de l'effort développé par le vent.

Il suffirait en général, en pareil cas, de contrevontcr entre eux simplement les deux premiers arcs à partir de chaque tète du pont, de façon à constituer immédiatement en arrière du point d'application du vent une poutre de contreventement suffisamment forte, en laissant libres tous les arcs intermédiaires, qui, étant masqués par les arcs de tête, ne sont pas soumis à l'action du vent. Nous ne parloDS ici que du contreventement longitudinal ou horizontal et non du contreventement transversal, qui, ayant pour but, non seulement de faire obstacle au vent, mais encore de ren- ' ''re solidaires les arcs et de répartir entre eux la surcharge, oit leur être appUquée à lous sans distinction. " On doit conclure dos indications que nous avons données elativcmcnt au calcul du moment fléchissant dû au vont, que lans la poutre horizontale as a' le moment maximum se nanifcste au point d'encastrement a; de même, dans la loulre vo, ce maximum a lieu en a.

Par conséquent la section de l'arc qui supporte l'effort le ilus considérable est, à ces deux points de vue, celle qui nrrcspond à l'articulation A : il convient donc de la renfor- «r tout particulièrement en vue de résister à l'action du 'cnt; le moyen le plus simple est d'augmenter sa hauteur

dans le sens de l'effort exercé, ce qui revient à accroître récartement des arcs au point A, s'il s'agit d'un pont à deux arcs : comme cet écartement est en général limité à la clef en S par la largeur du tablier du pont, et que d'ailleurs le moment fléchissant développée en S est peu considérable, on arrive au résultat voulu en donnant aux plans des arcs des inclinaisons égales et opposées sur le plan vertical, de façon à rapprocher leurs clefs et écarter leurs naissances.

C'est une disposition analogue à celle dont il a déjà été parlé pour les ponts suspendus; mais, ici son efficacité est incomparablement plus grande. En effet, le travail développé

dans la section d'encastrement A est égal à ^-jî quand on fait varier la section, il diminue comme le rapport ^-j, c'est-

à-dire approximativement comme le rapport -j-» h étant Té-

cartemont des deux arcs en A. Dans le pont de Porto sur le Douro, l'écartemcnt minimum des arcs est, au sommet, égal à 4 ", 50. Aux naissances il est de 15 mètres. Le travail du métal développé aux naissances par le vent est donc pour cet ouvrage trois fois plus petit que si on avait placé les arcs dans des plans verticaux parallèles présentant en tous leurs points récartement minimum de 4 ", 50, qui correspond à la largeur du tablier {fiff. 241 et 2i2).

En inclinant sur la verticale le plan d'un arc, on augmente l'effet produit par la charge et la surcharge, Teffort développé dans le plan de l'arc ayant pour projection verticale le poids de la charge et de la surcharge.

Pour faire rigoureusement le calcul, il y aurait lieu do tenir compte de cet accroissement. En désignant par p eiU le poids par mètre courant de la charge et de la surcharge, cl par to) l'angle du plan de l'arc avec le plan vertical, les efforts agissant sur l'arc dans son plan seront par mètre courant

éffaux a — ^- — et •

^ COS (o COS o)

Comme w est en général très petit, cette correction est sans intérêt. Dans le cas du pont de Porto, l'augmentation relative due à l'inclinaison du plan des arcs serait, la flèche de

Tare étant de 42 "», 30, égale à

= 0,007. Ici le paids

esl augmenté à peine de 0,7 0/0. On conçoit qu'il est bien inutile d'en tenir compte, car il ne peut en résulter de changement sensible dans les conditions de stabilité de Touvrage.

^ous ajouterons que la méthode, que nous avons employée pour le calcul du travail du métal dû à l'effet du vent, permettrait de se rendre compte de la déformation qui pourrait en résulter, le déplacement de la clef dans le sens de la direction du vent étant la somme des déplacements subis, sous l'action de forœs connues, par la poutre horizontale dans son milieu, et la poutre verticale à son extrémité libre, déplacements que l'on sait calculer à l'aide des formules des n°* 30 et 32.

1«!»3. Oontreventemeiit transvepsnl ou vortlCAl*

— Considérons une section transversale M de l'arc : menons en ce point la tangente à l'axe longitudinal. Supposons que cette tangente passe par le point d'application 1 de l'une des forces partielles représentatives de l'action du vent. Cette force I ne détermine dans la section transversale M qu'un moment fléchissant X et un effort tranchant V, que l'on pourra calculer à l'aide de la méthode exposée dans

l'article précédent.

Mais il en sera tout autrement pour la force II, dont le point d'application 2 est placé en dehors de la droite Ml, à une distance d de cette droite [fig, 2i5).

Si nous nous reportons au n° 21 du chapitre premier, nous constatons que la force II va développer dans la section transversale M un couple de torsion, dont la valeur s'obtiendra en effectuant le produit de l'intensité i de la force II par la distance d du point d'application 2 à la tangente Ml.

Désignons par T ce couple de torsion (18). On pourra déterminer le couple de torsionrelatif à chaque section transversale de l'arc, en effectuant le produit id pour toutes les

Fig. 2io.

forces appliquées entre cette section et la clef. Vu la symétrie, le couple de torsion est nécessairement nul à la clpf S.

Supposons que Touvrage considéré comporte deux arcs seulement. Le couple de torsion T va tendre à faire tourner la section transversale formée par les deux arcs aa\ hV et les pièces de contreventement aô, a'b' autour du centre de gravité commun G. Soit h la hauteur commune des deux arcs et e leur écartement. L'effort normal / développé dans le cadre rectangulaire a bb'a' aura à peu près même valeur pour tous les côtés^ si e et h diffèrent peu, et Ton pourra calculer sa valeur par la formule approximative :

Kg. 246.

Si (? et A diffèrent sensiblement, ce qui ne permet plus,

ainsi qu'on le sait, d'appliquer en toute sécurité les formules relatives à la torsion, il sera prudent de calculer /, effort normal développé dans les âmes aa' eibb' des arcs, ainsi que dans les pièces de contreventemcnl ab, a'b\ en divisant le couple de torsion T par le double de la plus petite de ces deux longueurs, soit par 2 c si e < A.

C'est là un procédé approximatif dont nous ne garantissons nullement l'exactitude mathématique.

D'autre part l'expérience a démontré que toutes les fois qu'ime pièce soumise à un effort de torsion ne présente pas une section circulaire, ou du moins ne possède pas plus de

deux axes de symétrie, de telle sorte que son ellipse centrale d'inertie ne soit pas un cercle, la torsion a pour résultat de déformer la figure géométrique de cette section.

C'est ? ci absolument le cas, et il est manifeste que les moments d'inertie de la section, pris par rapport à Thorizontale et par rapport à la verticale qui passent par le centre de gravité G, sont toujours très différents. Il y aurait donc déformation de la section, et par suite dislocation des assemblages «, 6, a', b\ si l'on n'assurait l'invariabilité de la figure en

Fig. 247.

ces (te con trêve a te ment transversal ab' et ■oix de Saint-André {/ig. 247).

\e el h sont très difTércnles, on peut être e contreventement entre les detiz arcs de t-André, soit accolées si e > A, soit supcrj. 248 et 249).

la section de la pièce de contreventement ilte puisse supporter un effort double de loppé par le couple de torsion dans les : 2 /". Il serait peut être plus exact de mporte peu d'ailleurs, car en règle généjours donner aux pièces do contreventeien supérieure à celle qu'indique le calcul, des imperfections qu'il présente et s'assu' urité.

. lieu do deux arcs nous en ayons un certain nombre, quatre par exemple. Il est bien rare qu'en pareil cas, on s'inquiète de l'effort de torsion dû au vent, qui ne peut produire qu'un effet insignifiant.

Rien n'empêche de le faire d'ailleurs.

Mais ici il se présente une autre circonstance infiniment plus importante au point de vue de l'effet produit, et dont il couper.

grande largeur, la surcharge peut ne pas fermement sur la largeur du tablier : par as représenté par la ligure 248, un train ( des voies d'un pont de chemin de fer,

formant, grâce au contreventement, un cnt la section transversale a son centre de L) pont yy, on voit que le poids it du convoi pie de torsion dont la valeur est égale à it n. sion se répartit sur la section et fait tra- .a même façon que le couple de torsion dû venons de parler.

ins encore de calculer l'effort développé mlale ab par la formule :

tiT

ih

et do donner aux contre ventemenis obliques la force nécessaire pour supporter un effort égal à *^ » 6 étant Tangle de

la barre avec la verticale; cet effort doits&lre réparti également entre toutes les barres qui coupent une même verticale.

On voit immédiatement que pour peu que les arcs aient une faible hauteur, cet effort peut avoir une très grande importance, et nécessiter Temploi de pièces très robustes dans le contre ventemen t. Aussi a-t-on Thabitude, dans ces sortes d*ouvrages, de se servir des pièces du tympan pour le contrevontement transversal. Dans cette hypothèse, la fiç, 248 représente la coupe transversale faite à la clef et la fiç, 249 la coupe transversale faite en un point où. Tare étant fort éloi gné du tablier, on a établi le contreventement transversal dans les tympans.

U faut aloi*$ substituer dans la formule la hauteur H à la

hauteur A« et Ton voit que / est considérablement réduit. Vu la solidarité quv les arcs établissent entre les différentes fermes verticales du contreventement, il convient d'admettre indifféremment pour tontes les fermes du conlr^vtenlement une ^-aleur f de Teffort développé égale à la moyenne des efforts qae la ionirale donnerait pi^ur les différentes valeurs de H. Il est toujours difficile dVviter que la partie du pont où H a la kaulev minin:u:n. c*est-4-5lire la elef. »e smbtsse un le^r^^r au^uvoaK»nt de ::r>; -n au passa» c-e* InÙBS^ Cela ao ÎK^ï du ovv->r:e ne rre><-n:e au:un înor-»vec:ùeBc.

D a:-"vcr5 ^îjuî:^ : :<::-^ oo.tt^ e:u.i -. n'>«saTviBs£ii:aksarartieo x>; Va r\'>'>:jir.vV r^r^rre cu\^!Îrya: It:> arv"ts à ^^ ïocsmi : il est X :>,:<.-: ï^r, -, ::. : ^u^ r» ur fàiri" :raT:i:..-c a .a aaste 5«|wne«re '.A : .-vv :, c*;v.:rv\-fr::-:nxr: jc "• . il tar: i-xk ract* ^^arsêtf'i'

lAP. V. PONTS KN ARC. 409

à ce moment l'effort normal développé i la barre ab,' entraîne l'arc ab et la dé- Lation no s'accentue plus. Mais il n'en est moins vrai que l'arc a'b', ayant subi léplacement par rapport à l'arc ah, supi une portion plus considérable de lasurgc; donc les efforts développés dans le reventement transversal ne font équilibre une fraction du couple de torsion, le lus étant égal au couple résultant de sortes par les arcs.

ïut supporté par le contreventemcnt peut itcrminé par une mélliode de fausse posirvenir dans le problème la valeur du

subi par un arc sous l'action de la sur mal qui résulte pour les barres du contre léfoi-mation du système,

pas davantage sur celte question, en irquer que, d'après ce que nous venons lautcur des arcs, le contre ventement d'un loi do pièces d'autant plus robustes que luits à la clef par la surcbargc sont plus

par suite les irrégularités de surcliarge icrla section transversale du pont. C'est lérîeux on faveur des arcs à croissant qui

une grande hauteur et par suite une constances qui contribuent chacune fi i-eloppé dans les contreveotements par ;harge.

orsque le contreventemcnt transversal est l guère en résulter de rupture dans les it : il arrive simplement que les arcs se ils n'étaient pas solidaires et que cbacun large qui lui est directement appliquée ine partie aux arcs voisins.

PONTS MÉTALUQCES.