OBSERVATIONS

— if/^R' + iS*

Kir + 48*

Pour f =9 j ,R' passe par un maximum de même signe que R.

Q! s'annule et change de signe : le travail au cisaillement change de sens.

Pour ç == 9,» S' passe par un maximum de signe contraire à S.

Pourç = -, R' s'annule pour changer de signe : le travail à la flexion devient une tension si R représente une pression et vice versa.

Pour 9 = y,,R' atteint un maximum de signe opposé à R.

S's'aiiiuile et change de signe.

Pour 9 = 9j,R s'annule et reprend le signe positif. S' redevient égal à S.

EnQn pour 9 =95, S' passe par un maximum positif.

9 croissant au-delà de'n, IV et S' repassent par les mômes valeurs.

CHAP. l". CàLCOL des PIÙCKS PRlSMATlOtlES. 35

En résumé le travail à la flexion R' passe par deux maxima :

Tun ^ (R + K 4 S* + R*) de même signe que R, et l'autre

^ (R — (/ 4 S' + R*) de signe contraire.

Le travail au cisaillement S' présente également deux maxima de signes contraires , mais de valeurs égales

i ^ K R' + 4 S*. D'autre part S' est égal à ±: S pour (p = o

et 9 = ^, ce qui veut dire que le travail au cisaillement dans

le sens parallèle à l'axe longitudinal de la pièce, que Ton appelle aussi la tendance au glissement longitudinal, a même valeur que le travail à TefTort tranchant.

D'autre part le maximum de R' est égal à R lorsque l'on a S rr^ 0, c'est-à-dire sur les fibres extrêmes de la pièce, pour lesquelles la valeur de R atteint son maximum : il en résulte que la méthode usitée en pratique, qui consiste à calculer le travail à la flexion dans le sens perpendiculaire à la section transversale, donne bien la pression ou la tension maximum pour les fibres extrêmes de la pièce, qui sont en général les plus fatiguées.

De même le maximum de S' est égal à S lorsque R s o, c'est-à-dire sur les fibres neutres de la pièce, pour lesquelles la valeur de S atteint son maximum, ce qui justifie encore la méthode habituelle qui consiste à calculer le cisaillement dans la direction perpendiculaire à l'axe longitudinal de la pièce.

En sonmie^Ia méthode usuelle fournit toujours des résultats suffisamment exacts, car les valeurs qu'elle donne pour le travail à la flexion et au cisaillement sont en général très peu inférieures aux maxima absolus que l'on calculerait au moyen des formules précédentes. En cas de doute, rien n'est plus simple que d'en faire la vérification dans chaque cas : d'ailleurs il est facile de reconnaître que les maxima absolus de S' et R' s'observent toujours dans les points où la section subit un élargissement brusque, conune aux points d'attache des ailes des fers à double T sur leurs âmes.

Si une vérification est utile en certains cas, c'est donc

toujours sur ces points particuliers qu'elle doit porter.

Nous terminerons celte étude en donnant pour une poutre à section rectangulaire {fig. 25) dans le plan de flexion les courbes de travail maximum à la

compression ou à Textension ( )

et au cisaillement ( — •*-•—), qui indiquent en chaque point les directions pour lesquelles les différents travaux atteignent leur maxima.

Une courbe de compression quelconque coupe à angle droit la fibre comprimée et toutes les courbes d'extension qu'elle rencontre, et à 45® la fibre neutre et les courbes de cisaillement ; enfin, elle est tangente à la fibre extrême tendue.

La fibre moyenne de la poutre et la perpendiculaire à cette fibre qui passe en son milieu, sont des axes de symétrie de ces deux systèmes de courbes orthogonales.

Nous donnerons encore àtitre d'exemple, pour une pièce à section rectangulaire (fig. 26), et trois poutres à double T {fig. 27, 28, 29) les épures indiquant pour les différents points de la section transversale le travail

à la compression perpendiculaire à la section transversale ( — R) et le travail à la compression maximum ( — R') dans les différents points de chaque pièce, et donnant les mêmes renseignements pour le travail à Textension (-|-R et +R') et le travail au cisaillement (S et S'). On voit, ainsi que

Fig. 25.

Fig. 26.

nous Tavons dit, que les points où la section s' élargit brusquement sont les points critiques où R' et S' atteignent leurs maxima absolus, et où il peut être utile de vérifier que la méthode usuelle n'a pas conduit à donner à la pièce des dimensions insuffisantes. 0

Fig 27.'

Flg. 28.

Tel serait le cas pour le travail à la flexion du 2' fer à double T {fig- 28) : le travail au point de passage de Tàme à la semelle

dépasse de -r le travail sur les fibres extrêmes ; il en est géné-

ralement de même quand le maximum de S est à peu près

égal au maximum de R.

Ce cas ne se rencontre presque jamais, à moins que R ne

soit très inférieur à la limite pratique du travail, comme dans

le voisinage des points d'appui des poutres.

Jt'S

.Jl

'*irf^>^

Fig. 29.

Pour le 3* fer à double T {jig. 29) où le maximum do S est très inférieur au maximum de R, on voit qu'au contraire

c'est le travail au cisaillement qui, au point d'attache de là

semelle surTânie, dépasse de - la valeur maximum de S; mais

comme ce travail reste toujours inférieur à R, on n'a rien à craindre à ce point de vue.

En résumé letude précédente nous a paru présenter un intérêt théorique ; mais dans la pratique il convient de s'en tenir aux règles que nous avons énoncées pour le calcul des pièces fléchies, en se bornant à derminer le travail à la flexion perpendiculaire à la section transversale et le travail au cisaillement parallèle à ladite section, lequel est égal à la tendance au glissement longitudinal au point considéré.

16. Itaptupe des pièces fléchies. — Le travail à la compression ou à l'extension présentant son maximum sur les fibres extrêmes, ce sont celles-ci, lorsqu'il atteint la limite de rupture, qui se brisent tout d'obord, puis la section de la pièce étant diminuée d'autant, les fibres suivantes se brisent également, etc., etc. La rupture se propage donc depuis les fibres extrêmes jusqu'aux fibres neutres, et elle s'effectue par la rotation d'une section relativement à la section voisine. Quand c'est le travail au cisaillement qui atteint la limite de rupture, il n'y a jamais glissement d'une section sur la section voisine, comme on serait tenté de le croire. En effet, il faudrait pour cela que toutes les fibres se rompissent à la fois, ce qui est inadmissible puisque l'effort tranchant est nul sur les fibres extrêmes et à peine sensible sur celles qui

les avoisinent. C'est ce qui explique pourquoi on peut pratiquer impunément dans Tâme d'un fer à double T une ouverture R S, dirigée normalement à l'axe neutre, sans que la pièce se brise. L'effort tranchant se répartit dans les parties de la section AR et SB restées pleines, et la pièce reste intacte [/ig. 30).

Supposons que dans la section AB d'une pièce prismatique, il y ait en M un point faible où le travail dii à l'effort tranchant atteigne la limite de rupture {/ig, 31). En vertu de l'hypothèse faite sur la constitution des pièces prismatiques, le rétré-

Fig. 30.

CSAP. 4^. CALCOL DES PiftCCS PRISBCAUQUES.

Flg. 31<

cissement H se poursuit dans les sections voisines, et la piëce présente une tone MN, parallèle à Taxe neutre, où

le travail dû à TefTort tranchant atteint la limite de rupture : or on sait que la tendance au glissement longitudina), c'est-à-dire le travail au cisaillement parallèle à Taxe longitudinal et par suite à MN, est égal au travail à l'effort tranchant : on conçoit donc que, puisque Teffort, qui tend à séparer la partie supérieure de la pièce AMNC de la partif^ inférieure NMBD, dépasse sur toute la surface de jonction MN la cohésion du métal, la rupture se produit nécessairement, et la piëce prismatique se divise en deux pièces primastiques superposées.

On f oit que la rupture des pièces prismatiques se fait en ce cas par glissement longitudinal des fibres, et jamais par cisaillement normal à Taxe longitudinal.

Il faut donc veiller à ce que les pièces fléchies ne présentent pas dans leur âme un affaiblissement régnant sans discotltinuité parallèlement à Taxe longitudinal. C'est ainsi que dans les rails il se produit fréquemment des ruptures longitudinales suivant les soudures des divers paquets de métal qui ont servi à leur confection.

Bans les poutres à double T composées, les points faibles sont les attaches des cornières sur les tables et sur l'âme ; lorsque celle-ci se compose de deux tôles superposées dane le sens de la longueur, la solution de continuité, qui se prêterait au glissement longitudinal, doit être compensée par des couvre-joints cc\ tôles verticales auxiliaires assemblées avec chacune des parties de Tàme . On voit qu'il faut calculer en

raison de l'intensité de l'effort tranchant les dimensions de ces couvrejoints, ainsi que le nombre de leurs rivets d'attache, de façon que le glissement ne puisse pas se produire suivant la direction SS' [fig. 32) : les formules à employer sont données au chapitre suivant (n"" 38).

plg. SI* A titre d'exemple, considérons une

40 POiNTS MÉTAIXIQUES.

poutre composée formée de deux pièces de bois A et B reliées entre elles par de simples barreaux perpendiculaires aux semelles P et R, comme dans une échelle [fig. 33). Si cette pièce

travaille à la flexion, elle pourra se ^ IL ^ rompre par glissement longitudinal:

-^ chacun des barreaux est en effet sollicité à ses deux extrémités par deux forces

=B de sens contraire g Qi g\ dont chai^jg- 33. eune est égale à Teffort tranchant to-

tal Y multiplié par le rapport t de l'espacement de deux barreaux consécutifs à la hauteur totale de chaque barreau. Par conséquent, si Ton veut que la poutre puisse résister, il faut que l'assemblage du barreau avec le montant soit suffisamment solide pour résister à la force de glissement longitudinal g : c'est à quoi Ton peut arriver en introduisant dans chaque barreau un boulon en fer qui résiste par cisaillement ou développe par son serrage un frottement capable de faire équilibre à la tendance au glissement longitudinal. Nous ajouterons, pour compléter Tétude de ce genre de poutre, que le barreau R est soumis à un moment fléchissant égal en

Mà^ = -^eten Nà — ^' Ce moment fléchissant s'annule au milieu de la longueur du barreau. On voit donc que cette pièce peut aussi se rompre par flexion.

Les formules qui précèdent supposent que le barreau a une longueur considérable par rapport à l'épaisseur des semelles. Dans le cas contraire, on devrait calculer l'effort de glissement et le moment fléchissant en M par les formules exactes des numéros 11 et 14, en supposant que la matière qui constitue le barreau soit répartie sur la longueur de la poutre, de façon à constituer une âme mince continue, puis concentrée en R sans rien changer à la distribution des efforts.

m T. Ruptiipe des pl^ees flôcbies au point d*appli« cation d*une obarg^ concentrée» — Ce que nous venons de dire s'applique à l'effort tranchant proprement dit, qui est transmis dune section de la pièce à la section infiniment voisine.

}\ existe dans les poutres des points particuliers, où ce qui

GHAP. I*^ CALCUL DES PIÈGES PRISMATIQUES. 4i

Vient d'être exposé n*e&t plus applicable, parce que les hypothèses formulées au début de ce chapitre, au n* 3, ne sont plus vérifiées, et que par suite les formules de la résistance des matériaux ne peuvent plus s'appliquer. Ces points singuliers soiit ceux où une force isolée U, d'une

certaine intensité, est appliquée en un point déterminé d'une section de la poutre, soit pour fixer les idées au point M de la section AB [fig. 34). Pour éliminer l'influence du couple de torsion, nous supposons bien entendu que la direction de cette force pro- Y\», 34 longée passe par le centre de gravité 0 de

la section.

La pièce à laquelle est appliquée la force U n'étant pas un solide invariable, mais bien un corps élastique, on voit que, avant de se répartir sur toute la section, elle tend à déformer la figure AB en l'aplatissant. Nous ne sommes plus dans les conditions posées au n*" 3.11 est donc bien entendu que les considérations qui précèdent sont inapplicables aux sections des pièces prismatiques qui sont soumises à l'action d'une force extérieure appliquée en un point de leur contour. Considérons par exemple la poutre AB, dont les extrémités

reposent sur deux culées en maçonnerie M, N(/îy. 35). Le poids total de la poutre est reporté sur ces culées.

Il en résulte que la section extrême A de la poutre est soumise à une ^*' ^* force F, égale et* opposée à la moi-

tié du poids total, qui représente la réaction de la culée sur la poutre.

De même la section B est soumise à l'action d'une force analogue F'.

Supposons qu'un poids concentré P soit appliqué à la section intermédiaire C: cette section sera encore dans le même cas. C'est pourquoi nous formulerons la règle pratique suivante que nous croyons inutile de justifier, les considérations qui précèdent nous paraissant en montrer suffisamment l'évidence : lorsqu'une force isolée U est appliquée en un point d'une section, il faut calculer celle-ci de façon :

iS PONtf) MÉTiLLIQtCS.

1' Qu^elle résiste dans de bonnes conditions aa moment fléchissant et à Tefforl tranchant d'après la règle ordinaire ;

2** Que la portion de pièce comprise entre deux sections voisines, situées Tune en deçà, Tautre au delà du point d'application de la force, puisse résister convenablement, en la considérant comme une pièce isolée, comprimée ou tendue par la force U suivant le sens dans lequel agit celle-ci.

Telle est la raison pour laquelle on raidit l'âme des poutres métalliques, au droil des piles et culées, et souvent au point d'attache des pièces de pont, partout en un mot où un effort considérable venant de l'extérieur vient s'exercer sur la poutre, et pourquoi, lorsque l'on a négligé cette précaution, on voit l'âme se gondoler et s'écraser dans ces points spéciaux, se comportant comme une pièce comprimée dans le sens de fta longueur et travaillant au delà de la limite d'élasticité ^

En résumé [fig, 36) si une force isolée U est appliquée on M

à une poutre métallique, il convient de raidir la partie d'âme verticale comprise entre deux sections voisines AB et CD, de telle façon que la pièce métallique ABCD, considérée comme isolée et soumise à un effort de compression U, se trouve dans de bonnes condi-^ tions de résistance.

Là figure 36 indique un des moyens pratiques qui permettent d'arriver à ce résultat : il faut donner à la section de la pièce ABCD une des figures recommandées au n° 8, et si Ton peut, adopter une section annulaire ou une section en forme de polygone régulier évidé.

Il résulte également de l'étude déjà faite des pièces comprimées qu'il est inutile, si une circonstance particulière relative au mode de construction n'y oblige pas, de donner aux renforts AB et CD un écartement tel que le moment d'inertie de la section soit notablement plus grand, par rapport à la direction EL que par rapport à la direction perpendiculaire AG.

Nous ferons remarquer en terminant que ce que nous avons dit à propos de l'effort tranchant n'est pas applicable, pour

i. Morandière. ^ Cours de t'onts, chapitre ix, page 800,

CHAF. I". CAIXtL DES PIÂCES PRISMATIQQES. 43

les mêmes raisons que précédemment, aux pièces travaillant . au cisaillement proprement dit, c'est-à-dire aux pièces placées dans des conditions telles que deux sections extrêmement voisines soient soumises à des forces égales et de sens opposé F et F' (^y.37), appliquées en des points A et A' opposés, par rapport à Taxe longitudinal de la pièce. h CVst ainsi que travaillent par exemple les

^' 3'' chetilles des ponts américains. Nous donnerons au chapitre suivant les formule» à em* ployer pour le calcul de ces pièces.

m s. Couple de toi^Éiioii. • — Soient AB la section transversale d'une pièce prismatique, 0 son centre de gravité qui devient ici le centre de torsion, a et d les deux demi-diamètres principaux de Tellipse centrale d'inertie, Q Taire de la section, T le moment du couple de torsion qui tend à faire tourner la

section dans son plan autour du point 0, et développe une tendance au glissement ou un effort de cisaillement parallèle au plan de la section. Soit M un point de la section situé à la distance p du point 0 ijîff. 38).

Fîg. 38. Le travail développé en M est donné par

la formule : R=7-r-rTiw\'

Le maxitnum du travail correspond donc au maximum de p, c'est-à-dire qu'il se manifeste dans le point de la section le plus éloigné du centre de gravité 0.

Cette formule^ exat^te pour les pièces qui ont une section circulaire ou annulaire (comprise entre deux cercles concentriques), est suffisamment approchée pour les pièces dont la figure a une section peu différente, par exemple pour un polygone régulier avec un évidement concentrique ; elle donnerait des résultats absolument faux si on prétendait l'appliquer à des prismes ayant une section très dissemblable.

Il en est de même de la formule qui donne la déformation du prisme.

Soit dB l'angle décrit par le rayon vecteur OM du point H, lequel est venu en OW,

44 PONTS llâTAIUQUBi.

Ona:

it G (r* — r )

r et r' étant les rayons extérieur et intérieur de la section annulaire et dx la distance de deux sections infiniment voisines.

Si la pièce cylindrique tordue a une longueur L, Tangle dont Tune des sections extrêmes aura tourné par rapport à l'autre prise comme point de comparaison, sera donné par la formule :

Jo 7cG(r* — r *)

Si Texpression p . , ^^v est une constante, la torsion

totale de la pièce est donnée par la formule :

La quantité G est une constante spécifique, coefficient d'élasticité du métal à la torsion, qui figure au tableau placé à la fin de ce chapitre. Il en est de même de la limite pratique qu'il convient de ne pas dépasser pour le travail maximum du métal à la torsion.

Les formules qui précèdent ne sont guère employées que dans le calcul dos machines. Il est rare que l'on rencontre dans le calcul des ponts métalliques des pièces travaillant à la torsion. Toutefois, le cas pouvant se présenter à titre exceptionnel, nous n'avons pas jugé inutile de donner en passant ces quelques renseignements sur la question.

JLO. Composition de» effets cln» à dlff^x^entes

eauses. — Nous avons examiné précédemment comment on devait calculer les pièces prismatiques soumises soit à un effort normal, soit à un moment de flexion, soit à un couple de torsion. Il peut arriver que les forces appliquées à une pièce donnent lieu à la fois à un effort normal, à un moment fléchissant et à un couple de torsion.

En pareil cas, on doit admettre aue le travail total est la résultante géométrique des travaux partiels dus à chaque

cause considérée isolément, et qu'il en est de même de la déformation.

On devra donc ajouter algébriquement le travail dû à Tef-

Xz F

fort normal au travail dû au moment fléchissant -y^ -f g» en

ayant soin de tenir compte des signes (positif pour les tensions, négatif pour les compressions), et on aura ainsi avec son signe le travail du métal au point considéré. On aurait de même à faire la somme du travail dû à Teffort tranchant et du travail dû au couple de torsion :

ikf'y'^'-^jdh^

Chacun de ces résultats devra être inférieur à la limite pratique admise pour le travail du métal.

Si l'on veut calculer le travail total résultant de la combinaison des efforts de compression ou d'extension dus au moment fléchissant et à l'effort normal, et des efforts de cisaillement qui se manifestent par Tcffet de la flexion et de la torsion, on aura à résoudre le même problème que celui' que nous avons traité en recherchant la distribution des efforts dans les pièces fléchies (15). Cette recherche nous parait d'ailleurs sans utilité pratique.

^SO. M^tl&CMle s^n^pale de oaleul des ponts m^tal-

ii^n^es. — Nous croyons avoir traité complètement le problème que nous avons posé au début de ce chapitre. Désormais lorsque nous aurons donné le moyen de calculer l'effort normal, le moment fléchissant, l'effort tranchant et le couple de torsion en une section quelconque d'une pièce prismatique, nous nous en tiendrons là et nous ne reviendrons pas sur la méthode à suivre pour en déduire les dimensions attribuées à cette section : on n'aura en effet qu'à se reporter au présent chapitre pour compléter à ce point de vue le calcul de l'ouvrage étudié.

Quant à la déformation, nous donnerons toujours, autant que possible dans chaque cas considéré, la formule à appliquer.

La méthode générale qui permet de déterminer l'effort normal, le moment fléchissant, l'effort tranchant et le couple

4é PùnrS MÉTAtLlQUEft.

de torsion relatifs à une section déterminée d'une pièce pris* matiquG est la suivante :

Supposons connues toutes les forces extérieures appliquées à la pièce en question, depuis la section considérée jusqu'à une de ses extrémités : l'effort normal est la résultante des projections de toutes ces forces sur une perpendiculaire à la section transversale ; l'effort tranchant est la résultante géométrique des projections de toutes ces forces sur le plan même de la section ; le moment fléchissant est la résultante géométrique des moments de toutes ces forces pris pour chacune d'elles par rapport à la projection du centre de gravité de la section sur un plan perpendiculaire à ladite section mené par la force dont il s'agit ; enfin le couple de torsion est la résuU tante géométrique des moments par rapport au centre de gravité des projections de ces forces sur le plan de la section.

Quand le couple de torsion dû à une force est nul, la projection de cette force sur le plan de la section passe par le centre de gravité, et la recherche du moment fléchissant se simplifie : le moment fléchissant est égal au moment de la force par rapport au centre de gravité de la section.

Dans tous les cas simples, ou habituellement traités dans les ouvrages de résistance des matériaux en usage, nous nous bornerons à énoncer les résultats, sans en donner la démonstration analytique, afin d'abréger et de ne pas encombrer cet ouvrage d'équations que des constructeurs à la recherche de formules immédiatement applicables se garderaient bien de parcourir. Nous ne donnerons le calcul complet que dans les cas non traités dans les ouvrages de résistance, où il nous paraîtra utile d'exposer la marche suivie, soit dans un but de justification, soit plutôt pour faire connaître des méthodes générales applicables en d'autres circonstances.

«àiuL divep» nftflitépiaux. — Nous terminerons ce chapitre par le tableau numérique de toutes les constantes spécifiques ou coefficients pratiques qui entrent dans les formules que nous avons données précédemment, et dont on a par suite un besoin continuel dans les applications.

Nous ferons remarquer que les limites de charge, relatives aux pièces comprimées, ne s'appliquent qu'aux pièces de

amP. I***. CALCUL DES PIÈCES PRiSMATÎQÛEâ. 41

petite lon^eiir : lorsque la longueur dépasse quinze fois la plus petite dimension transversale, il convient de se reporter aux formules du n* 9.

On admettra que la résistance à l'effort tranchant est égale à la résistance à l'extension ou à la compression.

On dit souvent que dans les grands ouvrages métalliques la valeur du coefficient d'élasticité est notablement plus faible que dans les petites pièces : par exemple le coefficient d'élasticité des grands ponts en fer, formés de pièces qui ontf chacune considérée isolément, un coefficient égal à 200 X 10', r.e réduit à 16 X 40' et même 14 X 10*. La raison en est que, dans les ouvrages formés d'un grand nombre de pièces, les assemblages n'ont pas l'invariabilité que leur suppose le calcul : il y a toujours un certain jeu qui augmente d'autant les déformations dues à l'action des causes extérieures, et il faut dans le. calcul de la déformation du pont, tenir compte de cette circonstance, ce qui se fait très aisément en réduisant la valeur de E.

Les pont articulés américains (73) présentent naturellement ce phénomène à un bien plus haut degré que les ponts rivés européens, dont les assemblages sont sensiblement indéformables. Il en est de même des ponts en fonte formés de tronçons mis en contact par des surfaces rabotées, qui forcément se rapprochent plus ou moins suivant la pression mutuelle exercée entre elles.

Nous pensons que si l'on considère une série d'ouvrages établis suivant le même type, les mieux construits sont ceux dont le coefficient d'élasticité se rapproche le plus du coefûcienl relatif aux pièces élémentaires considérées isolément.

Nous n*avons jusqu'ici considéré que des pièces en état d'équilibre statique. C'est l'hypothèse où l'on se place toujours dans le calcul des ponts. Mais il arrive que dans la réalité les forces extérieures présentent des variations considérables dans un temps très court (charges mobiles, rafales du vent). Il en résulte dans les ouvrages des phénomènes dynamiques qui augmentent notablement le travail du métal.

Nous indiquerons plus tard comme il convient d'en tenir compte, en modifiant en conséquence les résultats donnés par le calcul, qui suppose toujours l'équilibre statique établi.