ARC ENCASTRÉ

Elotf X

— EIœ^Xô jT

— Ela/X

+ El«f X3

VH''

-Elat X

Nous avoDS (racé sur la figure 271 les courbes représentatives les moments flé- i —

déterminés par un abaùsement de température dans chacun de ces deux arcs, en nous plaçant dans l'h j'pothèse où

r* le rapport — serait

égal à 0,025.

Dans l'arc articu- ^'S- ^'^■

lé aux naissances, le moment de flenon est toujours positif; maximum à la clef, il va en décroissant jusqu'à la naissance, où il s'annule.

Dams l'arc encastré, le moment est positif à la clef, passe par zéro au point dont l'ordonnée y est égale à 2/3 b, puis devient négatif et atteint, aux naissances, un second maximum, double en valeur absolue de celui réalisé à la clef.

Le moment fléchissant de l'arc encastré est supérieur en valeur absolue au moment fléchissant de l'arc articulé dans les deux régions comprises respectivement entre le point d'ordonnée b (clef) et le point d'ordonnée 0,81 6, et entre le point d'ordonnée 0,55 b et le point d'ordonnée zéro (naissance). Ce n'est que dans la région des reins, entre l'ordonnée 0,84 b et l'ordonnée 0,85 b, que le phénomène inverse s'observe.

Il semble donc en défmitive que les changements de température exercent une action beaucoup plus marquée et beaucoup plus défavorable sur l'arc encastré que surl'arc articulé ; à ce point de vue spécial, l'encastrement à la naissance doit être rejeté, puisqu'il aggrave de façon manifeste et dans une large mesure les conditions de stabilité de l'ouvrage. On , pourrait toutefois regarder comme utile d'adopter une disposition intermédiaire de façon à réduire le travail aux reins,

PONTS MÉTALUQCBS.

comme fait Tencastrement, sans trop Taugmenter à la clef et aux naissances. Il est possible d'obtenir ce résultat en réalisant le demi-encastrement, dont il sera parlé ci-après (art. 172 et 180), qui conduit à une courbe des ipoments fléchissants intermédiaire entre celles que nous avons représentées sur la figure 271 .

t70. Effet de la charge permanente. — On trouve en remplaçant dans les formules générales les intégrales par leurs valeurs en fonction de Tangle f :

sin f sin>f cos^f

sin'y

i pp/ . i . sinvcosvX sin 9

Après avoir calculé Q et Zy il est facile d'en déduire le moment fléchissant — Qz aux naissances et de tracerla courbe des pressions qui est une parabole à axe vertical BDB {/ig. 272).

z est toujours positif, et le point B est par conséquent toujours au-dessous du point A.

Le moment fléchissant présente deux maxima : Tun négatif — Qz en A, et l'autre positif en D, à la clef. Il s'annule en un point C voisin des reins de Tare, où la courbe des pressions coupe Taxe longitudinal.

CHAP. y. PONTS EN ARC 457

L'angle au centre ^, correspondant au point C, présente

cette particularité qu'il est toujours sensiblement égal à

== ou -?, comme dans le cas de la dilatation. Il est facile

de le démontrer. L'équation / X cfe = o, qui exprime que

Torientation des sections transversales A et S est invariable, peut èlre mise sous la forme suivante, en tenant compte de ce que le moment fléchissant est nul au point C :

(1) L^^;}(sin*^ — 8in'a)p*rfa+ I ^Q(cos<}/ — cosa) p*rfa=rto.

On a en effet en un point quelconque défini par l'angle a :

X=5pp*(sin*i|/ — sin*a) + Qp(cos-^ — cosoe).

Intégrons cette équation différentielle entre les limites

0 et cp. Nous trouverons :

(2) 1 /,e' (ç sin'^ - I + ^^^^~^)=-Q?Kf cos^- - sinç).

Posons 4/ = ix^» ^^» ®^ ^^^ revient au même, cos 4*= ^

(169). Le second membre de l'équation s'annule; si ce que nous affirmions précédemment est vrai, il faut qu'il en soit de même du premier membre. Développons le coefficient de

5 pp* en fonction des angles 9 et ^, en négligeant les puissances de (p et ^ supérieures à la troisième. Nous trouverons :

,.i„.t-|+!ïi^=,xr-|+i(,-|)(.-|}

Égalons à 0 cette expression : nous en tirons :

Donc, en attribuant à 4^ la valeur •= 9, on annule à la fois

les deux membres de l'équation (2), ce qu*il fallait démontrer.

On peut d'ailleurs appliquer cette règle en toute sécurité, car Terreur commise ne peut dépasser, ainsi que nous Tavons

vérifié, le maximum de 3 0/0 lorsque f est égal à - : cette

erreur est d'ailleurs indépendante du moment d'inertie I de Tare.

Cette remarque permet de tracer la courbe des pressions, après avoir calculé la poussée Q, sans être obligé de chercher z, dont la valeur en fonction de f se présente, conmde nous l'avons vu^ sous une forme un peu compliquée et est d'un calcul assez pénible.

Dans le cas d'un arc surbaissé, lorsque Ton peut néglig-er

sans erreur sensible le rapport — r = - — . , ^ devant l'unité,

'^'^ a sm <p

on peut calculer la poussée Q et le moment — Qz à l'aide de formules simplifiées, que l'on obtiendra facilement en développant f et cos 7 en fonction de sin (p dans les équations qui précèdent, et en négligeant les termes qui contiennent sin (p à une puissance supérieure à la 6*. Nous nous bornerons à énoncer les résultats de cette opération, qui sont les formules suivantes ;

2 . 45r' Le moment fléchissant à la clef est donné par la formule :

Si nous supposons b == o, ce qui nous ramène au cas de la poutre droite encastrée à ses extrémités, la valeur de Q se réduit naturellement à zéro, et le moment fléchissant devient

aiAP. V. PONTS EN ARC,

aux extrémités A et À' : ^ p^, et au milieu S :

8ultat3 concordent, ainsi qu'on devait le prévoir, ont été trouvés par l'étude directe des poutres ei Daus le cas d'un arc articulé aux naissance! précédemment trouvé (136) que la poussée est formule :

En encastrant les extrémités de l'arc, on dii poussée dans le rapport :

By + lSr* " 86' + 90r'*

Si t; est petit, la valeur de la poussée sul

tîon assez peu sensible, qui toutefois inQuc d'un

table sur lavaleur du moment fléchissant dévclo]

Supposons qu'on puisse remplacer sans grai

coefficients

vu la faible valeur du rapport -n. Effectuons ce

tion dans les expressions du moment fléchissai raison dg l'arc encasiré et de l'arc articulé est le tableau suivant :

Moment flécliissant