LIMITE

l'Eisa

Ces chiffras ne comprennent pas le travail dû à la dilatation, qui est peu important, et, croissant d'une manière conllnuc des naissances à la clef, atteint en ce point le maximum de Û*,90 à l'intrados, et 0^,10 à l'extrados.

Cette constance du travail est très remarquable et montre combi<m le projet a été bien étudié : elle ne s'applique d'ailleurs qu'aux valeurs de la charge, de la surcharge, de l'écart de température et de l'effort du vent admises dans les calculs de M. Eiiïel. En changeant l'importance relative de ces dilT6rentes données, on transformerait coraplètement les résultais, ce qui démontre, ainsi que nous l'avons dit plus haut, que la détermination de la hauteur de l'arc est toujours une question d'espèce qui n'est pas susceptible d'une solution générale.

Peut-être pourrait-on critiquer, dans le pont de Porto, la diminution excessivement rapide de la hauteur de l'arc & partir de la clef. Ou aurait pu réduire dans une proportion considérable le travail dû au moment fléchissant entre les naissances et les reins, en attribuant dans cette partie de Touvrage une plus grande hauteur à l'arc. Cette amélioration eût élé réalisée sans dépense supplémentaire de métal, puisque, i

i<6 toii-ti uAiALUOttes

la réaction exercée sur le sommet d'appui. On y arrive à pea près en serrant d'abord, au moment du décintrcmcnt, les cales centrales des retombées. Puis on serre graducUemenl et simultanément les cales cxtrâmcs, en veillant à ce qu'elles supportent toujours des efforts égaux, ce que l'on vérifie en constatant qu'une même cause, par exemple le choc d'un marteau animé de la même impulsion, enfonce de la même quantité la cale supérieure et ta cale inférieure. On arrive ainsi très sensiblement à répartir également la pression entra les différentes cales : on est alors assuré que la résultante de ces efforts passe par le centre de gravité de la section d'appui, ce qui était le but à atteindre.

Dans les très grands ouvrages récemment exécutés en Europe, on n'a pas trouvé que ce procédé donnât des résultats suffisamment certains. On a en conséquence terminé l'arc par une articulation véritable (pont sur le Rhin, à Coblcnti; pont sur l'Erdre, près Nantes: chemin de fer de Nantes à Ch&teaubriand) {fig. 254) et on a, au moment du décïnlrement, laissé reposer l'arc sur cette articulation imiquc, da

ma. V. PONTS EN ARC. in,

façon à avoir la certitude complète que la résultante passait bien an point voulu. Après quoi l'on a ajouté des cales en acier supplémentaires entre les plaqties d'appui, en les serrant uniformément, mais très peu, de façon à lai5.(ier l'orLiculation supporter à peu près la totalité de l'elTort transmis par l'arc à k culée.

««. m. Xlombit. dei >rt. d. (o.l d> rirdr., prf, ii„t^

On a eu soin d'effectuer ce règlement de cales à une temp*. rature s'écartant peu de la température moyenne admise dan> les calculs. C'est une précaution très importante qu'il convient de ne pas négliger.

En opérant de la sorte, on a la certitude absolue que l'ouvrage se comporte comme un arc articulé aui naissances «01» rin/lumce de la charge permaneiue et à la lempératun moyenne. Le mode de calage des petits ouvrages donne un résultat analogue, dont l'exactitude est un peu moin» bien garantie.

Mais supposons l'opération parfaitement bien taila • si la ». j,

température change, Tare se déforme, et les formuleSy Tdatives à la déformation des arcs articulés aux naissances, mon* trent que la direction de Taxe longitudinal doit subir aux naissances un changement très sensible : c'est même, d*uae manière absolue, aux naissances que la section transversale subit le plus grand déplacement angulaire. Supposons d'autre part que, la température ayant peu varié, le pont soit soumis à Faction de la surcharge totale ou partielle : le même phén(>mène se présentera, comme la figure 239 le démontre suffisamment. Si les nais.sances sont réellement articulées, l'arc subira la déformation qui doit résulter des nouvelles conditions dans lesquelles il se trouve placé ; mais si rorientation de ses sections extrêmes est maintenue invariable au moyen de cales, ce qui est le cas le plus fréquent, il n'en pourra être de même et l'arc ne pourra plus prendre la forme indiquée par la théorie. Par conséquent, il ne sera plus assimilable à un arc articulé : ce sera en réalité un arc encastré aux naissances, et les calculs de stabilité, qui supposent l'articulation, ne lui seront plus applicables.

En résumé, avec le mode de calage aujourd'hui en usage, l'arc ne se comporte comme s'il était articulé aux naissances que lorsqu'il se trouve dans les mêmes conditions de charge et de température que lors de son décintrement. En toute autre circonstance l'hypothèse faite est inexacte, et le travail calculé par les formules habituelles est tout différent du travail effectif.

Ceci est évident à priori ; cependant il ne semble pas que jusqu'ici on en ait tenu compte dans le calcul des ponts en arc. On a admis sans discussion, sans preuve et, il nous semble, un peu à la légère, que l'effet de l'encastrement ne pouvait modifier bien profondément les conditions de stabilité de l'ouvrage et que le travail réel ne pouvait guère s'écarter du travail calculé dans l'hypothèse de l'articulation. M. Dupuy^ ingénieur en chef des Ponts et chaussées, s'est préoccupé le premier de mesurer directement sur les ouvrages métalliques le travail effectif du fer^ et de le comparer au travail théorique résultant des formules : nous avons indiqué précédemment les motifs des divergences qu'il a constatées dans les poutres droites. Il a fait des expériences analogues sur le pont eu arc

CHir. T. PONTS EN ARC.

de tAle de Pont-attx-Moines {Jig. 2S5), de 50 m ture, établi pour le chemin de fer d'Orléans à i des Ponts et Chaussées, i877, 2* semeslre, pa constaté des discordances très importantes qui Être attribuées à l'imperfection de l'instrumeni lui pour ce mesurage. Il semble (ju'à cette époq ait été tenté d'en chercher l'explication dans t'ei pans rigides (159), tout en ajournant ses cor nittves jusqu'après les expériences qu'il se proj sur le pont en arc de 95 mètres d'ouverture en sur l'Erdre {fig. 257).

Tlg. 153. Are ea fer de Pont-aui-HoiaM (ChBm[

Ces expériences ont été faites quelque temps i qu'exécutées avec beaucoup de soin et dans les plus variées, ont fourni des résultats concordai et avec ceux relatifs au Pont-aux-Moines. Le ta est extrait de l'ouvrage de M. Dupuy sur les [Annales des Ponts et Chaussées, 4879, 1" semest de comparer les valeurs théoriques et effectives métal dans différents cas de surcharge. Nous a' cftté le travail d6 à la charge permanente qi donné par les instruments, et résultait seulemi afin de mettre mieux en évidence la discordac entre l'effort réel mesuré et l'effort calculé dan de l'articulation. Les constatations expérimen Eûtes à la clef, aux reins et aux naissances. L< représentent le travail réel sont les moyennes fournis par les quatre arcs. Le travail à la con affecté du signe — \ l'unité est le kîlogramme.p oairé de section.

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fOHTS MÉ^lAIXtQUES.

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L'examen de ce tableau montre que le calcul est en plein désaccord avec Texpérience. Nous avons pris pour chaqae section de Tare la moyenne des résultats trouvés dans toates lesi expériences y afin d'éliminer le plus possible les irrégularités et les erreurs provenant de Timperfection des appareils, ou des circonstances accidentelles. Ces moyennes correspondent à une disposition particulière de la surcharge qui serait

complète sur j de Touverture, réduite à -r sur le quart suivant,

à ^ sur le troisième, et enfin à 7 sur la dernière portion.

Or, Ton voit immédiatement : i* que le moment fléchissant qui, pour un arc articulé, atteindrait son maximum au droit des reins, est, dans l'ouvrage tel qu'il a été exécuté, & peu près nul en ce point de Tare; 2'' que le moment fléchissant, qui devrait être nul aux naissances, y est au contraire maximum; 3"" enfin que l'effet produit à la clef par le moment fléchissant est plus considérable, mais de très peu, que ne l'indique le calcul.

Le seul énoncé de ces trois résultats d'expériences démontre d'une façon irrécusable que l'ouvrage se comporte comme un arc encastré à ses deux extrémités (172-180). M. Dupuy ne s'y est d'ailleurs pas trompé, car après avoir rapporté les résultats des expériences faites sur le PorU^ttx-Moines, il ajoutait que l'arc se comportait sensiblement comme une poutre droite supportée par deux contrefiches, ce qui revient exactement à ce que nous avons dit, et c'était intentionnellement, en vue de .retrouver les mêmes résultats pour le pont de l'Erdre, qu'il avait placé des cales aux retombées de ce dernier ouvrage.

Le tableau qui précède montre d'une manière évidente que pour un pont ainsi construit, les valeurs du travail données par les formules relatives aux arcs articulés n'ont aucun rapport avec le travail réel.

M. l'ingénieur en chef Dupuy, après avoir constaté cette anomalie, fait observer qu'il n'en peut résulter d'inconvénient sérieux, puisqu'en aucun point, le travail constaté ne dépasse la limite supérieure indiquée par le calcul, et qu'au contraire on reste partout sensiblement au-dessous. Nous ne partag^eons

ŒAP. V. PONTS Bl ARC.

pas complëtement cet avis. Les appareils employés da expériences que nous venons de rapporter avaient cei ment le àéf&ut <têlre paresseux, c'est-à-dire qu'ils ne si taieut en mouvement que lorsquo le métal avait déjà su certaine dilatation ou une certaine contraction, da sor les nombres obtenus devaient très probablement être rieurs à la réalité : l'erreur parait être variable d'un a[ à l'autre, et même elle doit avoir subi des changements expérience à la suivante, car M. Dupuy avait constaté l'es sensibilité de son instrument aux variations de la tempe extérieure, et 11 reconnaît que la moindre cause suffii rendre ses indications absolument erronées.

Du reste le tableau le prouve surabondamment, car p compression due à l'effort normal, qui s'obtient en prer demi-somme des valeurs du travail accusées pour le« semelles, l'expérience ne donne que des résultats man ment inexacts qui pèchent par insufRsance. Il semble i constante à ajouter aux indications de l'appareil, h celui-ci s'est mis en mouvement, est en moyenne d'ei 0^,3 par millimètre carré, ce qui conduit à reconnalti certains points de l'ouvrage, notamment la semelle infé au droit des naissances, supportent en réalité un effoi que double de celui indiqué par le calcul. Pour U de l'Ërdre, où la charge permanente est beaucoup plus i tante que la surcharge, et où l'arc a été établi dans des i tiens de stabilité 1res larges, cela peut être sans inconv sérieux : encore n'a-t-on pas fait entrer en ligne de c l'influence de la température, qui donnerait des réi analogues à la surcharge (169-171), et conduirait pet à des valeurs de travail peu acceptables. Pour des ou^ établis dans d'autres conditions, il pourrait en ètn autrement, et les indications fournies par le calcul ne mettraient d'exécuter un ouvrage parfaitement stabh la condition de l'articuler réellement à ses extrémiti calage aux appuis, en développant dans le voisinag naissances un travail de flexion extrêmement impo pourrait conduire à une rupture des semelles, et à la mi pont.

En conséquence, nous formulerons les conclusions si

M rr

421 PONTS MÉTALUQITKS.

tes : 1* lorsque Ton a calculé un arc avec extrémités articulées, il faut de toute nécessité laisser un jeu libre à ses articulations extrêmes, comme M. Eiffel Ta fait pour le pont de Porto sur le Douro^ sans quoi les calculs faits deviennent inapplicableb et Ton ne sait où Ton va ; 2^ ceci ne veut pas dire que le calage des plaques d'appui, tel qu'il est en usage aujourd'hui, constitue d'une manière générale une pratique défectueuse. Nous verrons plus loin qu'au contraire il présente des avantages sérieux, et pour notre part nous serions tenté de le trouver préférable au système des articulations libres. Mais si on choisit cette solution, il faut étudier l'arc en conséquence, et après avoir calculé le travail qu^il aura à supporter sous TmAuence de la charge permanente à la température moyenne, déterminer les efforts de la surcharge et de la dilatation en tenant compte de l'invariabilité d'orientation des naissances. On sera conduit en général à renforcer un peu la clef, bean- Goup les naissances, sauf à réduire sensiblement la section an droit des reins. En d'autres termes on aura à calculer un arc encastré aux naissances. Nous traiterons en détail ce nouveau problème dans la troisième partie du présent chapitre, où nous aurons à revenir sur cette question du calage des arcs après décintrement.

*! tt9« Tympans. — Le tablier d'un pont en arc est porté par un longeron horizontal, établi en général au niveau on un peu au-dessus de la clef de Tare* Le poids du longeron et de la surcharge est transmis directement à l'arc au droit de la clef; partout ailleurs cette transmission s'opère par les pièces du tympan qui occupent l'espace compris entre l'arc et le longeron. Comme les efforts à transmettre sont verticaux, il est naturel de composer les tympans de supports ou montants également verticaux, qui correspondent aux tiges de suspension des ponts suspendus. Le tablier et les tympans constituent ainsi une sorte de viaduc à plusieurs travées de faible ouverture, dont les piles reposent sur l'extrados de Tare.

Nous savons que l'arc subit, sous l'influence des surcharges roulantes et des variations de température, des déformations qui' se traduisent en chaque point par un abaissement ou un

CnAP.- V. PONTS V.S ARC. 425

relèvement du centre de gravité de la section transversale» et par un changement dans Forientation de celle-ci.

Les longerons du tablier ne sont soumis qu'à des phéno« mènes d'allongement ou de retrait, dus à Tinfluence des variations de température, qui se traduisent seulement par des déplacements horizontaux et longitudinaux.

Il résulte de cette discordance entre les mouvements de Tare et du longeron que la figure géométrique du tympan est modifiée, et que les pièces qui le constituent, obligées de se déformer pour suivre les déplacements du longeron et de TarC; subissent des flexions qui donnent lieu à un travail sup^ plémentaire du métal.

Ce phénomène se présente même dans les ponts en maçonnerie de grande portée : M. Cendre j ingénieur en chef des ponts et chaussées. Ta observé sur le pont en maçonnerie dit Pont'de-ClazXj de 46 mètres d'ouverture et 15", 70 de flèche, établi sur le torrent du Drac : l'arc en maçonnerie se relevant en été, par suite de l'élévation de la température, et s'abaissant en hiver, il s'est produit dans les tympans et dans le garde corps en pierre neuf fissures qui s'ouvrent en hiver et se ferment en été. Le phénomène est ici très apparent parce que la maçonnerie n'est pas susceptible de résister à un effort d'extension sans se rompre. Il en est de même, dans une certaine mesure, pour la fonte, et c'est vraisemblablement à cette cause qu'il faut attribuer les nombreuses ruptures que Ton a observées dans les pièces de contreventement et les pièces du tablier de plusieurs ponts en fonte, et qui ont conduit à employer le fer pour tous les éléments des ouvrages de cette espèce qui sont susceptibles de travailler à la tension par suite des déformations de l'arc : on a pu conserver les tympans en fonte en leur attribuant une solidité excessive, puisqu'en général les tympans des ponts en fonte sont constitués de cadres massifs, dont les vides ne présentent guère plus de surface que les pleins. Dans ces ouvrages, comme dans les ponts en fer, le phénomène, pour n'être pas apparent, n'en existe pas moins, mais au lieu de se traduire par des ruptures, 11 no donne lieu qu'à des tensions ou des pressions supplémentaires» dont il ronvicnt de- se préoccuper lorsqu'il s'agit de ponts de grande portée.

"^wi-^fRr^

4S6 PONTS MÉTALLIQUESt

Tont ce que nous avons dit précédemment suppose, Uen ^ : entendu, que les montants des tympans sont reliés invariable-

ment au longeron et à l'arc au moyen d'assemblages rigides. [ Considérons un montant MN encastré à ses deux extrémités

sur l'arc AA' et sur le longeron LL' {fig. 256).

Supposons que, par l'effet d'une surcharge et d'un changement de température, le point M de l'arc subisse un déplacement vertical $y, et qu'en même temps la section transversale de l'arc en M subisse un déplacement angulaire égal à $0. Enfin admettons que le point N du longeron se soit déplacé horizontalement par rapport au point M de la quantité ^x.

Nous savons calculer Sô et Zy au moyen des formules de la déformation des arcs dont nous avons indiqué précédemment l'usage (lSO-151). Sa?, déplacement du point N, est tout simplement l'allongement ou la contraction subie par la portion de longeron comprise entre N et la clef, sous l'influence de la température, dont il y a lieu de déduire, le cas échéant, le déplacement horizontal subi dans le même sens par le point M de l'arc, que Ton sait également calculer par la formule 5 du n"^ 151. Il s'agit d'évaluer le travail développé dans le montant MN par suite des mouvements subis par ses extrémités. Nous avons étudié cette question dans une note insérée dans les Annales des Ponts et Chaussées (1882, 1** semestre). Nous nous bornerons à énoncer les résultats auxquels nous sommes arrivés, la méthode employée n'offrant rien de particulier ni d'intéressant. . , Soit h la hauteur du montant et e sa

— .-^.^.—z: largeur horizontale dans le plan du tympan. Remarquons d'abord que le déplacement vertical ty de la base M du montant, effectué dans la direction même de l'axe de cette pièce, ne donne lieu à aucun travail de flexion. Il en est autrement du déplacement horizontal ix et du dé- Eig. «8. placement angulaire 20 : le travail à

la flexion développé dans le montant présente deux mazima, .l^m en M, au point d'attache sur l'arc, l'autre en N» an pont d'attache sur le longeron.

Ces deux maxima ont les valeurs suivantes :

CHAP. T. PONTS EN AltC. 427

Travail maximum en N : R = -rr (Sîa: — AM).

Ee Travail maximum en M : R' = -^ (2 A56 — SBx).

E est le coefficient d'élasticité du métal.

Ces formules sont d'une application facile, si Ton a au préalable calculé 50 et ^x. Les valeurs de R et de R' atteignent évideomient leurs limites supérieures pour le montant où ^Xy ^ et A présentent ensemble leurs valeurs maxima, c'est-à-dire pour le montant le plus éloigné de la clef et le plus voisin des naissances. On pourra donc se borner à vé« rifier pour cet unique montant que R et R' ne dépassent pas les limites admises pour le travail du métal.

En appliquant ces formules à un ouvrage de 60 mètres de portée et de 6 mètres de flèche, avec des montants de C,32 de largeur seulement, nous avons constaté que, dans les conditions les plus défavorables de surcharge et de température, le travail supplémentaire développé dans le montant le plus voisin des naissances pouvait atteindre à la partie supérieure 5^,78 et à la partie inférieure 5*^,60 par millimètre carré. Ces chiffres étaient véritablement excessifs et il convenait de les réduire en modifiant la disposition de l'ouvrage.

On peut remédier à l'inconvénient signalé par les procédés suivants :

1** On peu^ relier le montant à l'arc et au longeron au moyen d'articulations placées en M et en N. Il est évident que toute flexion disparaît. L'inconvénient de cette méthode est de diminuer la solidarité qui doit exister entre l'arc et le tablier. Toutefois il y a toujours liaison intime à la clef, et d'ailleurs le tablier est maintenu à ses extrémités par les culées.

2*" On peut articuler le montant avec le longeron en N, en maintenant l'encastrement sur l'arc.

On a alors en N :

R = o, etenM: R'=||^(Asa-8x).

Dans le cas particulier étudié par nous, l'avantage réalisé

*m^fmi'

(28 PONTS MÉTALUQUES.

par cette disposition était nul : le maximum de R' correspondait à un état différent de l'ouvrage, mais il atteignait à peu près la même valeur,

S"" On peut articuler le montant avec i'aro en M, en maintenant l'encastrement avec le longeron.

On a alors en N :

et en M :

La valeur de R est indépendante de SO, ce qui était évident à priori. L'amélioration est sensible. Dans ce cas particulier nous avons trouvé que la limite supérieure de R ne dépassait plus 3^ par millimètre carré, chiffre acceptable. Nous avons en conséquence admis la disposition dont il s'agit.

4* Le procédé le plus simple et le plus pratique consiste i réduire la largeur en élévation e du montant. Eii donnant aux montants de notre pont 0^^,16 de largeur au lieu de 0,32, nous aurions obtenu une diminution dans le travail i, la flexion plus sensible que celle donnée par l'articulation, et nous n'aurions pas eu besoin de renoncer à l'encastrement avec l'arc.

L'on pourrait se préoccuper des résultats fâcheux que peut amener la réduction de largeur pour une pièce comme le montant, qui est destiné à subir un effort de compression puisqu'il porte le tablier. Mais remarquons que nous disposons absolument de la dimension du montant perpendiculaire au plan du tympan, et que, par conséquent, nous pouvons augmenter à volonté l'aire de sa section transversale, de façon à ramener le travail maximum à la compression, à la limite compatible avec sa largeur en élévation.

Dans le cas particulier que nous avons cité^ on avait A =? 5'> et le travail à la compression avait pour maximum i\l par coivséquent une largeur de 0"',16 seulement aurait été acceptable, même sans augmentation dans l'aire de la sec* tion transversale.

Dans un grand nombre de ponts en fonte ou en fer. les tympans sont constitués par des pièces présentant une grande largeur en élévation et une très petite épaisseur perpendi-

culairement au plan du tympan : cette disposition « on lavoiti est en contradiction absolue avec les principes que nous venons d'énoncer. Au lieu do faire reposer le tablier sur l'arc par rintermédiairc de fermes longitudinales très minces établies chacune sur tout le développement d'un arc, il convient de Tappuyer sur une série de piles très étroites en élévation, placée transversalement aux arcs et présentant dans le sens perpendiculaire au tympan une longueur égale à la largeur du tablier lui-même. C'est la disposition adoptée par les Américains pour le pont de Saint-Louis sur le Mississipi, et nous croyons qu'il convient de ne pas s'en écarter. Dans le pont sur le Douro, SI. Eiffel a réduit le tympan à un seul montant ou plutôt à une pile placée au quart de l'ouverture^ et non aux naissances, ce qui réduisait de moitié la valeur maximum de SQ ; il Ta reliée au longeron par l'intermédiaire d'une articulation {jig, 211).

Le rapport -r- est assez faible': 2 = 0,45.

Dans ces conditions on peut prévoir que le travail déve* loppé dans la pile par les déformations du tablier et du tympan est peu important. M. Eiffel ne fournit d'ailleurs à cet égard aucune justification.

Il arrive parfois que le tablier est établi au niveau de la corde de Tare, auquel il est relié par des tiges de suspension : en pareil cas, les tiges sont nécessairement articulées avec Tare. Ce système est économique. Il a l'inconvénient de donner une trop grande mobilité au tablier qui n'est plus retenu par sa liaison avec la clef de l'arc. Ce type se prête aussi très mal au contreventement qui est restreint aux arcs et n'embrasse pas les tympans, comme dans la disposition dont nous avons d'abord parlé.

De plus, il nécessite la suppression du contreventement dans le voisinage des naissances, où il est nécessaire de relier les arcs entre eux par des portails, comme on le fait pour les poutres droites. On peut améliorer un peu le système de la suspension du tablier en le composant de tiges inclinées à 45* dans le plan de l'arc, qui forment une sorte de treillis reliant chaque point du tablier à deuic points de Farc assez

430 MNTS MéTALUQimS.

éloignés l'un do l'autre : ce mode de suspension a été imaginé par MM. Cadiat et Oudry pour les ponts suspendus. Nous ne savons s'il a été appliqué.

Enfin on peut placer le tablier à mi-hauteur de la clef {fig. 207) : c'est la disposition la plus économique puisque la surface comprise entre le tablier et l'arc est réduite au minimum. Le tablier est maintenu par sa liaison avec l'aro aux points où il le rencontre, c'est-à-dire aux reins : il est suspendu entre les reins et la clef. Dans ce type d'ouvrage le contreventement des arcs est très défectueux pour la partie située entre les reins et la clef, puisqu'il doit être entièrement supprimé au moins jusqu'à une certaine distance des reins, afin de laisser le passage libre entre les arcs aux véhicules qui circulent sur le pont. Ce genre d'ouvrage, d'ailleurs peu * usité, ne conviendrait donc guère pour les grands ponts de chemins de fer.

JlSO. Tympans rifft<ie«* — Nous n'avons jusqu'ici considéré les tympans que comme un élément accessoire, servant d'intermédiaire obligé pour transmettre à l'arc le poids du tablier et de la surcharge. A ce point de vue la disposition la plus rationnelle consiste à employer une série de montants ou supports verticaux soutenant le tablier de distance en distance. On dispose souvent tout autrement cette portion du pont, que l*on établit sur le modèle de l'&me d'un pont à poutre droite. Les tympans sont alors constitués soit par une triangulation simple ou double des systèmes Pratt, Howe ou Warren, soit par une âme pleine ou percée d'ouvertures circulaires qui ne diminuent pas sensiblement sa résistance, soit par des montants séparés par des croix de Saint- André, soit par des treillis à petites mailles.

On transforme de cette manière l'ouvrage en une sorte de ferme ou poutre de forme compliquée, dont la semelle inférieure curviligne est constituée par l'arc, la semelle supérieure rectiligne par le longeron du tablier, et Fàme, qui disparaît à la clef, par les tympans.

Cette disposition n'est acceptable qu'à la condition d'en tenir compte dans le calcul du pont, et d'appliquer les formules à la ferme telle qu'elle doit être exécutée. Il serait

CHAP. V. POIHtÈ Êf< AftC. 431

inadmissible qu'après avoir étudié un arc on lui adjoignit des tjnnpans rigides, en supposant sans vérification qu'ils ne peuvent que lui donnor un surcroit de résistance, et augmenter par conséquent la sécurité. Supposons en effet qu'a* près avoir calculé rigoureusement un arc, de façon que le travail maximum àù, à la charge, la surcharge et les écarts de température, atteigne en toutes les sections la limite de 6^ par millimètre carré, on lui ajoute des tympans rigides : on diminuera sensiblement le travail au droit des reins, qui tombera, si l'on veut, à 4^ par millimètre carré. Mais comme l'adjonction des tympans rigides a pour conséquence de diminuer la poussée due à la charge et à la surcharge, et d'augmenter celle due à la température, il est facile de reconnaître qu'il en résultera un accroissement du moment fléchissant maximum à la clef. Gomme la section transversale n'est pas renforcée à la clef par les tympans, le travail du métal y sera donc accru et porté de 6^ à 7^. La nouvelle disposition sera ainsi plus défectueuse que celle qui eût consisté à employer des t}anpans sans rigidité, puisque l'on aura détruit l'uniformité qui existait entre les différentes parties de l'ouvrage au point de vue de la valeur du travail maximum, et que l'on aura en définitive augmenté, au delà de la Umite précédemment admise, l'effort développé à la clef. Pour que l'emploi du tympan fût justifié, il eût fallu que, d'après les calculs relatifs à l'arc seul, le travail du métal fût de 5*^ à la clef et de 8^ aux reins : dans ce cas l'emploi de tympans rigides, ramenant ces deux efforts à la valeur uniforme de 6^, serait parfaitement justifié. Gela revient à ce que nous disions précédemment : il faut, dans le calcul des arcs à tjonpans rigides, tenir compte de leur conformation et calculer non pas l'arc seul, mais la ferme composée de l'arc, des longerons et des tympans. Si Ton a un arc établi de façon à supporter à lui seul la surcharge dans de bonnes conditions, c'est-à-dire avec une valeur du travail maximum à peu près uniforme d'une extrémité à l'autre, c'est l'affaiblir que le relier au tablier au moyen de tympans rigides.

Le calcul de la ferme se fait d'ailleurs sans difficultéy soit par la méthode relative aux arcs circulaires de forme variable^ soit par la méthode applicable aux arcs quelconques* D'haU-

PONTS MÉTAUJQOES.

Fig. 259.

tude on prend la section transversale de l'ouvrage dans une dircclion verticale, au lieu de la prendre normale à l'axe longitudinal de la ferme. L'erreur commise est peu importante

si Tare est très surbaissé. Le calcul du moment d^inertîe ne présente nulle difficulté : d'habitude la section est dissymétrique, l'arc étant plus pesant que le longeron, et le centre de gravité est placé beaucoup plus près du centre de gravité de l'arc que de celui du longeron (fig. 259).

Ce type d'ouvrage est-il bien conçu et convient-il d'en recommander l'emploi? C'est ce que nous allons examiner.

1* Considérons tout d'abord les arcs à demi encastrés

[fig. 257), c'est-à-dire ceux dans ^ lesquels l'articulation n'est réalisée que pour la charge, tandis qu'il y a encastrement pour la dilatation et la surcharge : nous avons vu que c'est ainsi que sont établis tous les arcs de petite et moyenne ouverture, et la presque tota- "«• ^^- lité des grands ponts {fig. 260).

La section d'encastrement, où se manifeste le moment fléchissant maximum, est réduite à 1} section transversale de Tare AB. Il est vrai qu'à une faible distance il semble que la section s'augmente brusquement par l'adjonction du longeron, et devienne CDE. Mais, ainsi que nous Pavons dit dans le premier chapitre du présent ouvrage (1), les formules de la résistance des matériaux supposent toujours que la section transversale de la pièce étudiée varie (Tune manière lente et progressive ; dans tous les cas où cette condition n'est pas réalisée, les formules ne sont plus exactes. Cette restriction est évidemment applicable à l'ouvrage que nous étudions en ce moment : Feffort de flexion, concentré en A dans la section d'encastrement de l'arc AB, ne se répartit pas immédiatement en G entre l'arc CD et le longeron E* L'effort transmis

au longeron est insignifiant et le travail reste concentré dans Tare lui-même. Au fur et à mesure que Ton s'éloigne de Texlrémité AB, le longeron, relié à Tare par le t3nmpan rigide, prend une part de plus en plus grande dans le travail à la flexion, et on peut admettre que, au droit des reins, la section totale de la ferme est utilisée pour la résistance au moment fléchissant.

Nous venons ainsi de montrer : 1* que Tinfluence du longeron et du tympan rigide est nulle aux naissances, où le moment fléchissant atteint son maximum; 2"* que cette influence est réelle et complète aux reins, où le moment fléchissant atteint son minimum (171). D'ailleurs le tympan disparait à la clef où le moment fléchissant atteint un nouveau maximum. Que dire d'une disposition qui ne renforce Tare que dans la partie où il n'en a présentement aucun besoin, c'est-à-dire au droit des reins, et qui n'a aucune efficacité là où le travail est considérable, c'est-à-dire aux nais- 5 sances et à la clef? Qu'elle est inutile et doit être condamnée : . ï telle est la conclusion que nous tirons de cet examen

Notre critique tomberait à faux, s'il était possible de faire participer le longeron au travail à la flexion de l'ouvrage, au droit de la section d'encastrement : comme c'est en ce point que se manifeste le maximum absolu du moment fléchissant, bien supérieur au maximum relatif développé à la clef, un mode de construction, qui conduirait à attribuer en ce point à la ferme son moment d'inertie maximum, serait des plus satisfaisants. Les auteurs du pont d'Arcole, MM. Oudry et Cadiat, ainsi que M. Cézanne^ l'auteur du pont de Szcgedin sur la Thciss, ont réalisé d'une manière eflfeclivc cet encas- * trament complet à la naissance en reliant le longeron à des tirants noyés dans la maçonnerie, de façon à lui pormoUro de travailler à l'extension au droit des retombé'^s. Nous étudierons plus loinice système d'ouvrage qui rentre dans la catégorie des arcs encastrés aux naissances ; nous verrons que l'avantage réalisé par l'encastremenf aux naissances est compensé par des défauts très graves, qui doivent faire rejeter ce type (175).

2''€onsidéronshun arc à articulations efTeclives et complètes ; ainsi que nous l'avons dit précédemment (157), nous n'en a. 28

434 ^ONTS MÉTALLIQUES.

connaissons que deux exemples. Ici le renforcement de Tare, au moyen des tympans et du longeron, est parfaitement justifié aux reins, puisque c'est en ce point que se manifeste le maximum du travail à la flexion. Mais au droit des naissances, c'est-à-dire dans la partie où le tympan a le plus d'importance, il est sans efficacité et sans utilité. D'autre part la section de Tare est rendue dissymétrique, car, en donnant au longeron une section égale à celle de Farc, on aurait un ouvrage mal conçu et mal disposé, où Taxe longitudinal, qui doit passer par l'articulation, décrirait une courbe bizarre et défectueuse. Cette forme dissymétrique de la section est mal combinée pour donner même valeur au travail maximum à l'extrados et à rintrados.

En définitive, en remplaçant les tympans rigides par des tympans ordinaires et reportant sur les reins de l'arc le poids du métal ainsi économisé sur les tympaus et les longerons, on arrivera toujours à obtenir, sans augmentation de dépense, un ouvrage se comportant tout aussi bien, sinon mieux, sous l'influence de la dilatation et de la surcharge. Nous croyons pouvoir mémo affirmer que l'emploi des tympans rigides donnera toujours, à égalité de travail maximum, un ouvrage sensiblement plus pesant. C'est ce dont on peut s'assurer en examinant le tableau placé à la fia du présent chapitre.

En résumé nous estimons que le système des tympans rigides est à roj^^tor comme absolument inutile et inefficace, toutes les fois qu'il s'agit d'un arc encastré aux naissances; et que dans les cas très rares où les articulations sont effec- ^tives et complètes, ce système, sans être précisément condamnable, n'offre, au point de vue de la stabilité ou de Téconomie, aucun avantage marqué, qui soit de nature à en faire recommander remploi.

Les remarques et les conclusions qui précèdent ne s'appHquents qu'aux ponts de grande ouverture. Pour les petites portées, inférieures à 30 mètres, le système des tympans rigides ne saurait être plus coûteux : il n'oblige pas à renforcer les longerons, et d'autre part les tympans ne représentent qu une fraction peu importante du poids total.

m. — ABCS ENCASTRÉS AUX NAISSANCES.

seo o^n^raiité^i. — Considérons un arc ASA^ encastré sur les culées à ses deux extrémités A et A' : par suite de cet encastrement, la résultante des actions exercées par l'arc sur la culée n'est plus assujettie à passer par le centre de gravité de la section extrême, comme dans le cas traité dans les paragraphes qui précèdent.

Le moment fléchissant n'est donc plus nul aux points A et A^ et par conséquent la courbe des pressions BDB' ne passe pas par ces points. Nous avons défini précédemment la courba Kg- 261. des pressions, qui est le lieu du

point de rencontre d'une section transversale quelconque de l'arc et de la résultante des forces extérieures appliquées à la portion d'arc comprise entre ladite section et l'une des extrémités A ou A' de l'ouvrage (127).

L'étude des conditions de stabilité d'un arc encastré aux naissances est, on le voit, un problème plus compliqué que celui que nous venons de traiter : en effet, dans un arc articulé aux naissances, on connaît deux points de la courbe des pressions, à savoir les articulations A et A', tandis que dans le cas actuel, il faut pour pouvoir tracer cette courbe, non seulement calculer la poussée, comme précédemment, mais encore déterminer un point de ladite courbe, qui sera par exemple le point B où elle coupe l'ordonnée verticale de l'extrémité A de l'axe longitudinal de l'arc.

Un pareil problème peut paraître ardu, et en général il n'a guère été abordé par les ingénieurs qui, alors même qu'ils se proposaient d'établir des arcs encastrés aux naissances^ se bornaient à en faire le calcul dans l'hypothèse où les nais* sances auraient été articulées. Nous ne connaissons qu'un exemple où les calculs aient été faits exactement, en tenant compte de Tinvariabilité d'orientation des sections extrêmes :

c'est celui du pont de Sami-Louis, de 158", 50 d'ouverture et 14", 24 de flèche, récemment construit en Amérique. A en juger par les renseignements fournis à ce sujet par M. Tlngénieur en chef Lavoinne {Annales des Ponts et Chaussées y 1877, 2° semestre, page 63)^ on n'aurait pas suivi dans la marche des calculs une méthode commode, bien que le problème fut simplifié par celte circonstance qu'il s'agissait d'un arc circulaire de hauteur constante.

En effet, pour déterminer les réactions des arcs sur les deux culées, représentées par les composantes verticales et horizontales des résultantes et les moments fléchissants, on n'aurait pas eu moins de 27 équations différentielles du 1" degré à 27 inconnues à résoudre simultanément pour chaque cas de surcharge considérée.

Une pareille perspective effrayerait les plus courageux, surtout s'il s'agissait, comme dans le cas du pont de Saint-Louis, de répéter la même opération pour dix hypothèses différentes sur le mode de répartition de la surcharge. Mais le défaut de cette méthode consistait dans la multiplicité des inconnues que Ton calculait simultanément, tandis qu'il suffît en réalité d'en déterminer deux dans le cas d'une surcharge symétrique, pour être à même de calculer immédiatement par les procédés habituels le travail maximum développé dans une section quelconque de l'arc.

Nous allons d'abord exposer la méthode générale à sui\Te dans le cas d'un arc quelconque, supposé symétrique par rapport à la verticale qui passe par le milieu de l'ouverture, et montrer que le calcul d'un pareil ouvrage n'est pas sensiblement plus long et plus pénible que celui d'un arc articulé aux naissances, auquel on appliquerait la méthode des n" 147 et 148. Nous ferons ensuite l'application de ces formules générales au cas particulier des arcs circulaires*

CHAP. V. PO.NTS EN AUC.