SIS
PONTâ KÉtALtlQtSS.
Nous avons calculé, pour différentes viadétirà Se b^ les tttaliriia
du moment positif, qui Il j corircSpondent en cha-
-'-'***^* "1 que cas au point
M (x=v)y et les râleurs de la poussée Q : l^avec les formules exactes (2) et (3), dans Thypothèse où b serait égal
à -- /(lignes pleines de
la figure) ; 2* avec les formules (5) et (6), qui conduisent à des résultats indépendants de b (lignes pointilléesdela figure). Oh voit que, pour cette valeur particulière de la flèche, la distance entre les lignes pleine et pointillée est insignifiante quand Tabcisse v du point d'application du poids P est comprise entre 0,05/ et 0,95/. L'écart moyen n^est guère que de 2,5 ®/q pour le moment fléchissant en M, et de 1,8 7o pour la traction horizontale, avec un maximum de 5 ^/^ pour Xm et de 9,7 7^ pour Q, quand v est égal à 0,05/ ou à 0,95/. Dans la région comprise entre les limites 0,10/<u<0,90/, Técart maximum ne dépasse pas 3,8 7o l^ouT Xm et pour Q.
En fait, il est bien rare que le rapport - soit supérieur à T-,ei généralement il reste au-dessous. On peut doncsansin-
convénient négliger dans Texpression de S le terme — -r- ,quî,
I RM
pour fc = — , ne représente que 0,024 du terme « T ♦ et 0, 00063
seulement de la longueur S du câble. Nous étendrons cette conclusion, dont le bien fondé vient d'être vérifié pour le cas d'un poids mobile circulant sur un câble ne supportant aucune charge permanente, au cas général d'une surcharge et d'une charge quelconques.
Dans ces conditions, Pexpresâion dii moment fléchissant est
MOTBS AMNCUBS. 543
toujours indépendante de la flèche &, et Tonn^d à fttité entrer en ligne dé compte dans les Calculs que Fonverture /, sans se préoccuper du surbaissement, étant bien entendu que le
rapport T est petit et ne dépasse pas sensiblement la limite sii-
périeure jT , sans quoi cette simplificatioli ne serait [ilus justifiée : mais nous avons remarqué plus haut que pratiquement
il est très rare que -atteigne^, valeur pour laquelle la sup-
pression du terme — —- -r peut encore être admise sans incon-
ténient.
Cette remarqtie permet dé simplifier considétablenient la méthode de recherche exposée â Tarticlé 189 : ati lletl de tracer une courbe funiculaire, correspondant à la charge et la surcharge, dont la longueur S soit fixée à Tavabce, il suffit dé tracer cette courbe dans des conditions telles que sa flèche maximum ne dépasse pas le huitième de son ouverture (longueur de la ligne de fermeture du polygone funiculaire). Cela fait, oii déterminera sa longueur développée (ce qui ne présente aucune difficulté pratique), et on tracera la parabole à Axe vertical, de même longueur, qui passe par ses points extl^êmes. Si les appuis sont de niveau, la flèche de cette parabole sera fournie parla relation :
Enfin le moment fléchissant X s'obtiendra pour un point quelconque en effectuant le produit de la poussée Q, relative au polygone funiculaire, par la distance verticale z des deux lignes.
191. Dépendanee miituelle des effet» prodaits sur le c4ble et la pootre de rigidité par plunieurs poids a§^is- •ant almulfanéineiit. — La Résistance des Matériaux repose sur Taxi^me fondamental suivant: Veffet produit en un point quelconque (tune ferme métallique (travail ou déplacement élastique)^ par une force agissant sur elle, est indépendant des effeti produits sur la même ferme par d'autres forces qui la solliciteni en même temps.
544 PONTS MÉTALUQUBS.
L'effet total, travail ou déplacement, dû à l'action simultanée de toutes les forces est la résultante géométrique de tous les effets partiels résultant chacun de Faction d'une d'eUes agissant isolément. Si tous ces effets partiels sont mesurés dans la même direction, Teffet total est égal à leur somme (en tenant compte des signes).
Ce principe de Tindépendance des effets des forces, mathématiquement rigoureux pour les solides invariables de la Mécanique générale, est exact pour les systèmes rigides ou articulés de la Résistance des Matériaux, parce que les déformations subies par ces systèmes sont très faibles et ne modifient pas de façon sensible leur figure et leurs dimensions. Mais il n'en est pas de même pour les corps flexibles, comme les câbles, sujets à des déformations notables qui altèrent leur figure. Il y a en pareil cas dépendance entre les effets des forces agissant simultanément^ et Ton ne peut se rendre un compte exact de l'état d'équilibre élastique du corps en étudiant séparément l'effet de chaque force comme si elle agissait seule.
Cette assertion pouvant paraître a jor ton paradoxale, il nous parait utile d'en démontrer le bien fondé par un exemple simple.
Considérons un câble tel que AMÂ' ne supportant aucune charge permanente et soUicité par un poids unique P appliqué en M à la distance horizontale v de l'appui de gauche A. En vertu des calculs faits à l'article précédent, nous possédons, en ce qui touche l'équilibre du câble, les résultats suivants :
Distance verticale 'iim ou u :
.=!\/s.-.-,<-^,.+îii=;«.
Distance ML du point M à la parabole ÂMA' :
Traction horizontale du c&ble : Q =
lu
Moment fléchissant en M de la poutre de rigidité : X ==Q^*
Cherchons maintenant ce qui se passerait en M si le poids P
était appliqué en N à la distance horizontale v de l'appui dé
^OTES Aft.\KXES. «îiS
droite A'. On obtiendra sans difficulté les résultats suivants : Distance verticale M, m ou u, : u, = u x -"- ; Distancevepticale M.L, ou—*, : ~z = **"''""' « • Traction horizontale du cible : Q, = lîAlzl} ■
tu '
Moment fléchissant de la poutre de rigidité en M : = Q, z Examinons ensuite ce qui arrivera si l'on applique simultanément les deux poids P. Le câble décrira la lierne brisée trapézoïdale AM'N'A, de longueur S. Il est facile de déterminer ses conditions d'équilibre. On trouve :
Distance verticale M'm ou m' :
Distance verticale M'L du point M' à ta parabole ;
Traction horizontale du cAble :
Moment fléchissant de la poutre de rigidité en M' : X'^ Q'z'.
Comparons ces résultats aux pré-'
cedents, savoir U à—- — ,e à ~— i
Eig. 303
Q'àQ-hQ(,etX'aX-t-X,.Sireffet produit par les deux forcesP agissant ensemble était égal à. la résultante des effets partiels dûs à chacune d'elles considérée & part, il devrait y avoir égalité entre les quantités correspondantes énumérées plus haut. Or on peut vérifier par des exemples numériques qu'il n'en est rien, et que l'écart est parfois cobsidérable.
Il résulte de ceci que, pour étudier le fonctionnement d'une poutre de rigidité sous l'influence d'une charge et d'une sureharge déterminées, il faut considérer l'ensemble des poids que porte le pont suspendu. On s'exposerait à commettre des
erreurs notables en étudiant sépstrément Teffet produit par . chaque poids isolé, et totalisant les résultats.
Bien plus, si on augmente rimportance d*un poids P, sans rien changer aux autres, Teifet produit par ce poids ne croîtra pas dans le même rapport. La variation éprouvée par le moment fléchissant X ne sera pas exactement proportionnelle àPi.
Toutefois il existe un cas où la décomposition de la surcharge en poids partiels, dont on calcule séparément les effets, n'entraîne aucune erreur. C'est celui où la charge permanente est assez considérable pour qu'on puisse la regarder comme infinie comparativement & la surcharge totale. Dans cette hypothèse particulière, chacun des poids constitutifs de la surcharge agit indépendamment des autres. Du moment, en effet, que la charge est énorme par rapport à la surcharge, celle-ci ne peut déterminer dans le câble flexible, séparé de lapoutre auxiliaire, qu'une déformation insignifiante, qui ne modifie pas sensiblement la courbe décrite par lui. La distance z étant ainsi infiniment petite par rapport à. la flèche 6, on rentre dans le cas général des solides indéformables de la Résistance des Matériaux, et il y a indépendance entre les effets des forces
1. Cette non proportionnalité du travail élastique à la force qui le détermine
se retrouve dans toutes les circonstances où
J jf la déformation subie par le solide considéré
^ JF Nr--*-*--r- -*•* -y ii% ggj suffisante pour altérer sensiblement sa
\ y / âgure. — Soit ASB une barre métallique
X,^^^ J ^^^ courbe, dont l'épaisseur «, mesurée dans
^^'"^^r"'^ lo pla-n de la fibre moyenne circulaire, est
p. «^. supposée très petite. Appliquons aux eii-
'**• *"* tri^iuilés A et B deux forces F égales et de
Sens opposés, que nous supposerons, pour fixer les idées, dirigées de façon à
écarter l'un de l'autre les points A et B. Le travail maximum à l'extension
développé en S, milieu de labarre, aura pour expression :
Au fur et à mesure que la force F grandit, la barre s'aplatit et la flèche |f dimi*
nue. Donc le rapport - va en décroissant et tend vers la limita inférieure^,
F qui suppose que la fibre moyenne est devenue recliligne. Si nous changeons les directions des forces F, de façon qu'elles rapprochent les points A et B. nous observerons un phénomène inverse : le travail maximum à la compression croîtra plus rapidement que la force F qui le détermine. C'est pourquoi la limite de sécurité d'une pièce chargée debout doit aller en décroissant au fur et à mesure que sa longueur augmente, alors qu'il n'en est pas de même pour les pièces tendues*
Fig. 305
la parabole représente, pour un point quelconque défini par
son abscisse â;, le moment de flexion Q^z qui sollicite la poutre
de rigidité.
On peut d*ailleurs tracer immédiatement les deux paraboles
à axes obliques correspondant aux équations (1) et (2), paraboles qui viennent se couper en M, point d'application du poids. Le maximum positif du moment de flexion s'obtient précisément en M, pour x= V. Le maximum négatif se manifeste dans la seconde région de la poutre entre M et A'. On peut
déterminer sa position en égalant à zéro la dérivée de Xs par
rapport à x.
Si l'on suppose que le poids soit mobile et se déplace en
parcourant la travée de A en A\ l'équation de l'enveloppe des
moments maxima positifs s'obtiendra en remplaçant v para;
dans Téquation (1) ou Téquation (2).
L'enveloppe des moments maxima négatifs s'obtiendra en
élimiaant v entre l'équation (2) et l'équation — =o, qui se
déduit de la première par différenciation. Il est donc toujours possible de tracer sans difficulté soit la courbe des momentsrelative à une position déterminée du poids P, soit les enveloppes des maxima positif s et négatifs de X quand t) varie deoti Cas particuliers. A. — Supposons que la charge permanente soittrès peu importante etnégligeable devant le poids P.
ni
On peut alors posera, = o, et les équations (1) et (2) se simplifient :
o<a!<t>, (I) X, = ja!(J-t))-^«(J-a:)y ^(l-yV *<«<«, (4) X.=j(t-af)»-y«(/-a:)y yA-0.
B. — Supposons au contraire que la charge permanente soit très considérable, et que le poids P puisse être négligé
et (2) devjeanent :
o<x<v. (5)}it=-xil-v)-jx{l-x)-{i-
L'équatiou de la courbe-enveloppe des momei est dans le cas général :
devient dans l'hypothèse A :
et dans l'hypothèse B :
X'=-x{l-x) — -xKl-xf.
L'expression, en fonction de x, de la valeur i pour tirer de la relation (2) le moment fléchissaj xiinuni,pourle point défini par l'abscisse j;suppo!
t â < ^^^ assez compliquée dans le cas général.
thèse A, on trouve : v = ; — \/
du moment tlécbissant est assez simple :
Nous avons tracé sur ta figure 306 les courbes tillées) représentatives de X correspondant à 1 f- = oKetles mêmes courbes (lignes pleines) c
à l'hypothèse B (~ = o ] , pour un certain noml
régulièrement croissantes de o. On voit que le i
sur le résultat une très grande influence. En lui attribuant une valeur finie, on obtiendrait des courbes intennédiaiies entre celles qui correspondent aux hypothèses limites A etB.
•s. V' \ % vs^sw ^î>*^ .^.^o^ '/
Fig. 306.
La figure|307 représente les courbes-enveloppes des moments fléchissants maxima positifs (lignes situées au-dessus de Taxe horizontal) et négatifs (lignes situées au-dessous), dans les quatre hypothèses suivantes :
Ligne I. ........ . — =oo
