ARC ARTICULÉ

aux naissances. i/ = o

Moment flécliissant

aux reins. . . y = ôô

Moment Qéchissanl

alacJef. .... y = ft

PONTS MÉTALUQUES.

La figure ci-jointe permet de comparer les intensités des momenis fléchissants dans les deux cas.

L'encastrement double le moment fléchissant à la clef, et loi donne aux naissances ime valeur deux fois supérieure à colle relative à la clef. Par consé-

ckf *■ M: cy w \'A|,rtw,Mw quent le travail du métal dû au

moment fléchissant développé \ i par la charge permanente est

^- : le double à la clef et le quadni-

\, pie aux naissances du maximum

^a qu'il atteindrait à la clef dans le

Fig. 273. cas de l'arc articulé (fig. 273).

Il n'y a réduction dans le travail que sur une zone très restreinte MN, située au droit des reins de Tare, dans le voisinage du point C où le moment fléchissant s'annule. Quant au travail dû à l'effort normal, il est à peu près le même dans les deux cas. Nous en concluons que, au point de vue de l'effet de la charge permanente, l'encastrement aux naissances est une mesure très désavantageuse qu'il convient d'éviter.

HTJL. Effet de la «upciiapi^e. — Pour calculer au moyen de formules générales la poussée et le moment fléchissant Q2; dus à un poids isolé quelconque, il faudrait d'abord effectuer les intégrales définies entre les limites correspondant au point d'application du poids. Les fornmles auxquelles on arriverait sont d'une telle complication qu'il est plus simple en pareil cas d'appliquer la méthode générale du n? 166, en procédant comme pour les arcs de forme quelconque. C'est d'ailleurs ce que l'on serait obligé de faire pour les arcs articulés aux naissances, si les Tables drossées par M. Bresse ne fournissaient pas immédiatement les renseignements nécessaires.

On peut toutefois recourir à une méthode de calcul fort simple, qui, bien qu'approximative, est susceptible, croyonsnous, de donner des résultats suffisamment exacts pour les besoins de la pratique.

CHAPITM V. PONTS tV Anc.

Considérons un arc très surbaissé, dont l'axe longitudinal circulaire puisse être assimilé sans erreur sensible à une parabole ayant son sommet à la clef S. Nég:lîgeons, dans les équations (3) et (4) de ta page 437, les termes où figure l'effort normal F, et remplaçons dans les termes en X l'élément de courbe ds par sa projection horizontale dx. Ces simplifications admises, on pourra san^ difficulté résoudre le problème relatif à l'effet d'un poids isolé (art. 163 et 164), et obtenir des expressions simples des inconnues ; Q, Q: et T.

Soient u la distance horizontale & la naissance de droite A du

point d'ap-

Fig. 27*.

Si cet arc était articulé & ses deux naissances A et A', la valeur de la poussée serait fournie par la relation suivante déjà indiquée à la page 345 sous une forme un peu difiérente:

Les réactions verticales exercées sur les appuis A et A' auraient respectivement pour eiprcssions :

Tiz:P •

etT' =

Si l'arc est encastré en A et en A', on arrive : suivants :

Poussée :

i5 Pii'(J-ui'

bi'

Appui A ; réaction verticale :

462 rOHTS MÉTALLIQUeS

Bras de levier de la poussée :

Appui B: Réaction verticale :

Pu»

Bras de levier de la poussée :

3 ^45 /— Il

Les quantités Q, T, T, z etz' étant calculées, on obtiendra sans difficulté le moment fléchissant relatif à une section transversale quelconque de Tare par les relations suivantes :

!4Q6 Point M situé entre A et N, x<u:X=lTx —- x{l—x) ; Point M'situé entreN et A,a;>ti:X'=:r(/— a?')-- yxX«— a;').

!4Q& Région AN, «<t«:X = T«— Qi ^«(i— «); Région AN',a;>ii:X'«r((-aO-Q«- ^ «{(—«).

On voit que les valeurs deX et X'sont, pour les deux arcs considérés, indépendantes de la flèche b et du rayon de gyration r de la section transversale de Tare. Nous avons tracé sur la figure 275 les courbes représentatives de X pour le cas de Tare articulé (lignes pleines), et celui de Tare encastré (lignes pointillées), en nous plaçant dans l'hypothèse d'un poids voyageur qui se déplacerait sur le pont en marchant de l'extrémité de gauche jusqu'au milieu de la portée. D'après la remarque faite plus haut, cette épure se rapporte à tous les arcs à section constante, puisque ni le surbaissement

- ni le moment d'inertie wr" de la section transversale n'in-

flue sur l'expression de X (en raison des simplifications effectuées dans les équations qui ont fourni le point de départ).

Cette épure permet de reconnaître qu'au point de vue de Teifet d'un poids isolé Tencastrement présente de sérieux

poussée, correspondant à une position quelconque du poids mobile, relative à Tare articulé (ligne pleine) à la valeur relative à Tare encastré (ligne poiniillée).

Si, au lieu d'un poids unique, on en avait deux ou trois à envisager simultanément, il conviendrait d'efifectuer séparément les calculs pour chacun d'eux et de totaliser les résultats obtenus pour chaque section transversale. Mais plus le nombre des poids augmente, ou plus Tétendue de la région surchargée s'accroit, et plus l'exactitude de la méthode devient sujette à caution. A la limite, pour une surcharge uniformément répartie, on trouverait que les formules relatives à Tun et à l'autre arc conduisent toutes deux aux résultats suivants, également erronés :

Q=^,etX=X'=0.

Cela n'a rien de surprenant, puisqu'on a négligé dans

F rétablissement de ces formules les termes en - dont Tinfluence

se traduit, dans chaque cas, par le coef&cient de correction de la poussée :

En somme cette méthode approximative ne peut donner de renseignements valables qu'eu ce qui touche l'effet produit par une surcharge réduite à un poids unique, ou composée de plusieurs poids rassemblés sur une fraction assez faible du pont, comme une locomotive ou un chariot. Elle permet alors de constater que l'encastrement aux naissances est une mesure avantageuse au point de vue de la stabilité.

Pour avoir des résultats absolument exacts, ou pour étudier l'effet d'une surcharge couvrant une fraction notable du tablier, il faudrait calculer la poussée et les moments fléchissants aux naissances à l'aide des formules rigoureuses qui s'ob* tiennent par la marche indiquée à l'article 166, étant donné que l'on ne dispose pas de tables relatives aux arcs encastrés

de section constante, analogues à celles que M. Bresse a établies pour les arcs articulés.

Nous admettrons d*unc manière générale que Tencastrement a pour résultat de diminuer (sauf dans le voisinage des naissances) la valeur du travail maximum produit par la surcharge d'épreuve, répartie de la manière la plus défavorable pour la section transversale considérée. Il soulage notamment les reins de Tare d'une façon très sensible.

179. Effets de l'eneantreineiit et du demi^eneastre* ment. — Il nous parait résulter de l'étude que nous venons de faire que Tencastrement aux naissances est désavantageux au point de vue de l'effet de la charge permanente. Il est également nuisible en ce qui touche Tinfluence des changements de température :

A la clef, le travail maximum du métal est fourni pour Tare articulé par Texpression :

et pour Tare encastré par l'expression :

[i hb -I

A^ étant la hauteur de Tare. Aux naissances, le travail est nul pour Tare articulé, tandis qu'il est fourni pour l'arc encastré par l'expression :

[i hb 1

En ce qui touche l'effet d'une surcharge variable, l'encastrement présente au contraire un avantage marqué sur l'articulation : il diminue à la fois le travail maximum du métal, et, ainsi que nous le verrons plus tard, l'amplitude des déformations de Touvrage.

Considérons un arc articulé aux naissances, dont les travaux

ifi6 rONTS MÉTALUQUBS.

d'exécution seraient complètement achevés, et qui par conséquent porterait la totalité de sa charge permanente. Supposons qu'on immobilise & ce moment sa section d'about, en intercalant entre les sommiers d'appui et les extrémités des semelles les cales b et A, placées de part et d'autre de l'articulation centrale a, qui transmet quant & présent à la culée la réaction de l'arc. Les cales ayant été placées sans serrage immédiat, rien ne sera changé à l'effet pro- Fis 176 ^"^^ P^ ^^ charge permanente, qui conti-

nuera à agir sur l'ouvrage comme si celui-ci était articulé aux naissances. Mais il n'en sera plus de même s'il survient un changement de température, ou si Ton place une surcharge additionnelle sur le pont. L'arc se comportera, sous l'influence de cette cause nouvelle, comme s'il était encastré. Le résultat obtenu par l'adjonction des cales sera désavantageux à un point de vue, et favorable à l'autre. D'une manière générale, le travail sera accru dans la section de retombée, et probablement dans celle de clef, mais diminué dans la région des reins. Suivant que l'influence des changements de température ou celle des surcharges mobiles aura été trouvée prépondérante, le résultat obtenu devra être considéré comme bon ou mauvais. C'est donc là une question d'espèce, à trancher suivant les circonstances.

Cette disposition est presque toujours adoptée dans la construction des ponts en arc. Toutes choses égales d'ailleurs, elle parait d'autant mieux justifiée que la surcharge est relativement plus importante : elle convient donc mieux aux ponts de chemins de fer qu'aux ponte de rouies, et, pour les premiers, est d'autant plus à recommander que la portée est plus faible. Enfin à égalité d'ouverture et de surcharge, le dispositif en question est mieux appropriée l'arc

r' pour lequel le rapport — est plus petit.

11 sera toujours facile de reconnaître si, dans un cas déterminé, l'adjonction des cales auxiliaires est justifiée, en traçant successivement les épUres du travail produit par la température et par la surcharge dans l'hypothèse de l'articulation et dans celle de l'encastrement, d'après les méthodes expo-

8ée9 précéâfltnmflQl. Mais il doit être bien entendu, quel que soit le parti auquel on s'arrête, que, pour ce qui est de la charge permanente, l'encastrement doit être évité. Il ne faut donc mettre en place les cales qu'après avoir décintré l'arc et avoir complètement terminé l'exécution du tablier ou de la chaussée, en choisissant un moment où la température ambiante s'écarte peu de la valeur moyenne correspondant au climat.

CALCUL DES ARCS CIRCUL.\1RES A SECTION VARIABLE ■Ta. Area debaulenr eonataitte. — Quand onconserve à l'arc une hauteur constante sur tout son développement, il convient de faire varier le moment d'inertie, en réglant l'aire de chapj j^ que section transversale de ma-

nière que le travail maximum dû an moment fléchissant et à l'effort normal conserve partout & peu près la même valeur. On est ainsi conduit à employer des semelles d'épaisseur variable ; la répartition des tilles se fait absolument de la même manière que pour tes poutres droites, et Ton obtient (fig. 277] un résultat analogue à celui qui correspond au cas des poutres à travées solidaires.

Le calcul rigoureux de la poussée et du moment fléchissant aux naissances exigerait, pour un arc de ce genre, des opérations longues et compliquées ; mais on peut se contenter de la solution approximative qui consiste à lui supposer une section uuiforme sur toute sa longueur : cette section conventionnelle peut s'évaluer en prenant la moyenne de celles qui correspondent aux naissances, aux reins (quart de l'ouverture) et à la clef, aussi bien pour I que pour Q. Après avoir déterminé dans ces conditions l'effort normal et le moment fléchissant relatifs à une section transversale quelconque, pour les cas delà charge permanente, de la surcharge ou d'un changement de température, on évaluera le travail en se basant sur l'aire et le moment d'inertie réels de cette section, et non pas sur les moyennes conventionnelles dont il a été fait usage dans les premiers calculs.

PONTS MÉTALLIQUtS.

Cette manière d'opérer ne peut en aucun cas entraîner d'erreur fâcheuse au point de vue de la pratique.