IV DÉFORMATION.— DISPOSITION DES APPUIS

HT T. M^tliode ^^n^vskle pom* le calcul de la doformation* — Les équations (3) et (4) du n" 161 permettent de calculer, dans une hypothèse de charge et de surcharge quelconque, le déplacement vertical Sy et le déplacement horizontal Bx d'un point de l'axe longitudinal d'un arc dans des conditions déterminées de charge, surcharge et température.

Nous avons indiqué aux n" 150 et 151 la méthode à suivre pour les arcs articulés aux naissances. Elle est applicable sans changement aux arcs encastrés. Les calculs de stabilité de Tare déjà effectués ont fait connaître le moment fléchissant X et Teffort normal F développés dans chaque section ; on n'aura plus qu'à calculer les intégrales définies de la manière indiquée au n** 166, et l'on trouvera ainsi &r et 5y.

En conséquence nous croyons inutile de nous étendre sur cette question et nous n'y reviendrons pas.

Nous ferons remarquer seulement que pour les extrémités de l'arc, qui sont invariablement fixées aux culées, on a toujours Sa:=Sy=58 = o, et que pour la clef, dans le cas d'une surcharge sjrmétrique seulement, on a : to = ^so.

Nous nous bornerons à énoncer des formules approximatives pour le calcul de la variation de la flèche b sous l'influence de la température, de la charge permanente et de la surcharge complète, qui sont applicables aux arcs circulaires à section constante très surbaissés.

199. —Effets de la dilatation et de la eharire permanente. — Dans le cas d'une di^tation a^ la formule (4) de Tarticle 161 (page 437) conduit, si l'on néglige ses deux der-

niers termes i — et at (y,, — yo), à l'expression suivante

•/yo En

de l'accroissement S6 subi par la flèche de l'arc. Cet accroissement correspond au soulèvement f éprouvé parla clef de Tare, à la suite du relèvement de température.

(1) J6 = /"r: — pflU = 1 ,875 poU.

478 »ÛNTS Ml^ALUQUES.

Ainsi le déplacement vertical de la clef est égal à rallongement qu'éprouverait le rayon de courbure de l'arc sous l'influence du changement de température t^ multiplié par le coefficient 1,875.

Quant à l'abaissement de la clef sous Tacfion de la charge uniformément répartie 2/7a, il est fourni par une formule également approximative que nous empruntons à M. Darcel (Annales des ponts et chaussées, 1862, 2« semestre) :

^ ^ ' 32En6* 8 En

Comparons à ces deux formules celles, déjà énoncées, qui m donnent dans les mêmes conditions la déformation d^un arc articulé aux naissances :

(4) /•= - . ÏÏT .

^ ' ' 16 Eu

On voit que, avec deux arcs identiques, dont l'un est ei|castré et l'autre articulé, le déplacement vertical de la clef est plus considérable pour le premier que pour le second, sous l'influence de la dilatation aussi bien que sous celle de la charge. Il est facile de se rendre compte par la géométrie qu'il n'en saurait être autrement.

Considérons l'arc représenté pçir la figure 285, et supposons que par suite d'un abaissement de température, sa longueur

diminue àeiLXoJ.

Si ces extrémités sont articulées, il va décrire la courbe A8«A'. Si ses *^' . extrémités sont en-

castrées, les tangentes en A et A' demeureront invariables, et l'axe longitudinal décrira la courbe ASjA'.

Le simple examen de la figure montre que, pour que les Ion* gueurs développées des deux courbes ASiA' et AS,A' soient égales, il est nécessaire que la courbe ASfA' qui est extérieure à la courbe ASjA' à ses extrémités A et A', lui soit intérieure à la clef S. Donc le déplacement de la clef est plus grand

F^âf IT a <i » '

CHAP. V. PONTS m ARC.

dans le cas de Tare encastré (SS,) que dans le cas de Tatô aN ticulé (SSi). Un raisonnement analogue expliquerait comment la charge produit les mêmes résultats comparatifs. D'ailleurs la différence S|Si desdeuxdéplacements est toujours trèsfaible*

Le rapport — - est de - aussi bien dans le cas de la tem-

pérature que dans celui de la charge.

199 his. Effet d'un pold« isolé. — La déformation produite sur un arc encastré par une charge concentrée en un

Fig. 285 bis.

point peut être déterminée assez facilement, si Ton admet, pour les équations générales (3) et (4), les simplifications déjà

mentionnées à la page 461. On trouve, par des calculs simples que nous jugeons inutile d'exposer en détail^ que le déplacement vertical Sy subi par un point de l'arc, défini par sa distance horizontale â; à la naissance de droite A (en désignant par u la distance horizontale à cette même naissance du point d application du poids P), est fournie par Tune des relations suivantes :

10 tt > a: ; (Ty =— [^ . i^j ^ -- i-jj-i ^(^/(tt-.T)+2tt(f-JC)j J

"" 16 En 6M» '

45 P tt« ([ — fi)»x (^ — g) ^ ^ 16 En 6«i» '

Dans ces deux relations^ le dernier terme représente l'effet du raccourcissement subi par la fibre moyenne de Tare.

L'application de ces formules à un cas particulier (pont du Carrousel à Paris) a fourni les courbes de déformation représentées sur la figure 285 bis. Chacune d'elles correspond à une position particulière d'un poids mobile circulant sur le pont à partir de la naissance de gauche jusqu'au milieu de la portée.

Ainsi que nous Tavons déjàremarqué, les déplacements ve^ ticaux seraient notablement plus forts aux reins de l'arc, si celui-ci était articulé au lieu d'être encastré.

mTO. Oontfevontemeiit et dispcMBittoii» ^néra-

le» de» arc» et ae» tympan». — Pour tout ce qui se rapporte au contrevenlement et aux dispositions générales à adopter pour les arcs et les tympans, nous nous bornerons à renvoyer aux articles 152 et suivants, où la question a été traitée pour les arcs articulés aux naissances. Les mêmes considérations sont applicables au cas présent, sans modification aucune pour le conlreventement, mais en tenant compte de la disposition particulière des naissances et de là répartition du travail qui en résulte, en ce qui concerne les arcs et les tympans. Ainsi que nous Tavons déjà dit, il est rationnel d'augmenter la hauteur de Tare à ses extrémités, et l'emploi des tympans rigides ne doit pas être recommandé comme étant absolument sans aucune utilité.

3^ilÀ.

SSO* IklapoMldon des appnls. EncikBti>eincnt et 4enil-«ncnstpenteiit aux nnlMsnnces. — Dans un arc parfaitement encastré aux naissances, le moment fléchissant développé dans les sections exlrëmos est susceptible de faire travailler le métal à l'extension : la semelle supérieure notamment est toujours nécessairement soumise à un effort de cette nature. Il en résulte que, pour rendre Tencastremcnt ciïectif, on est conduit à relier l'arc à la culée au moyen de tirants noyés dans la maçonnerie, qui transmcllent à celte-ci l'effort de traction exercé par l'ouvrage métallique. Cette disposition ne présente pas ici les mêmes inconvénients que le système Cadiat (175), parce que le point d'appui est pris ao centre des maçonneries de la culée, cii arrière des sommiers qui sont en général des pierres de taille de grandes dimensions, solidement reliées sur toutes leurs faces avec le massif de la culée.

La figure 286 représente le mode d'encastrement des arcs du pont de Sainl-Lovis sur le Mississipi : les plaques d'appui sont en fer forgé (la transmission à la culée d'un effort de traction exclut l'emploi do la fonte, généralement employée dans les retombées des arcs artirulés); les boulons ou liraiits ancrés dans les culées, au nombre de quatre par semelle d'arc, ont de 7 â 9 mètres de longueur; ils sont boulonnés à leurs extrémités dans des Iliaques de fonte noyées dans la maçonnerie. Un pareil sys- "8- 2S6. j^n^p ,i(^„j,g évidem-

ment toute sécurité, cl exclut toute possibilité do mouver ment dans les seclioBs d'appui.

48i FOKTS MÉTAIUQUISS.

On peut rencontrer, en construisant un arc encastré m naissances, de grandes difficultés pour réaliser, dans les conditions supposées par le calcul, la liaison entre Tare et la culée. Quand Tare est monté sur cintre, il faut le relier d'une manière invariable aux sommiers des retombées, cl donner aux sections d'appui leur orientation définitive el immuable, au moment où l'ouvrage est complètement monté et prêt à être décintré.

Si Tare est construit sans cintres, c'est-à-dire de telle manière que, avant d'être complètement monté, if exerce une réaction sur les culées, le problème du règlement exact des retombées est particulièrement malaisé à résoudre. Pour le pont de Saint-Louis {Annales des Ponts et Chaussées^ 1811, 2* semestre, fig. 287), on s'est heurté à des difficultés inextricables. On s'est borné à régler les arcs à grand'peine en attribuant le plus exactement possible à chacun dos tubes formant semelle la longueur indiquée par le calcul. On a opéré par tâtonnement, en agissant successivement et alternativemonl sur chacun des deux tubos de l'arc, avec des arrêts et des insuccès sans nombre, et, d'après le compte rendu des opérations, il n'est nullement prouvé qu'on soit arrivé à un résultat bien satisfaisant.

Pour ramener tous les arcs à présenter le même profil, on a exercé sur eux des efforts considérables pour raccourcir les tubes trop longs, en forçant d'autant plus que la résistance rencontrée était plus considérable , sans se préoccuper de réaliser l'égalité de compression dans les différentes fermes de chaque travée. Il est difficile dans ces conditions de savoir exactement comment se comporte l'arc, et il est à peu près certain que l'on n'a pas dû développer dans toutes les fermes le même moment fléchissant aux naissances. Un pareil mode de règlement, malaisé et défectueux dans le cas que nous venons de citer, eût été manifestement impossible si les arcs, au lieu d'être formés de tubes réunis par des articulations aux barres de l'âme, eussent été composés de semelles en tôle assemblées par rivets avec la triangulation de l'âme, comme cela se pratique pour les ponts européens. Nous ne voyons pas en particulier comment on eût pu procéder pour le pontdtt DourOf si Ton avait jugé à propos d'encastrer ses extrémités»

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184 PONTS HÉTAtXIOOES.

^ous avons déjà parlé précédemment des arcs demi-fncaslrés ; on les décintre à la température moyenne en [es laissant reposer sur des articulalîcns centrales placées aui naissances, et l'on ne rend invariable qu'après coup l'orientation des sections oxirèmes. Leur rèj^iement ne saurait pré)ienter aucune dirficullé ot on l'opérera en toute ccrlilude et sécurilé. Il sufrira de placer les cales d'appui entre les plaques de retombée, cl de serrer également cl modérément les ccrous qui relient les boulons d'ancrag^e à ces plaques.

Les boulons jouent ici un r6le bien moins important que dans le cas qui précède : en effet, lors du décinirement, le moment dû à la charge permanente est, par construction, nul aux naissances, et l'effet produit par la charge se réduit à une compression uniforme de la section d'appui. Il en résulte que les efforts de tension transmis par l'arc aux boulons d'ancrage sont toujours petits. On peut même les faire disparaître entièrement sans aucun inconvéaienl.

Supposons, en effet, que nous supprimions les boulons d'ancrage (^y 2S8) et que nous nous bornions à interposer des cales entre l'arc et le sommier d'appui. Ce mode de construction présentera le caractère Fig. 288. suivant : les cales ne pouvant trans-

mettre au sommier les efforts de traction, la courbe des pressions ne pourra pas sortir de la base d'appui limitée par les cales extrêmes. Dans le cas où le calcul indiquerai! qu'il enduit être autrement, par exemple que cette courbe doit passer au-dessus de la cale supérieure, alors l'arc cesseraità ce moment de se comporter comme un arc encastré aux naissances : la cale supérieure fonctionnerait comme une articulation crTective, autour de laquelle tournerait la plaque de retombée.en quittant l'articulation centrale et la cale inférieure.

L'ouvrage se comportera en définitive on comme un ari encastré, mais comme un arc articulé dont les articulations fieraient mobiles entre les cales extrêmes des retombées, et se df^placeraient de façon à réaliser ,en toute tij'pothëse de sur-

charge et de température, l'invariabilité d'orientation de la section d'appui de l'arc, qui ne serait susceptible de subir ua déplacement angulaire que dans le cas où la courb«^ des pressions sortirait des limites déterminées par la base d'appui.

On saitque pour un arc articulé la section extrême scréduit à l'articulation elle-même, avec laquelle la section normale de l'arc doit être raccordée sans variation brusque de hauteur.

Il en résulte que lorsque la courbe des pressions passe au centre de la base d'appui (température moyenne, surcharge nulle), l'extrémité de l'arc qui transmet l'elTort à l'arliculation est réduite au triangle marqué sur la figure 288 par des hachures normales à l'axe de l'arc ; les Iriangles extérieurs, non couverts par les hachures, sont des parties inutiles et ne subissent aucun travail. Si, au contraire, l'arc est placé dans la situation extrême où l'arliculalion coïncide avec la cale supérieure, la partie de l'ouvrage qui supporte tout l'effort se réduit au triangle, également marqué par des Imchures,

Fig. 289.

qui a son sommet sur la cale supérieure. Dans l'autre élal limite, ce serait le triangle qui aboutit à la cale inférieure. Il

48(> rORTS MtTAt.U(}IFC3.

■faut donc que rextrémïté de l'arc soit établie assez solidenioni pour iic pas se briser ni se déformer souh l'action de la poussée agissant en ud point quelconque de la base d'appui. Il en résulte que, danH les ponts & demi encastrés de cette espèce, il faut attribuer i Is portion do l'arc voisine des naissances une solidité exceplionoolle et ne pas se cuiitcntcrdc la section transversale indiquée par le calcul ; on renforce l'ouvrage dans cette zone critique à l'aide de tôles supplémeolairos, de pièces en fer forgé ou de flasques ou renforts en fonte.

La figure 289 indique la solation ■| adoptée pour un pont à arcs demi-enz castrés de 60 mètres d'ouverture établi "t à Nantes, sur la Loire {Jig. 290). Ud s arc de cotte forme se comporte, ainsi a qu'on l'a vu, trfes' sensiblement comme s un arc domi-encastré, sauf le cas ei- ■g ceptionnel où la courbe des pressions ^ tendrait à sortir de ta base d'appui, g ce qui ne peut guère arriver. Onlecal- » culera donc par les formules habi- ^ tuelles relatives aux arcs encastrés (en ce qui touche l'effet de la surcharge et celui de la dilatation), sauf à vitrifier à posteriori que les courbes de pression ne pourront jamais dépasser les limites formées par la base d'appui, et à rectifier dans le cas contraire les résultats du calcul, ea tenant comple de la mobilité de la section extrême autour d'une de ses extrémités.

lie règlement d'un pareil pont le M sans difficulté, en plaçant les calcR d'appui et les serrant légèrement apr»

avoir déciutré l'arc à la température moyenne sur l'arliculatiou ccnlvale