L P^ EU
dx^aoit.
FSg. 233.
La forme de cette équation peut être légèrement modifiée.
Soient M un point quelconque de Taxe longitudinal, 6 Tangle que fait la tangente à cet axe avec rhorizontale, F et V Teffort normal et Teffort tranchant en M.
Le tronçon d'arc compris entre la section transversale M et l'une quelconque des naissances, A ou A! y est en équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont appliquées, et du moment fléchissant, de l'effort tranchant et de l'effort normal développés dans la section M. Projetons toutes ces forces sur une direction horizontale : comme les forces extérieures sont toutes verticales par hypothèse, à l'exception de la poussée, nous trouverons en définitive, la somme de ces projections étant égale ko:
Q + FcosO + VsinOao.
Qas — PcosO — Vsine.
L'effort tranchant Y est toujours très petit quel que soit le mode de répartition de la surcharge, l'angle formé par la tangente à la courbe des pressions et la tangente à Taxe longitudinal, dans une même section transversale, étant toujours voisin de zéro.
On peut donc négliger sans erreur sensible V devant F et écrire :
Q=— PcosO.
D'où
Pdx= —
^'Tr
CHAP. V. PONTS SN ARC â83
Maïs ^ = ds {fig. 234). Donc ¥dx = —Qds.
ËfTecluons cette substitution dans la fonnule (9), elle devient :
Rg. 234.
Le moment fléchissant X est égal à la somme de deux moments partiels : 1* celui qui est produit par la poussée Q et qui a pour valeur en un point quelconque — Qy ; 2* celui qui est dû aux poids appliqués à Tare, et que nous désignerons, n'ayant fait aucune hypothèse sur le mode de répartition de ces poids, par la lettre X' (1).
En séparant ces deux moments partiels, on a en fin de compte la relation :
-ir^-^r^--/.
LQds , ,
qui peut s'écrire, en mettant en facteur commun le rapport ^ qui ne dépend pas de s :
On peut tirer de cette équation la valeur de Q :
f^^ds + Ea^t
I^T^^iu
Telle est la formule qui donne la valeur de la poussée poui' un arc de forme quelconque sollicité par des forces verticales formant un système symétrique par rapport à la clef. Cette formule contient, on le voit, trois intégrales définies qu'il est nécessaire de calculer pour avoir la valeur de Q. H. Bresse a résolu le problème dans sa forme générale pour le cas des arcs circulaires à section constante, et M. Darcel
{{) X o«t le moment fléchissant qui serait développé dans la section, définie par rabscisse x, d*une poutro droite de longueur 2a qui aurait ses extrémités en A el A*, et serait soumise à la m3me surcharge que Tare coneidéré»
PONTS MÉTALLKJL'ES.
en a donnée pour le même cas et pour quelques autres, des solulions approchées.
Nous avons exposé précédemment les résultats de leurs travaux.
Dans le cas présent, l'intégration sous une forme générale est impossible, puisque l'on ne fait aucune hypothèse sur les relations qui existent entre les variables x, y, 5, 1 et 0. On est donc conduit à procéder par quadrature, et à calculer, dans chaque cas particulier, la valeur numérique approchée de chacune des intégrales. Telle est la marche suivie par M. Darcel [Annales des Ponts et chaussées^ 1862, 2' semestre.), et H. Albaretj qui a appliqué ce mode de calcul à quelques arcs circulaires très surbaissés, à section variable, et a exposé les résultats de ses recherches dans un article inséré dans les Amialesàe 1870 (2* semestre).
M. Seyrig a depuis, sur les indications de M. de Dioîiy ancien président de la Société des ingénieurs civils, employé le même procédé de calcul par quadrature pour le pont de 160 mètres d'ouverture et 42", 50 de flèche établi à Porto sur le fleuve du Douro par MM. Ei/fel et C*.
Nous allons donner quelques détails sur la manière dont on doit effectuer ces quadratures et conduire les calculs numériques relatifs à la détermination de la poussée.
14T. Calcul ae la pous»6o. — 1* Calcul du coefficient de Q. — Il convient tout d*abord de déterminer la valeur du coefficient de Q, que nous désignerons par la lettre N:
Jo 1
A cet effet, on choisit sur Tare un certain nombre de sections, que Ton prend d'autant plus nombreuses que Ton désire un résultat plus exact : pour le pont de Porto, on en a pris 10, non compris la clef et la naissance, qui est toujours réduite au point d'articulation A [fiff. 235).
TL ds ,.
Jo Q
Fig. 285i
Il peut paraîlpc commode, pour une raison quo nous indiquerons plus loin, de disposer ces sections de façon que la distaoce horizontale (^duceatre de gravité de deuxsections consécutives soit une constante. Soient M une section quelconque, I son moment d'inertie, Ù son aire, m la demi-somme de ses dislances à chacune des sections voisines comptées sur la fibre moyenne, et n l'ordonnée de son centre de gravité par rapport à l'horizontale qui passe par A. On obtient ces diiïércntes quantités soit par le calcul eoit par un simple mesurage effectué sur une épure.
Calculons les expressions : -|— et j-' ce oui ne présente aucune difficulté.
Effectuons la même opération pour toutes les sections, en disposant méthodiquement les calculs, c'est-à-dire en partant de la clef et marchant vers l'extrémité A. Pour la clef, m est égal à la moitié de la distance à la première section choisie sur l'arc. Pour le point A, 1 et y sont nuls et m, qui entre
seulement dans le calcul de -x. est égal à la demi-distance de A à la dernière section.
Cela fait nous effectuerons la somme de tous les résultats obtenus et poserons :
h y'ds yA n'in
I ~ 2jS 1 '
Nous trouvons en définitive, après avoir effectué tous ce» calculs numériques :
"-2-S I ^^2jsu
2* Calcul de la poussée produite par une surcharge quelcoTUiue et par un poids isolé. Rien n'est plus simple maintenant que de calculer la poussée produite par une surcharge quelconque, soit répartie uniformément sur une ou plusieurs zones de l'ouverture, soit composée de poids isolés, etc. Il est bien entendu, conformément à l'hypothèse déjà faite, que cette surcharge est symétrique par rapport à la clef. Dans cei conditions, il est aisé de déterminer le moment fléchissant X'
POiNTS MÉTALLIQUES.
produit par les forces verticales appliquées à Tare, à Texclusion de la poussée.
Considérons deux poids ir placés symétriquement de part et d'autre de la clef« à une distance représentée par u {fig. 236). Soit q la distance horizontale à la clef du centre de gravité M d'une section transversale de l'arc. Le moment fléchissant X' relatif à cette section est égal à celui qui serait développé par les deux poids « dans une poutre droite AOA' :
Il a pour expression :
ic(a-5'), si Ton bl u<Cq Et :
Tc (a-u), si l'on a ti > ^.
Il s'agit à présent de calculer Tin-
tégrale définie I ^ — y — » dont les limites correspondent à la
clef S et à la naissance A : cette opération s'effectuera par quadrature, dans les mêmes conditions que précédemment, en posant :
Jo ~r"— 2js I •
Or on a :
[ ^(fl— ^) nm'iz{a--g)nm ^ (u--q)nm ^^^^ ^^ ^^
Fig. 236.
X'nm
n(a — q)nm
pour u<q
D'où:
^ A X' nm
SI 2jS
(q = u)n{u—q)nm
Ces deux intégrales dont la première, prise entre les points S et A, est indépendante de la position des poids ir et est fonction seulement de la forme de l'arc, et dont l'autre est prise entre les limites définies par le point d'application d'un poids ?^ et la clef, sont faciles à calculer. Cela fait, il n'y a plus
A X'nm
qu'à diviser le nombre Y — r- par le coefficient N précé-
demment calculé pour avoir la valeur de la poussée Q due aux deux poids ic appliqués à l'arc.
Pour avoir la poussée due à an poids unique x, défini par l'abscisse u, il faudrait prendre la moitié do la valeur correspondant à deux poids symétriques :
Q=2nL''^''~'' ^sT--*ls 1 J
Sachant calculer !a poussée produite par un poids isolé, il sera facile de déterminer la poussée due à une surcharj^o composée d'une série de poids, en effcctuanL successivement le calcul de la poussée pour chacun des poids pris k part. Si l'on veut, pour abréger, calculer en une seule opération le moment fléchissant X' développé dans chaque section M par l'ensemble des poids agissant simultanément, on emploiera la formule suivante :
Connaissant la valeur de X' correspondant à chaque section transversale, on calculera facilement l'intégrale L ■ f—
~ S<; — r~' ** **" ^^ '^*'^"''"* ^* poussée Q en divisant le résultat précédent par le coefficient N.
Ceci s'applique à un ensemble de poids symétrique par rapport à la verticale SO.
Si l'on voulait calculer la poussée produite par une surcharge dissymétrique, il faudrait appliquer une surcharge égale mais placée symétriquement par rapport à la clef, calculer la poussée correspondante, et en prendre la moitié.
3" Poussée due d la charge permanente. — La poussée due à la surcharge complète est égale à la somme des poussées partielles dues à chacun des poids isolés en lesquels on a divisé la surcharge. La poussée due à U charge se déduit de
celle due à la surcharge, qu'on multiplie par le rapport ^•
Elle peut d'ailleurs se calculer directement & l'aide de la formula suivante que nous jugeons inutile de démontrer ;
n ^ yiA;)(a'— y')mn
*■ — la Z^« a I *
OÙ Ton donne successivement à q toutes les valeurs correspondant aux différentes sections du demi-arc SA.
4** Calcul de la poussée produite par une dilatation indépendante des 'charges. — On a tout simplement :
On connaît tous les nombres qui figurent dans cette formule.
ji^s. Calcul au truvaii. — Pour Calculer un arc de section variable, nous proposerons de suivre la marche suivante :
1** On prendra un certain nombre de sections de Tare, dont le choix pourra être déterminé par des circonstances particulières dépendant du mode de construction de l'ouvrage (points d'application des pièces du tympan, et par suite de la surcharge) ; si Ton est absolument libre à cet égard,on les disposera de façon que les verticales de leurs centres de gravité divisent l'ouverture en parties égales. On calculera alors le coefficient N ainsi qu'il a été dit plus haut.
2° On partagera la surcharge en un certain nombre de poids appliqués aux centres de gravité de ces sections : si les verticales de ces centres de gravité divisent la corde de Tare en parties égales, ces poids seront égaux, ce qui simplifiera les calculs. C'est pourquoi nous avons précédemment recommandé cette disposition.
On calculera pour chaque poids la poussée correspondante par le procédé indiqué à l'article précédent. Vu la symétrie, il suffira d'effectuer les calculs pour les poids appliqués à un demi-arc.
Connaissant la poussée correspondant à chaque poids, le
calcul du moment fléchissant, de l'effort normal et de Teffort
tranchant ne présente plus aucune difficulté : il n'y a plus
qu'à appliquer la méthode algébrique exposée au n** 138, ou
la méthode géométrique du n° 139, en remarquant seulement
h 1 que les coefficients ^ï ^^ 5» q^i servent à déduire le travail
du métal du moment fléchissant et de l'effort normal, varient d'une section à la suivante. Comme on a déjà calculé I et û pour les différentes sections, la recherche de ces coefficients est des plus simples.
3^ En ce qui concerne le travail du métal dû à la dilatation, nous n'avons également rien à modifier à ce qui a été dit à propos des arcs circulaires à section constante, le calcul de la poussée étant fait.
Nous remarquerons en terminant que le calcul exact du travail maximum à l'extension ou à la compression, déve< loppé sous l'action simultanée de la charge, de la surcharge répartie de la manière la plus défavorable pour chaque point considéré en particulier, et de la température (écart maximum au-dessus ou au-dessous de la température moyenne), n'est pas en réalité une opération bien difficile ni bien compliquée, soit que Ton emploie la méthode algébrique, soit qu'on abrège le travail en recourant à la méthode géométrique. Les opérations numériques sont, il est vrai, très nombreuses, mais comme elles se réduisent toujours à effectuer le produit, la somme ou la différence de deux nombres, elles n'offrent aucune difficulté. De ce fait, que l'opération ne s'applique jamais qu'à deux nombres calculés à Tavance, appartenant à des séries distinctes dont tous les éléments sont successivement associés deux à deux, il résulte que l'on peut toujours dresser un tableau à double entrée dont les colonnes verticales portent en tête une des séries de nombres soumise aux opérations, et les lignes horizontales l'autre série. Au point de rencontre de chaque colonne avec chaque ligne, on inscrira le résultat de l'opération faite sur les deux nombres correspondant à la colonne et à la ligne : ce tableau peut donc être rempli par un calculateur absolument ignorant de la question, dont le travail consiste à effectuer l'opération numérique indiquée entre tous les nombres placés en tête dos colonnes et des lignes.
Nous avons calculé de cette façon un arc circulaire à section variable de 80 mètres d'ouverture, en appliquant la méthode algébrique dans tous ses détails, et cette opération ne nous a pas certainement demandé plus de quatre heures de travail, notre besogne se réduisant à préparer les tableaux de calcul et à vérifier, par la simple lecture, les erreurs qui auraient pu être commises dans les opérations numériques. Tous les calculs ont été effectués par un calculateur, d'ailleurs très intelligent et très capable, mais qui n' avait nulle con-
naissance des formules à appliquer^ <^t dont le travail se réduisait à effectuer entre deux séries de nombres pris deux à deux l'opération indiquée en tète du tableau.
Lorsque Ton a terminé le calcul complet du travail maximum produit dans tous les éléments d'un arc par la charge» la surcharge et la température, il convient d'y ajouterl'effet dû à l'action du vent, dont le calcul devra se faire d'après les règles que nous indiquerons plus loin.
DÉFORMATION DES ARGS«
fl'AO. Avcm oipcuiaii»e«. — M. Bresse a fait connaître les formules générales donnant, dans certains cas, la variation de la flèche, c'est-à-dire le déplacement vertical de la clef subi par un arc circulaire à section constante. Ces formules sont les suivantes :
1 ° Charge répartie uniformément sur toute la longueur de la fibre moyenne.
EQ
2" Charge répartie uniformément sur toute la longueur cela corde horizontale.
EQ
Cette dernière relation est aussi applicable au cas de la surcharge complète.
Ces formules ne sont suffisamment exactes que pour les arcs surbaissés : dès que l'angle 2 9 dépasse 90% leur emploi donne une erreur, qui, pour 2 ç = w, peut atteindre 40 7» de la valeur réelle.
Dans le cas d'un arc très surbaissé, si le rapport -^ ne dépasse pas la valeur habituelle 0,0005, on peut admettre sans
390 PONTS HtTALUQUES.
naissance des formules à appliquer, <>t dont te travail se réduisait à effectuer entre deux séries de nombres pris deux k deiu l'opération indiquée en lëte du tableau.
Lorsque l'on a terminé le calcul complet du travail maximum produit dans tous les éléments d'un arc par la charge, la surcharge et la température, il convient d'y ajouter l'effel dû à l'action du vent, dont le calcul devra se faire d'après les rëg;le8 que noua indiquerons plus loin.
