DÉFORMATION DES ARCS

i-Ao. Arvsm oirouiHipe*. — M. Bresse a fait connaître les formules g^énérales donnant, dans certains cas, la variatioD de la flèche, c'est-à-dire le déplacement vertical de la clef subi par un arc circulaire & section constante. Ces formule* sont les suivantes :

1 ° Charge répartie uràformément sur toute la longueur de la fibre moyenne.

2' Charge répartie utàformément sur toute la longueur aela corde horizontale.

Eû(. + ^)^ "I

Cette dernière relation est aussi applicable au cas de la surcharge complète.

Ces formules ne sont suffisamment exactes que pour les arcs surbaissés : dès que l'angle 2 f dépasse 90°, leur emploi donne une erreur, qui, pour 2 y = it, peut atteindre 40 '/• ^^ la valeur réelle.

Dans le cas d'un arc très surbaissé, si le rapport —, ne dépasse pas la valeur habituelle 0,0005, on peut admettre sani

89â PONTB MÉTALLIQUES.

ISO* AiM^M fie forme qneloonqne* dtapse» Kmr^ Qbapsre complète on atyméCrlquet tempérMlore. —

Considérons un arc de forme quelconque, que nous supposerons bien entendu symétrique par rapport à ta verticale qui passe par le milieu de l'ouverture.

Nous chercherons d'abord les effets produits par la charge, par la surcharge complète, par une surcharge incomplète symétrique par rapport à la clef et par tes variations de la température.

Dans tous ces cas particuliers, la section transversale de t'arc à la clef conserve sa verticalité aprës la déformatioa, par raison de symétrie. Les formules du n" 146 sont donc applicabtes à cet ouvrage. Transcrivons ici tes formules 7 et 8:

i* Effets de la charge permanente et de la surcharge complète. Pourcalculcr le déplacement vertical 8y, subi par un point quelconque, il faut d'abord déterminer par approximation les y, valeurs des deux intégrales ;

Fig. 231. La première s'évaluera aisément, en

conservant les notations du paragraphe précédent et posant ; rs, X(x, — i) . * v" X(a-, — j)m

Ëî '"-ÎÎZjS Î

Les calculs effectués pour la recherche du travail du métal ont fait connaître m, I clx, — a:, dislance horizontale du point M à chaque section considérée entre S et M. Il en est de même de X, moment fléchissant dû à la charge permanente, qui a été calculé h l'avance, si l'on suppose qu'on ne cherche la déformation de l'arc, qu'après avoir établi ses conditions (le stabilité. La 1" intégrale est donc aisée à évaluer par la méthode de quadrature La 2' est encore plus facile à trouver. On a en eiïct : fy, F , i yMP„.

GHAP. V. PONTS BN ARC. 393

pr est le travail dû à l'effort normal : on Ta calculé précé*

demment pour chaque section transversale ; m! est la projection verticale de la longueur m de la fibre moyenne, sur laquelle on admet que la section transversale demeure constante : c'est la demi-somme des Flg. 238. distances verticales du centre de gravité

de la section considérée aux centres de gravité des deux sections qui la suivent et la précèdent immédiatement. La sommation est des plus simples à faire. Après avoir effectué ces calculs numériques, on obtient ^y^ par la formule :

Pour avoir ly^ , il faut donc connaître ly^ qui est donné par la formule générale où Ton prend 5, = L, ce qui revient à rappliquer à Texlrémité A de Tare, pour laquelle on sait que ly^ est nul. D'où :

— iL^s — ï — ^-2jsû"*J

Lorsque Ton a calculé 8y^f on obtient en général pour un point quelconque M (^1^1) de Tare une valeur très suffisamment exacte du déplacement vertical Sy, par la formule :

On peut donc se dispenser d'en faire le calcul exact. Tout au plus, est-il convenable de vérifier la concordance entre cette relation et la formule exacte pour un point de l'arc, par exemple pour les reins : x=^'

On pourrait de même chercher la valeur de ^,, à l'aide d'une méthode identique. Mais remarquons que Bx^ est nul pour X ^ 0 ci a = Oy à la clef et aux naissances. En général il est très petit, presque nul pour tous les points de l'arc, et

7?— TT

394 rONTS MÉTAUJQtnS.

sa recherche ne peut présenter d'intérêt. On peut donc admettre que ^^ est nul en tous les points de Tare, qui ne subissent qu'un déplacement vertical.

2*» Surcharge incomplète, mais symétrique par rapport à la clef.

Les formules sont celles du cas précédent, et on effectuerait le calcul absolument de la même manière, étant donné que Ton connût pour chaque section la valeur de X et de F.

Remarquons seulement que la fibre moyenne de l'arc ne

conserve pas sa forme géométrique, et que par conséquent la formule approximative (3) du présent article n'est plus applicable. Il faut chercherpourun certain nombre de points la valeur de ^y,.

Fig. 239. La figure 239 montre avec

exagération de quelle manière se déformera Tare AS sous l'action de surcharges diversement réparties, mais symétriques par rapport à la verticale OS.

V Surcharge complète. Courbe AS^.

2* Surcharge concentrée à la clef. Courbe AS,. L'abaissement est maximum à la clef. Dans le voisinage des naissances, il peut se produire un relèvement au-dessus de la position primitive.

3° Arc chargé aux reins et vers lesruiissances. Courbe AS^, L'abaissement maximum se manifeste aux reins. Il peut y avoir relèvement de la clef.

Ces remarques suffisent pour faire ressortir l'intérêt que peut présenter l'étude de la déformation dans certains cas particuliers de surcharge.

La remarque faite précédemment au sujet de &r, subsiste encore ici : en général on peut s'abstenir d'en faire le calcul, et admettre que chaque point de l'arc ne subit qu'un déplacement vertical.

3" Effet de la température.

Ona

J'o F , ^rg S y est dans le cas présent toujours pres<

que nul : l'elTort normal auquel donnent Heu les variations de tcDipératurc étant néccssaircnient in-signiBant, on peut négliger ce terme. Q 1/ est le moment fléchissant dû, en chaque section à l'efl'et de la dilatation ; on l'a calculé précédemment.

Rien n'est donc plus facile que de trouver (y.. On pourrait de même calculer Sy, pour un point quelconque M {x,y,) de l'arc. Mais ici la formule

(3) ÎJ,=«!/.^'

trouve son application et on est dispensé de plus longs ca1< culs.

Nous ferons la même observation que précédemment au sujet de Sx,, qui peut être regardé comme nul sur tout le développement de l'arc.

ABft. Ellet d'une Horehapge dt «symétrique. — Si

l'on considère une surcharge dissymétrique par rapport à la clef, on ne peut plus admettre que la section transversale de la clef reste verticale après la déformation. Les formules générales du n" 146 ne sont donc pas applicables et il faut recourir aux formules générales relatives & la déformation des pièces courbes.

Reprenons les formules (3) et (4) du N° 445.

Nous pouvons en faire disparaître le terme relatif à la température, dont nous ne nous occupons pas pour le moment.

Prenons pour axes des coordonnées la verticale A'y et

rhorizontale K'x qui passent par rextrémité de gauche A' de Tare, et appliquons les formules précédentes au point quelconque M (a:, y,).

Nous aurons :

puisque le point A' est fixe.

D'où:

^y,=^^x,+J^^l^^^ds +

Jo EU

dy.

Pour calculer Sar, et 5y,, il faudrait connaître 56^, déplacement angulaire de Taxe longitudinal au point d'articulation A'.

Nous allons donc commencer par chercher 80^, ce qui se fait très simplement en appliquant la 2'' formi^le au point d articulation A.

On a en ce cas ; a:, = 2 a, y, = o, 5, = 2 L, en appelant 2 L la longueur totale de la fibre moyenne.

D'ailleurs le point A est fixe, et par conséquent on doit trouver pour lui : Sy^ = o.

et

ao

Il est aisé d'en déduire la valeur de t\ : quel que soit le mode de répartition de la surcharge que Ton considère, les calculs de stabilité, déjà effectués pour l'évaluation du travail du métal, donnent pour chaque section les valeurs de X et de F.

Connaissant B\j on appliquera aux différents points de l'arc les formules (5) et (6) qui donnent leurs déplacements verticaux 8y^ et horizontaux ^Xi.

Nous ne reviendrons pas sur la manière d'évaluer par quadrature les intégrales définies.

Si l'on a fait le calcul pour difTéreatcs surcharges, ou obtiendra la déformation résultant de toutes ces surcharges agissant simultanémeat, en faisant, pour chaque point, la somme des déplacements verticaux ot horizontaux dus à chaque cause considérée à part. Réciproquement, en retranchant de l'cfTet de la surcharge complète celui d'une surcharge partielle, on aurait l'effort dû k la surcharge partielle complé' menlaire.

Tous ces calculs présentent un grand intérêt, au moins pour les ouvrages de très grande portée. Depuis longtemps déjà, MM. Darcel et Albaret ont remarqué que, pour les arcs circulaires, les déformations maxima résultent do surcharges partielles et se manifestent aux reins, non à la clef. Ils ont par suite conseillé de toujours les calculer, etM, Albaret a employé à cet effet la méthode de quadrature pour les arcs qu'il étudiait, mais en se boruant à l'examen du déplacement subi au quart de l'ouverture.

La seule application vraiment complète de cette méthode qui soit venue à notre connaissance a été faite par M. Seyrig, que nous avons déjà cité. Il a déterminé Ja forme affectée par la libre moyenne du pont de Porto sur le Douro dans différentes hypothèses de surcharge, et il a démontré l'utilité de ce travail, en vérifiant que la déformation duc à une surcharge couvrant une moitié du tablier était assez considérable pour modifier le mode d'action de la surcharge et changer les conditions de stabilité de l'ouvrage.

Ses recherches lui ont fait voir que, sous t'inflence de la surcharge complète, le déplacement vertical de la clef était de 16 millimètres, et que le déplacement horizontal des diiïérents points de la fibre moyenne ne dépassait en aucune section le maximum de l^'tS, ce qui justifie ce que nous avons dit plus bautsur le peu d'intérêt que présente le calcul de fzen pareil cas. Pour la surcharge couvrant 40 mètres de part et d'autre du pont, le déplacement vertical de la clef atteint 17'"',3, et l'arc se relève dans le voisinage des naissances, où le surbausscmcnt atteint 4 millimètres. Le déplacement horizontal n'csl plus négligeable et il atteint 5 millimètres au 1/3 de l'ouverture. Il peut être intéressant de le calculer. Pour la surcharge couvrant la moitié de l'ouverture, lo

'Xi

déplacement vertical delaclefeslde8"V et son déplacement horizontal de 36"",1 Les déplacements verticaux varient entre l'abaissement maximum 26*",7 (reins de la partie surchargée) et le relèvement maximum 19"",5 (reins de la partie libre).

Le déplacement horizontal atteint son maximum à la clef y il s'effectue partout dans le même sens.

Nous croyons intéressant de repro- § duire ici une épure ^ dressée par H. Seyrig, où il a représenté la fibre moyenne primitive de l'arc du pont de Porto, et à une échelle 250 fois plus grande, les déformations résultant des différents cas de surcharge qu'il a considérés

[fig. 240).

Si l'on voulait faire

à cet égard un travail complet, il fau* drait calculer pour chaque section de l'arc le déplacement dû à chacun des poids isolés en lesquels on a divisé la surcharge : on totsr

Userait pour chaque point de la fibre moyenne les déplacements de même sens^^en y ajoutant les déplacements de même sens déterminés par les écarts de la température, et Ton obtiendrait ainsi deux courbes, Tune supérieure, l'autre inférieure à la fibre moyenne, représentant les enveloppes de toutes les courbes que pourrait décrire la fibre moyenne dans toutes les hypothèses de surcharge et de tem-

iw:4a.f«.

Coupé transversale autnontant 2.£cAeff« iéù^pcarryK}

Fig. 242. Pont de Porto 8iir le Douro. Coupe des arcs et contrcventcment transversal.

pérature. Ces deux courbes donneraient en chaque point les limites des déplacements dans un sens ou dans l'autre de la fibre moyenne. Un pareil travail, dont les résultats seraient intéressants, serait malheureusement fort long, et Ton ne pourrait guère s'astreindre à le faire que pour un ouvrage de très grandes dimensions.

CONTREVENTEMENT.

ft C(S^« Gontpeveiitoiiient longitudinal ou Iiorlzon-

tni. — En général on ne songe pas à calculer l'effet du vent sur les ponts en arc, et l'on arrête les dispositions et les dimensions des pièces de contreventement d'après des ouvrages existants ou d'après des bases prises arbitrairemonL

CllAt». V. PôNfS ÊM AhC.

4Ôi

Lorsque le pont étudié comprend plusieurs arcs, on se préoccupe surtout d'assurer leur solidarité en les reliant par des triangulations formées de membres robustes : Ton obtient par surcroît une stabilité plus que satisfaisante au point de vue de Faction du vent. Le tablier du pont, qui est généralement d'une grande rigidité, et les tympans, dont tous les éléments sont réunis par des croix de Saint-André, contribuent à augmenter la solidité de Tensemble.

Ce n'est guère que pour les ouvrages de très grande portée, où Ton s'attache à réduire le plus possible le poids du métal employé et où Ton évite toutes les pièces dont le rôle n'est pas bien défini, que le calcul du contreventement est réellement utile et doit être fait avec soin.

Nous n'avons trouvé d'exemple d'un pareil calcul effectué en détail et suivant une méthode rigoureuse que pour le pont de Porto sur le Douro, que nous avons déjà cité plusieurs fois ^sfig, 2il et 242). La méthode que nous allons exposer est celle suivie par M. Seyrig dans son travail.

Il y a Heu d'abord de calculer l'intensité des efforts exercés par le vent sur l'ouvrage tout entier, tympans et tablier : vu la forme irrégulière que présente l'élévation d'un pont en arc, on est conduit à la diviser en un certain nombre de zones dont il est facile d'évaluer la surface pleine,et au centre de gravité desquelles on applique l'effort du vent calculé en raison de cette surface.

Supposons que l'on ait opéré de cette façon pour le demiarc AS, et que l'action du vent soit représentée par quatre forces I, II, III, IV, dont les points d'application sont respectivement 1, 2, 3, 4. Le demiarc AS' sera soumis à des forces égales disposées symétriquement {fig. 243).

Il s'agit de calculer les efforts tranchants et les moments fléchissants développés dans la pièce ASA' dont les extrémités A et A' sont encasirécs, puisque les forces 1, II, III, et IV, normales au plan de l'arc, sont par conséquent parallèles aux articulations A et A' qui ne fonction- R. 26

Fig. 243.

402 PONTS MÉTALUQUKS.

nent pas dans le sens correspondant à la direction du vent.

Le calcul de l'effort tranchant ne présente aucune difficulté. Il est égal dans une section quelconque à la somme des forces appliquées entre cette section et la clef S.

Pour le moment fléchissant, le problème est plus compliqué, vu la forme affectée par la poutre ASA', dont Taxe longitudinal courbe est situé dans un plan perpendiculaire à la direction des forces extérieures.

• Considérons une poutre horizontale auxiliaire asa\ de même portée 2 a que l'arc, encastrée à ses extrémités a et a\ placées verticalement au-dessus de A et de A'. Projetons sur la droite cisa' les points d'application des forces I, II, III et IV (1, 2, 3 et 4), et calculons. les moments fléchissants développés dans cette poutre parles forces I, II, III et IV, F, IF, IIF et rV', que nous lui supposons appliquées. Le calcul en sera facile à l'aide des formules que nous avons indiquées au second chapitre du présent ouvrage (30). Le procédé le plus commode consistera à construire pour chaque force les deux droites représentatives du moment fléchissant, et à faire la somme des ordonnées de toutes ces droites pour chaque section tramsversale considérée sur la poutre rectiligne osa : nous obtiendrons ainsi la projection horizontale du moment fléchissant développé dans la section correspondante de l'arc : X^.

Considérons maintenant une poutre verticale aa ayant pour haiftcur la flèche b de Tare et encastrée au point « qui correspond à A, Vautre extrémité a, qui correspond à S, étant libre. Projetons de même les points 1, 2, 3 et 4 sur cette droite «v, et calculons les moments fléchissants développés dans ses différentes sections par les forces I, II, III, lY, que l'on supposera lui être appliquées.

Le calcul se fera à l'aide des formules du n* 32 et donnera la projection verticale du moment fléchissant développé dans la section correspondante de l'arc : X». . Connaissant X* et X«, on pourra calculer sans difficulté le moment fléchissant développé sur l'arc lui-même :

x=:Kxî+x;,

Onendéduirale travail de l'arcdùà l'action du vent: d'ailleurs

W4 fONTS MÉTALLiyLES.

dans le sens de i'effort exercé, ce qui revient à accroître l'écartement des arcs au point A, s'il s'agit d'un pont à deiix arcs : rommc cet écartcmcnt est en général limité à la clef en S par la largeur du tablier du pont, et que d'ailleurs le moment tléchissanl développée en S est pou considérable, on arrive au résultat vou'u en donnant aux plans des arcs des inclinaisons égales et opposées sur le plan vertical, de façon à rapprocher leurs clefs et écarter leurs naissances.

C'est une disposition analogue à celle dont il a déjà été parlé pour les ponts suspendus; mais ici soni efficacité est incomparablement plus grande. En effet, le-travaîl développé

dans la section d'encastrement A est égal à ^T ' quand oa fait varier la section, il diminue comme le rapport ^-=, c'esl-

cartement des doux arcs en A. Dans le pont de Porto sur le fiouro, l'écartement minimum des arcs est, au sommet, ég;al à i *", SO. Aux naissances il est de IS mètres. Le travail du métal développé aux naissances par le vent est donc pour cet ouvrage trois fois plus petit que si on avait placé les arcs dans des plans verticaux parallèles présentant en tous leurs points l'écartement minimum de 4 °, 50, qui correspond à la largeur du tablier {fiff. 241 et 242).

En inclinant sur la verticale le plan d'un arc, on augmente l'effet produit par la charge et la surcharge, l'effort développé dans le plan de l'arc ayant pour projection verticale le poids de la charge et de la surcharge.

Pour faire rigoureusement le calcul, il y aurait lieu de tenir compte de cet accroissement. En désignant par;>etQ le poids par mètre courant de la charge et de la surcharge, et par u) l'angle du plan de l'arc avec le plan vertical, les efforts agissant sur l'arc dans son plan seront par mètre courant

égaux à ~ — et *

° COSùl cosw

Comme u est en général très petit, cette correction est sans intérêt. Dans le cas du pont de Porto, l'augmentation relative due à Vinclinaison du plan des arcs serait, la flèche de

, POXTS EH ABfi. 405

i -^~ = 0,007. Ici le poids

est au^enté à peint; de 0,7 0/0. On conçoit qu'il csL bien inutile d'en tenir compte, car il ne peut en résulter de changement sensible dans les conditions de stabilité de l'ouvrage.

Nous ajouterons que la raélhodo, quo nous avons employée pour le calcul du travail du métal dû à l'effet du vent, permettrait de se rendre compte de la cléformalion qui pourrailon résulter, h déplacement de la clef dans le sens de la direction du vent étant la somme des déplacements subis, sous l'action de forces connues, par la poutre horizontale dans son milieu, et la poutre verticale à son extrémité libre, déplacements que l'on sait calculer à l'aide des formules des n"* 30 et 32.

SB3. Oontreventement traiuivor«al ou veftioal*

— Considérons une section transversale M de l'arc : menons en ce point la tangente à l'axe longitudinal. Supposons que cette tangente passe par le point d'application 1 de l'une des forces partielles représentatives de l'action du vent. Cette force I ne détermine dans la section transversale M qu'un moment fléchissant X et un effort tranchant V, que l'on pourra calculer & l'aide de la méthode exposée dans l'article précédent.

Mais i! en sera tout autrement pour la force II, dont le point d'application 2 est placé en dehors de la droite Ml, à une dis-

Flg. S45.

tance d de cette droite {^ç. 245).

Si nous nous reportons au n° 21 du chapitre premier, nous constatons que la Force II va développer dans la section transversale M un couple de torsion, dont la valeur s'obtiendra en effectuant le produit de l'intensité i de la force II par la distance d du point d'application 2 à la tangente Ml .

Désignons par T ce couple de torsion {18}. On pourra déterminer le couple de torsion relatif à chaque section Irans- Tersalc do l'arc, en effectuant ie produit id pour toutes lea

POKTS VÉTALUQCES.

forces appliquées entre celte section et Ja cleF, et totalisant les résultats. Vu la symétrie, le couple de torsion est nécessairemeut nul à la clef S.

Supposons que l'ouvrage considéré comporte deux arcs seulement. Le couple de torsion T va tendre à taire touroer la section transversale formée parles deux arcs aa', 6b' et les pièces de conlreventement ab, a'ù' autour du centre de gravité commun G. Soit A la hauteur commune des deux arcs et e leur écartement. L'cSbrt normal f développé dans le cadre rectangulaire a bb' a' aura à peu près même valeur pour tous les c6tés, si e et A diffèrent peu, et l'on pourra Calculer sa valeur par la formule approximative ;

Fig. «6.

Si tf et A diffèrent sensiblement, ce qui ne permet plus,

ainsi qu'on le sait, d'appliquer en toute sé-

T curilé les formules relatives à la torsion, il

sera prudent de calculer /, effort normal

développé dans les Ames aa' et bb' des arcs,

ainsi que dans les pièces de contre venlemenl

ab,a'à', en divisant le couple de torsion T

par le double de la plus petite de ces deux

longueurs, soit par 2 c si e <C A.

C'est là un procédé approximatif dont nous ne garantissons

nullement l'exactitude mathématique.

D'autre part l'expérience a démontré que toutes tes fois qu'une pièce soumise à un effort de torsion ne présente pas une section circulaire, ou du moins ne possède pas plus de deux axes de symétrie, de telle sorte que son ellipse centrale d'inertie ne soit pas un cercle, la torsion a pour résultat de déformer la figure gf'ométrique de cette section.

C'est ici absolument le cas, et il esl manifeste que les moments d'inertie de la section, Fig. lii. pris par rapport à l'horizontale et par rapport

& la verticale qui passent par le centre de gravité G, sont toujours trfcs différents. Il y aurait donc déformation de la section, et par suite dislocation des assemblables a,b,a',b', si l'on n'assurait l'invariabilité de la figure en

•'««Vi'

établissant des pièces de contreyentcment transversal ab* et baf formant une croix de Saintr-André {fiç. 247). ,

Si les longueurs e et h sont très différentes, on peut être conduit à former le contreyentcment entre les deux arcs de deux croix de Saint-André, soit accolées si e > A, soit superposées si e < A {fiff. 248 et 249).

On peut calculer la section de la pièce de contreventement €ib' de façon qu'elle puisse supporter un effort double de celui qui est développé par le couple de torsion dans les côtés du rectangle : 2 /. Il serait peut être plus exact de prendre f[r2. Il importe peu d'ailleurs, car en règle générale, on devra toujours donner aux pièces de contreventement une section bien supérieure à celle qu'indique le calcul, pour tenir compte des imperfections qu'il présente et s'assurer une grande sécurité.

Supposons qu'au lieu de deux arcs nous en ayons un certain nombre, quatre par exemple. Il est bien rare qu'en pareil cas, on s'inquiète de l'effort de torsion dû au vent, qui no peut produire qu'un effet insignifiant.

■^^A^SA^^^ Rien n'empêche de le faire d'ailleurs.

y, *^ Mais ici il se présente une autre circons-

Fiff 248. tance infiniment plus importante au point

de vue de l'effet produit, et dont il con- TÎent de se préoccuper.

Sur les ponts de grande largeur, la surcharge peut ne pas être distribuée uniformément sur la largeur du tablier : par exemple dans le cas représenté par la figure 248, un train peut couvrir l'une des voies d'un pont de chemin de fer, l'autre restant libre.

Les quatre arcs formant, grâce au contreventement, un ensemble rigide, dont la section transversale a son centre de gravité sur Taxe du pont yy, on voit que le poids -k du convoi donne lieu à un couple de torsion dont la valeur est égale à ic n.

Cet effort de torsion se répartit sur la section et fait travailler le métal de la même façon que le couple de torsion dû au vent dont nous venons de parler.

Nous conseillerons encore de calculer l'effort développé dans la pièce horizontale ab par la formule :

Gt de donner aux contreTentements obliques la force nécessaire pour supporter un effort égal à ^ " . 8 élantl'angle de

la barre avec la verticale ; cet effort doit être réparti également entre toutes les barres qui coupent une même verticale.

On voit immédiatement que pour peu que le» arcs aient une faible hauteur, cet effort peut avoir une très grande importance, et nécessiter l'emploi de pièces très robustes dans le contre ventement. Aussi a-t-on l'habitude, dans ces sortes d'ouvrages, de se servir des pièces du tympan pour le contreventement transversal. Dans cette hypothèse, la fiç. 248 ri>' présente la coupe transversale faite à la clef el la fig. 2i9 la coupe transversale faite en un point où, l'arc élant fort éloigné du tablier, on a établi le contrcventoment transversal dans les tympans.

It faut alors substituer dans la formule la hauteur H à la hauteur h, et l'on voit que / est considérablement réduit. Vu la solidarité que les arcs établissent entre les différentes fermes verticales du contre ventement, il convient d'admettre indifféremment pour toutes les fermes ducontreventcmentune valeur f de l'effort développé égale à la moyenne des efforts que la formule donnerait pour les différentes valeurs de H. Il est toujours difficile d'éviter que la Kig. 2i9. partie du pont où H a la hauteur mini-

mum, c'c3t-&-dire la clef, ne subisse uq léger mouvement de torsion au passage des trains. Cela aa bout du compte ne présente aucun inconvénient.

D'ailleurs dans toute cette étude, nous avons fait abstraction de la résistance propre qu'offrent les arcs à la torsicn : ii est visible en effet que pour faire travailler à ta limite supérieure la piëcc de contreventement ab', il faut que l'arc chargé a'è' ait subi un déplacement relatif par rapport à l'arc voisin abM

soit venu en a,'i/ : à ce moment l'effort normal développé

dans la barre ûi/ entraîne l'arc ab et la déformation ne s'accentue plus. Mais il n'en est pas moins vrai que Tare a'b\ ayant subi un déplacement par rapport à Tare ab, supporte une portion plu s considérable de la sur- "^-^ib* charge ; donc les efforts développés dans le * contre ventement transversal ne font équilibre Fig. 250. qu'à une fraction du couple de torsion, le

surplus étant égal au couple résultant de l'inégalité des poids portés par les arcs.

Le travail réellement supporté par le contreventement peut généralement être déterminé par une méthode de fausse position, en faisant intervenir dans le problème la valeur du déplacement vertical subi par un arc sous l'action de la surcharge, et Teffort normal qui résulte pour les barres du contre ventement de cette déformation du système.

Nous n'insisterons pas davantage sur cette question, en faisant toutefois remarquer que, d'après ce que nous venons de dire, à égalité de hauteur des arcs, le contreventement d'un ouvrage exige Temploi de pièces d'autant plus robustes que les abaissements produits à la clef par la surcharge sont plus considérables, et que par suite les irrégularités de surcharge tendent plus à déformer la section transversale du pont. C'est là un argument très sérieux en faveur des arcs à croissant qui présentent à la clef une grande hauteur et par suite une grande raideur, circonstances qui contribuent chacune à réduire le travail développé dans les contreventements par les inégalités de surcharge.

On voit aussi que lorsque le contreventement transversal est insuffisant, il ne peut guère en résulter de rupture dans les fers qui le constituent : il arrive simplement que les arcs se comportent comme s'ils n^étaient pas solidaires et que chacun d'eux porto la surcharge qui lui est directement appliquée sans en transmettre une partie aux arcs voisins.

PONTS MÉTALUQtSS.

DISPOSITIONS GÉNÉRALES DES ARCS ET DES TTBrPANS.

IL ^ÀL. Seettons tpcànsvep^ale» de* aa^e». -^ Les

arcs étant soumis à des efforts de flexion, il est rationnel de leur attribuer une section transversale qui convienne à ce

genre de travail, et Ton choisit en général la forme double té. Les arcs supportent, d'autre part, un effort normal de compression et il convient également de se préoccuper de cette circonstance.

La forme annulaire adoptée par Polonceau pour le pont du Carromel était excellente à ce point de vue : malheureusement elle

Pig. 251.

ost médiocre pour le travail à la flexion, et Touvrage ainsi établi est très déformable. La flexion très considérable, qu*y détermine le passage des charges roulantes, donne lieu à des mouvements vibratoires très fâcheux. Ce n'est donc pas un exemple à imiter, et il faut adopter une section transversale qui résiste également bien à la compression et à la flexion. Le double té ordinaire serait souvent exposé à flamber, lorsque Touvrage est important : on raidit avec des cornières les bords de ses semelles, et Ton renforce de distance en distance Tâme au moyen de tôles perpendiculaires à Taxe longitudinal. Pour empêcher le gondolement de Tâme, on la consolide aussi au moyen d'une plate-bande centrale. Enfin, un excellent système consiste à adopter une section en forme d'il Ou en forme de rectangle : l'âme est double, ce qui entraîne un petit surcroît de dépense, car dans les arcs la résistance de l'âme, au point de vue de l'effort tranchant, est toujours beaucoup plus grande qu'il n'est nécessaire, et le métal employé en pure perte est deux fois plus considérable lorsque Tâme est dédoublée. Mais on obtient une solution parfaite au point de vue de la compression.

CHÀP. V. PONTS M

On pourrait aussi constituer chaqu Hection annuiaire [pont de Saint-Louis tangulairc, et réunir ces deux tubes L'Ame peut ëlrs formée soit d'une tâle ( constituant une triangulation : toutes néea à travailler à la compression, it n

Bans les ouvrages en fonte, on ad pour les sections transversales; seule métal sont plus grandes et les saillif tdie. Somme toute le résultat est le mè présente des épaisseurs réduites, on i craindre le gondolement, si l'on ne d'accentuer les saillies du profil, de ma moment d'inertie.

>SBt< A.rcm It bautear coit«Ut

plus simple consiste à donner à t'arc d'uDO extrémité à, l'autre. Comme le ti mal varie peu, tandis que le travail à 1e charge, la surcharge et la températur ces, et atteint son maximum soit aux r vaut l'importance relative de ces diffén que le travail maximum du métal ne leur dans toutes les parties d'un arc k peut y remédier dans une certaine m« la semelle inférieure, aoit la semelle su où le travail calculé dépasse la limite blissant partout où ce travail parait tri Nous avons parlé précédemment df d'un pont à section constante de 6C l'épure de la figure 227 indique le trav dans les différentes sections sous la charge, de la surcharge et d'un éc de it 34°. Comme le travail à la comp: Bemelle supérieure paraissait un peu nage de la clef, nous avons ajouté à supplémentaire s'étendant sur une pa part et d'autre de la clef. La figure 221 ment apporté dans le travail du métï

412 PONTS BIÉTALUQUES.

procédé, qui consiste à faire varier l'épaisseur des semelles en raison de l'effort subi, comme on le fait pour les poutres droites, on peut sans inconvénient attribuer à Tare une hauteur constante.

Le choix de la hauteur la plus convenable à adopter est un problème assez difficile à résoudre. La question ne se présente pas comme pour les ponts à poutre droite, où il y a une limite théorique bien définie qu'il ne faut pas dépasser : c'est la hauteur à partir de laquelle la réduction opérée sur la section des semelles serait plus que compensée par l'augmentation de hauteur de l'âme. Au delà de cette limite, le poids de la poutre augmente en même temps que sa hauteur. Pour les arcs l'on doit faire entrer en ligne de compte les deux circonstances suivantes : 1* si Ton considère deux arcs de même ouverture et de même flèche, placés dans les mêmes conditions de charge, de surcharge et de température, etc., ne différant en un mot que par la hauteur de la section transversale, la poussée la plus faible correspond à l'arc le plus hauij et, si Ton considère les sections correspondantes des deux ouvrages, c'est pour l'arc le plus haut que le moment fléchissant atteint la plus grande valeur; 2** par contre, le rapport du travail maximum du métal à la valeur du moment fléchissant, qui, ainsi qu'on le sait, est égal à ^-r» est d'autant plus petit que l'arc est plus haut, car il est sensiblement proportionnel h. jr'

Il en résulte que si l'on fait croître la hauteur de l'arc, la valeur du moment fléchissant X augmente, tandis que celle

du coefficient^ diminue. Le produit-^» qui représente le

travail du métal dans la section considérée, augmente donc ou diminue suivant les cas. Il conviendrait de trouver la valeur de h qui le rendrait minimum. M. Bresse a étudié cette question, dans son ouvrage sur la Résistance des matériaux (128 et 129), au point de vue spécial de l'effet de la charge permanente. Il a constaté que l'angle au centre 2© de l'arc intervenait dans ce problème, qui ne paraissait pas susceptible d'une solution générale simple.

CflÀP. V. PONTS EN Ane. 413

£n ce qui touche la dilatation, on voit immédiatement que la poussée, et par suite Teffort normal, sont proportionnels au carré de la hauteur de Tare, et que le travail dû au moment fléchissant est proportionnel aussi à cette hauteur. A ce point de vue particulier, il y a donc intérêt à réduire au minimum la hauteur de la section transversale. Nous n'insisterons pas sur ce sujet ,- c'est une question d'espèce à rt^soudre dans chaque cas. en se basant sur les exemples existants, et vérifiant au besoin par le calcul si une légère augmentation de hauteur correspondrait à une réduction sensible dans le travail du métal, ce qui est le meilleur moyen pour reconnaître si la hauteur adoptée est convenable. Nous avons voulu seulement mettre en garde contre l'idée, vraisemblable à priori, bien qu'absolument erronée, d'après laquelle, étendant aux arcs un principe vrai pour les poutres droites, on croirait pouvoir réduire indéfiniment le travail à la flexion en augmentant la hauteur de la section transversale.

mso* Avcm èk itauteup variable* — Il arrive parfois que, par des considérations architecturales, on donne à l'arc une hauteur décroissante à partir des naissances jusqu'à la clef. Ce système est évidemment illogique pour des arcs réellement articulés aiix naissances (157), puisque la hauteur est maximum dans la région où le travail à la flexion est minimum. Toutefois, en étudiant convenablement la répartition des tôles, on remédie à ce défaut, qui en somme ne peut conduire à une augmentation sensible dans le poids du métal, à moins que la variation de hauteur de l'arc ne soit excessive, comme pour le pont d'Arcole à Paris, où la hauteur décroît depuis 1",40 aux naissances jusqu'à 0°,395 h la

clef [fiff. 282).

Nous verrons plus loin que, lorsque l'ouvrage, au lieu d'être parfaitement articulé aux naissances, est encastré ou demi-encastré , la forme, dont nous venons de parler, est tout à fait rationnelle, car le moment fléchissant atteint alors sa limite supérieure aux naissances, et non plus à la clef ou aux teins.

Lorsque Tare est effectivement articulé à ses deux extrémités, Informe en croissant, adoptée par M. Eiffel pour le pont

PONTS MÉTALUQUES.

de Porto SOT le Douro (fig. Sil), eat la plus rationnelle, puisqu'elle tend à proportionner le moment d'inertie de chaque section à l'intensité du moment fléchissant maximum qui pourra s'y manifcslor.

Dans l'ouvrage de M. EifTol les seinelles sont paraboliques; la hauteur varie (le 10 mètres à la clef & l',72 aux naissances. Les résultats obtenus par lui sont les suivants :

Travail n

aximum total (y comprit l'effort du vent) en kilogrammes par millimètre carré.

Extrados . . .

Intrados. . . .

REINS l'ouverture)