CALCUL DKS ARCS DE Ï-ORME QUELCONQUE
ï«l. l-''oratale>« B«néa-ale«*. — Rppoi'tons-noui ailX formules générales, relatives à la défonimlion Jes pièces courbes, données aun" 145.
Ces formules sont les suivantes :
X (j, — x)ds
Td;/
Fig. 262.
Nous allons nous en servir pour déterminer dans uu état quelconque de l'arc, défini par sa charge, sa surcharge et l'écart de sa température par ^ rapport à la température moyenne, la poussée horizon- ^ talc qu'il exerce sur ses points d'appui, et le moment fléchissant développé dans l'une des BectioDS extrêmes, la section A : ce moment fléchissant est éji^al, on le sait, au produit de la poussée Q par la distance verticale AB du point A à la courbe des pressions de l'arc. Ce dernier problfeme revient donc à chercher l'ordonnée AB ^ z de la courbe des pressions correspondant à l'abscisse AO = + a.
Nous supposons que l'ordonnée z sera comptée positivement au-dessous de A, c'est-à-dire dans la direction des y négatifs.
Nous conserverons les notations adoptées au n* 147
438 PONTS BCÉTALUQUBS.
Comme nous l'avons fait précédemment, nous diviserons le moment fléchissant X développé dans une section transversale de Tare, définie par les coordonnées xei y de son centre de gravité, en deux parties : 1** le moment fléchissant X' dû aux forces verticales appliquées à Tare; 2"* le moment fléchissant dû à la poussée, lequel est donné pour une section quelconque H {x,y] de Tare par l'expression Q {z -]- y), z + y étant la distance verticale du point M au point d'application de la poussée sur la section extrême A de l'arc
On a donc : X = X' — Q (z -f- y).
Rappelons encore que, ainsi que nous Tavons fait voir
Cx l^dx précédemment, l'intégrale définie i * ^rrr peut être rcmpla-
JX^ £A i*
cée sans erreur appréciable par l'intégrale équivalente fx^ Qds
Remarquons à présent que, par suite de rencastrement de l'arc en A et en A', les valeurs de Sa?, Sy et So sont toujours nulles pour ces deux points. D'autre part, en vertu de la symétrie de l'arc par rapport à la droite Oy, la section transversale de la clef S reste verticale toutes les fois que l'arc se déforme sous Taclion de la température, ou d'une surcharge également symétrique par rapport à la verticale Oy.
Ce sont les cas que nous allons d'abord étudier.
4S9. OaM d'une dilatation ou d'une supcliargo
symé^tpiciue. — Si l'arc est soumis à la fois à l'influence d'une élévation de température t, et à l'action d'une surcharge disposée symétriquement par rapport à la verticale OS, l'orientation de la section transversale S ne changera pas, et son centre de gravité restera sur la verticale Oy {/iff, 262).
Appliquons à ce cas les formules générales (1) et (3) du n^ 161 en prenant pour limites des intégrales définies coordonnées des points S et A.
Nous avons évidemment :
pour le point S : Xo=o, y,=b, ^x^=o, ^\=:o ; et pour le point A : x^=a, y^^=o, Xa:,=o, ^y^^=o^ l^==o.
Les formules à appliquer deviennent donc, en appelant Lia demi-longueur SA de Taxe longitudinal de l'arc :
ri, \as JO El
Remplaçons X et Fdx par leurs valeurs énoncées à l'article prfcédent :
et
Nous pouvons faire sortir du signe / des diverses intégrales délinics conlenui;s dans cor é'juationa les inconnues Q et s, et nous arrivons ea déHuitive aux deux relations qui Buivent :
Ces deux équations ne contiennent que deux inconnues Q et s, puisque la surcharge et la dilatalion sont supposées connues. Il est donc facile de les résouilre. Remarquons d'ailleurs qu'un certain nombre d'intégrales définies sont indépendantes de ia surcharge et peuvent être déterminées une fois pour toutes, d'après la forme de l'arc, par la méthode de quadrature exposée au n' 147. Ces intégrales,, que nous dé-' signerons par des lettres, sont les suivantes :
a. yd.
lo
Supposons ces inlégra'i-'s connues et résolvons par rapport i Q et z les équations précédentes, en chassant le facteur
=~ <îui figure dans tou'Ais les intégrales *
ds
440 PONTS MÉTALUQUES.
On peut en déduire la valeur du moment fléchissant — Qz développé dans la section d'encastrement A ;
(") -«■ '' HiN+y-M- ^
Admettons que Ton ait calculé les valeurs numériques des intégrales définies J, H, M et N relatives à l'arc étudié, et proposons-nous de déterminer les effets produits par la température, la charge et la surcharge considérées isolément.
1** Poussée due à la dilatation.
Si nous faisons abstraction de la charge et de la surcharge, nous trouvons simplement :
^ M. Eaa^
z est négatif : le point B est situé au-dessus de la corde AA' de Tare. La courbe des pressions se réduit à une droite horizon-
taie qui a pour ordonnée n- (/î^.263).
Les points C et C% oii elle rencontre Vaxc longitudinal de
Tare, séparent la partie con-
— -^"^^— -?r traie de Tare, où le moment
i/^ I \*, fléchissant dû à la dilatation
est négatif, des extrémités, oh ^^' ^^^* le moment fléchissant est po-
sitif. En C et C'Je moment fléchissant est nul : il atteint son
CnAP. y. PONTS EN ÂRG.
maximum négatif à la clef en S, et son maximum positif aux naissances A et A'.
2"* Poussée due à la charge permanente 2 pa répartie um^ formément suivant la corde A A',
La composante verticale de la réaction exercée sur la culée est évidemment égale à pa. Le moment fléchissant X' développé par les forces verticales dans une section quelconque M {x.y) est fourni par la relalion :
d'où
— x') ds
Jo i -^^^Jo 1
— x') yds
rL\'yds\ /•L(a^-£^
Jo I -^^jo I
Ces deux intégrales définies ne contiennent pas d'inconnue et ne dépendent que de la forme de Tare. Il n'est pas difficile
de les calculer par quadrature. Désignons la première par -^
^ U et la seconde par ^ p W. Nous trouvons :
0=1 HW— MU 2Ph(N + J) — M*'
y(N+J)U — MW i P L^^^ HW — MU 2Q ' H H '
n. — ^A^(N + J)U-MW ^ U M^
"^ - 2^ H(N + .I --M*=-" iPn + ir^-
z est positif et indépendant de la charge p. Le moment fléchissant est négatif en A, passe par zéro au droit de la section C
située dans le voisinage des reins de Tare, devient positif et atteint son maximum à la clef S. La courbe des pressions est une parabole à axe vertical qui coupe Taxe longitudinal de l'arc on C et C (ficj, 2Gi).
Fîg. 264.
3* Poissée due à une surcharge symétrique.
FigrS65.
{fig. 265).
Nous considérerons uniquement le cas (lo deux poids égaux w placés symétriquement, de part et d*autre de la clef, à une distance n de la verticale OS. Soient N et NMciirs points d'application sur Tare
De A à N on a et de N à S on a
X'=it(a — n).
Les intégrales définies qui contiennent la variable X' se composent donc de deux parties à calculer séparément :
/"L \'ds Hx = n) -KJa — n) j , TL it{a — x) ,
Jo ~r-Jo î "*+>=,.) f— *'
Jo — — Jo — î — '^+J(x=«)— r-^*-
On peut les écrire ainsi qu'il suit :
Jo -r="(«-")> W+-J(x = „)-H*'
On peut calculer ces intégrales détinics avec d'autanl plus de facilité que ce sont des fractions des quati e intégrales
> T' Jo T' Jo —1—* «t j^ — j— *,
dont les deux premières ont déjà été calculées : si Ton a opéré par quadrature, il suffit de prendre dans le tableau, où l'on a porté les valeurs des éléments de chaque intégrale, les nombres correspondant à la portion d'arc comprise entre les limites de l'intégrale partielle et en faire la somme.
Cela fait, on obtiendra Q, z et — Q5 à l'aide des formules précédentes 9, 40 et 11.
Dans le cas d'une surcharge quelconque symétrique par rapport à la clef, le problème ne serait pas plus difficile : on sait toujours, on p^innl cas, calculer pour une section quelconque la valeur de X', (jui est égale au moment fléchissaDt développé dans une poutre droite de longueur 2a appuy^^ ^
ses deux extrémités A et A' et soumise à la même surcharge que l'arc. La quadrature des intégrales définies qui conlionlicnt X' se fait donc sans difficulté puisque l'on connaît pour chaque section X', I et y.
Supposons l'arc soumis à une surcharge dispt^ée d'une manière absolument quelconque : alors la section transversale de la clef ne demeure plus verticale pendant la déformation, et son centre de gravité S subit un déplacement horizontal dx. La méthode précédente n'est plus applicable.
D'autre part, le problème se complique parce que Ton ne connaît plus a priori la valeur de la composante verticale T d*»
Faction exercée par Tare sur la culée A, composante qui dans le cas précédent était, en vertu de la symétrie, égale à la moitié de la surcharge. Il faudrait trouver la valeur de cette réaction T pour pouvoir •• ig- 266. calculer le moment fléchissant
X' produit dans une section transversale quelconque par les forces verticales appliquées & Tare.
Soit M (.r.y) un point quelconque de Taxe longitudinal. La valeur du moment fléchissant X' développé par les forces verticales appliquées à l'arc peut se diviser en deux parties :
1^ Le moment dû à la réaction inconnue T, qui est T {a-x); 2** Le moment dû aux poids, composant la surcharge, qui sont appliqués à Tare entre les points A et M. Ce moment que nous désignerons par X" est aisé à calculer : ce serait le moment fléchissant développé dans une poutre droite de longueur 2a, encastrée en A', et libre à son extrémité opposée A, qui serait soumise à la même surcharge que l'arc.
Reportons-nous maintenant aux formules générales du n* i6{ et appliquons les formules 1, 3 et 4 à l'arc tout entier, depuis l'extrémité A' jusqu'à Textrémité A. Nous avons évidemment, puisque les sections A et A' de l'arc sont invariables ;
444 PONTS BIÉTALLIQUES.
pour A':a:,= — a, y,=o, Sj:,=o, 5y,=o, ^^,=0; pour A :x,=a, yi==o, Sx,=o, Syt=^> So,=o.
Remarquons d'ailleurs que l'intégrale définie 1 ^^ -grr- est
nécessairement nulle entre les limites choisies : y^'=yt=o. D'où :
+ LXds L El "*"°'
+ L X (a — a:) , L - El
Supprimons le facteur commun =; et remplaçons dans les
équations X par sa valeur :
Faisons sortir les inconnues T, Q et z du signe / de toutes les intégrales où elles figurent; nous avons en définitive les équations qui suivent :
Rien n'est plus aisé que de résoudre ces trois équations à trois inconnues Q, T et z. Toutes les intégrales définies qui figurent dans le calcul peuvent être déterminées par quadrature : sauf la première de chaque équation qui est fonction de la surcharge, elles ne dépendent que de la forme de Tare. Nous avons vu précédemment comment on peut calculer X'.
Ces intégrales sont au nombre de dix, dont quelques-unes ont déjà figuré dans l'article précédent. En effet, vu la symétrie de Tare par rapport à la verticale Oy, on a :
CHAP. V. P0ST5 EN AlIC.
r+hydt J-L 1
D'une manière générale, toute intégrale, indépendante de X", qui est prise entre hs limites — L et + L ost égale, soit au double de la même intégrale prise entre les limites 0 et L, soit à zéro si sa dilTércnticlIc change de signe, quand x passe par
zéro, ce qui est le cas de l'intégrale j ït^-
poid» isoiô. — Examinons le cas d'un poids isolé t dont le point d'application N est dijRni par son abcissc n, qui est positive ou négative suivant que le peids est appliqué à droite ou h gauche de la clef S (/tff. 267).
On voit qucX" est nul entre les points A et N, et qufi,
Fig. 267.
entre N et A' il est donné par la formule : X' = ic {n-x).
Les intégrales définies qui contiennent le facteur X' peuvent alors s'écrire :
r+LX'ds r[x:=n)di
r+LXVî „ r{x = n)yd j-L 1 - j-L I
Hx = n) xds
(•{x = n) xyds "V-L I
n) {a^x)ds r{x=n) {a-
Toutes les intégrales définies qui figurent dans les seconds membres do ws équations sont des fractions des intégrales définies déjà rencontrées dans les équations (4), (5) et (6) précédentes.
On n'a donc pas à faire de nouvelles recherches, et l'oa peut se servir des calculs numériques déjà effectués. Remarquous encore que par suite de la symétrie de l'arc, on a l'éga-
lilé M^~^^ = L + L " ' ; en conséquence, on peut
toujours se borner à calculer les intégrales définies entre les limites 0 et L.
m os. IMEapehe fir^n^rale de» calculai. — En résumé,
pour déterminer la poussée Q et le moment fléchissant — Q^, développés dans la section d'encastrement A d'un arc encastré quelconque symétrique par rapport à la verticale qui passe au milieu de l'ouverture, il convient de suivre la marche suivante :
i"" Dans le cas d'une dilatation simple, on doit calculer quatre intégrales définies qui ne dépendent que de la forme de Tare, savoir :
Jo û' Jo T jo T- '' Jo V
2* Dans le cas de la charge permanente ou de la surcharge complète, on doit calculer en outre les intégrales définies :
/•L(a*-x*) . , ÇL (g* - x*) .
qui ne dépendent que de la forme de l'arc.
3^ Dans le cas d'une surcharge symétrique par rapport à la clef, si l'on représente par X' le moment fléchissant que la surcharge déterminerait dans une poutre droite simplement appuyée de même ouverture 2a que l'arc étudié, les deui intégrales nouvelles à calculer sont :
Jo — «^ Jo -7-
S'il s'agît de deux poids isolés, on n'a qu'à calculer les
nouvelles intégrales / — j — ds et / ^ — p-^ ds qui ne
dépendent que de la forme de Tare, de façon à pouvoir facilement obtenir les valeurs qi/elles auraient en les prenant entre des limites différentes de 0 et L. Ces intégrales ainsi calculées suffisent, quels que soient les points d'appl'calion des deux poids de part et d'autre de la clef. 4"* Dans le cas dune surcharge dissymétrique, on a déplus
CHAP. V. PONTS EN ARC. i47
à calculer l'intégrale / - — j^ ^^ 9^^ °® dépend que de la forme de Tare, et les intégrales /'t — f- ' / t — f — •
/ T — T ^^* ^^* dépendent du mode de répartition de
la surcharge : X" représente le moment fléchissant que la surcharge déterminerait dans une poutre droite encastrée à Tcxtrémité A' ( — L)et libre à l'autre extrémité A (+ L).
Si l'on considère un poids isolé, les trois intégrales définies qui précèdent se ramènent toutes à des portions d'intégrales déjà calculées. Les opérations sont donc réduiteis à fort peu de chose, quelle que soit la position du poids unique con* sidéré.
Après avoir effectué toutes ces intégrales, le problème se ramène à résoudre une équation numérique du 1*^ degré à une inconnues ou trois équations numériques du 1" degré à trois inconnues; ce qui ne peut présenter aucune difficulté.
mOO* GAlem des liitésrale« déanlcs. — NouS
conseillerons, lorsque Ton veut étudier les effets de surcharges diversement réparties, de procéder toujours en les divisant en poids isolés, pour lesquels on calculera séparément les valeurs de Q et de z, parce que de cette façon la surcharge n'intervient pas dans l'expression des intégrales qui peuvent être calculées une fois pour toutes avant de commencer les opérations relatives à la détermination de la poussée.
Cela reviendra en somme à appliquer sans modification aucune la méthode déjà exposée au n® 147 pour le cas des arcs articulés aux naissances.
Supposons que l'on veuille calculer la poussée Q et le moment fléchissant à la naissance — Qz développés dans un arc quelconque symétrique par rapport à la clef, par l'action de la température, de la charge permanente et d'un poids isolé appliqué en un point variable de l'arc.
On commencera par calculer les intégrales définies de la façon suivante :
Ou divisera l'arc en un certain nombre do tronçons au
PONTS MÉTÂLUQUBS.
Fig. 268.
N"des sections
moyen de sections M, N^ , MN, M,N, convenablement espacées, et pour chacune de. ces sections on calculera Télémcnt correspondant de chacune des intégrales définies dont on cherche les valeurs {fiff. 268). Soient m. et m, les distances de la section considérée aux deux sections, voisines : on sait qu'il faut remplacer dans Texpression placée sous le
signe / la différentielle ds par la moyenne — ^^~ — -•
et substituer aux variables or étales valeurs correspondant au centre de gravité G de la section M N, et aux variables I et celles relatives à cette même section, que Ton aura préalablement calculées.
Les résultats de ces opérations seront inscrits dans an tableau analogue au tableau suivant :
Calcul par quadrature des intégrales définies, rds rd$ Cyds ry*ds r[a-^x)ds
. jr JT }-' j-T' j~ï —
Section MN.
wi^ + ^1 ^^ + ^1 2ii !21
Ky
Ky'
N»-des fi^Zl^ds r{a" — x')ds Ç {n'^T*)u(J.^ Çxds^ fri^j^, sections. J 1 ' J 1 J 1 J ^ J ^
Scct.MN. K{a — x)y
Kx
Krj
CHAP. V. POSTS E.t AUC,
Le nombre de la 2* colonne — ^-j—
les colonnes suivantes : nous t'avons représenté par K.
L'extrême facilité que présente la préparation d'un pareil tableau saute aux yeux, les longueurs y,XGta — x étant données par un calcul préliminaire ou par des mesurâmes faits sur une épure.
Une fois ce tableau dressé.on obtient une intégrale quelconque I en faisant la somme de tous les nombres inscrits
dans la colonne verticale correspondante, une intégrale / en s'arrètant au nombre relatif à la section située au droit de l'abscisse », et l'intégrale /j/* en ajoutant à la somme
1 de tous les nombres le total partiel / , etc. En résumé la
recherche d'une intégrale définie quelconque consiste en l'addition de plusieurs nombres consécutifs de l'une des colonnes du tableau.
Quant au calcul de Q et de — Qz, il se ramène toujours à la résolution d'une équation du 1" degré dont les coefficients numériques sont fournis par le Tableau qui précède. Celte opération De peut être ni longue ni pénibje.
fl«T. Evckination du travail. — Ayant déterminé les valeurs de la poussée Q et du moment fléchissant à la naissance — Qz correspondant à un état quelconque de l'arc, il reste à calculer le travail maximum développé dans chaque section transversale de l'ouvrage. On connaît aussi la composante verticale T de la réaction exercée par l'arc sur la culée A : T, dans le cas de la surcharge symétrique, est égal à la moitié de cette surcharge. Dans le cas de ta surcharge dissymétrique, les équations du 1" degré qui ont servi à calculer Q et Qz donnent en même temps sa valeur.
Le moment fléchissant X est fourni pour une section quelconque par une des formules :
PONTS METaIXIQUES
Nous avons donné précédemment les valeurs de X' et de X" en fonction d^a: et d'y. Nous n'y reviendrons pas. T, Qel^ sont connus.
On peut appliquer sans aucun changement la méthode de calcul du travail développée dans le n"* 138 pour les arcs articulés aux naissances.
Nous conseillerons encore de diviser la surcharge en poids égaux et équidistants, et de calculer Q et i^ pour chacun d'eux de façon à appliquer sans changement cette méthode.
La méthode géométrique (139) peut également être adoptée sans difficulté, le tracé des courbes de pression correspondant aux difTérents cas de température, de charge et de surcharge étant des plus aisés lorsque Ton connaît Q, z et T.
Nous allons faire Tapplication aux arcs circulaires delà méthode que nous venons d'exposer.
