CALCUL DES POUTRES A AME PLEINE
G^né^ifAiité». — Dans un pont métallique on a toujours à calculer un grand nombre de poutres accessoires à àme pleine, longerons, pièces de pont, poutrelles, etc., soumises à des efforts de flaxion. Nous allons indiquer les formules à employer dans les circunstances qui se présentent le plus fréquemment tant au point de vue des forces extérieures appliquées, qu'au point de vue de la forme de la pièce à calculer, et de la disposition de ses appuis.
Nous supposerons que toutes les forces extérieures sont contenues dans un plan de symétrie de la poutre, et tout d'abord nous admettrons que Taxe de celle-ci est une droite horizontale, les forces extérieures étant toutes verticales. n en résulte qu'il ne peut y avoir ni couple de torsion ni effort normal, et que Taxe longitudinal en se déformant reste dans le plan vertical de symétrie de la poutre.
Nous sij^pposerons tantôt que les supports placés aux extrémités de la poutre sont de simples appuis, tantôt qu'ils donnent lieu à un encastrement, en maintenant invariable l'orientation de la section transversale extrême.
Nous adopterons successivement dans chaque cas les deux hypothèses suivantes :
1* La pièce est soumise à une^ i charge pi uniformément répartie
^! ' \ "1^ suivant toute sa longueur/;
2° Elle est soumise à l'action d'une
charge concentrée F appliquée en un
point de son axe longitudinal.
Nous donnerons dans chaque cas
l'expression du moment flécbissani X et de l'effort tranchant
76 PONTS HÉTALUQUES.
Y en fonction de la distance x de la section considérée N à Textrémité de gauche 0 de la pièce {fig. 40).
Pour une pièce qui supporterait à la fois une charge uniformément répartie pl^ et une ou plusieurs forces isolées P, le moment fléchissant serait en chaque point la somme algébrique des moments fléchissants calculés pour chaque charge considérée à part. Il en serait de même de l'effort tranchant : il suffirait donc de faire la somme des expressions algébriques de X et de V correspondant à chaque cause considérée isolément.
Nous indiquerons pour chaque cas sur la figure la courbe
représentative des moments fléchissants ( ), et celle
des efforts tranchants ( ), en tenant compte de
leurs signes. Nous fournirons dans chaque hypothèse les valeurs des maxima que présentent X et V.
Quant à la déformation de la pièce, nous la ferons connais tre en donnant la valeur de l'abaissement vertical / subi par Taxe longitudinal de la pièce au-dessous do sa position primitive. Nous indiquerons d'ailleurs sommairement sur la figure la forme de la courbe décrite par l'axe longitudinal
déformé : Nous calculerons cette défor-
mation dans les trois cas suivants, qui sont les seuls que Ton rencontre dans la pratique, en distinguant par des indices différents les abaissements niaxima de Taxe longitudinal correspondant : /, /, /,.
i* La pièce a une section constante d'une extrémité à l'autre et par conséquent son moment d'inertie I Test également. Nous désignerons par h sa hauteur et par R' le travail maximum du métal dû au moment fléchissant : ce tra- ^vail a évidemment lieu dans la section où X atteint sa plus grande valeur, que nous distinguerons dans le calcul en le représentant par X'.
2"* La pièce a une hauteur h constante, mais son moment d'inertie varie de telle façon que le travail maximum R dû à à la flexion garde une valeur constante d'une extrémité à
Taulre : -^ -r const. R. La poutre est un solide d'égale
résistance de hauteur constante.
CBAP. U. BBN8EIGNEBIE19T8 PRATIQUES. FORMULES USUELLES. 77
3* La poutre est encore un solide d'égale résistance : -^-^ =s
const. R, mais sa hauteur A varie proportionnellement à la racine carrée du moment fléchissant X. Cette hauteur [fig. 41), qui s'annule avec X, a son maximum h' dans la section où le moment fléchissant atteint lui-même son
. maximum : X'. Il est bien entendu
W^t^^ IZi^^^^^Tp q^e, nonobstant cette variation de
la hauteur, Taxe longitudinal de la ^** *** poutre estrectiligne.
Nous remarquerons que Teffort tranchant étant la dérivée du moment fléchissant, celui-ci présente un ma^^imura chaque fois que l'effort tranchant est nul. Nous observerons, en ce qui concerne les signes du moment fléchissant X et de l'effort tranchant V, les conventions posées au chapitre précédent.
S^9. Pontro appuyée là ses cleuxL eaLtP^nilt^s. —
L Charge uniformément répartie {fig. 42). A. Calcul du travail : 1* Moment fléchissant.
X = s p (te — ^) Courbe ODL ;
.'t j:^^ ^i « Maximum: AD X' = ^ pP a: =3*
Fig. 42.
2'' Effort tranchant.
=pii—x\ Droite BAC;
Maxima : y^= ±P s OB, LG, ar = 0 et a? = /.
B. Déformation, L'axe prend la forme parabolique OA'L et l'abaissement maximum de Taxe longitudinal a lieu en A, milieu de la poutre. L'équation de la coiirbe 0 AL pour la poutre à section constante est
L'abaissement au milieu, dans les trois hypothèses relatives à la constitution de la poutre, est donné par les for-^
I^OMTâ àrétAtXlQÛËâ.
mulei suivantes, dont le dernier membre suppose que la valeur de R a été prise égale à 6 X 10\ et que la valeur de E a été prise égale à 2 x 10**, valeur moyenne du coefficient d'élasticité longitudinale du fer : c'est le cas qui se présente le plus habituellement.
6 pT 384 El
RT
RP
EA
6,85 Rf
U Ea'
en supposant R«6X40*
IL Charge goncbntréb P {/ig. 43).
A. Calcul du travail : V Moment
fléchissant.
p (L î!îi X de 0 en A, o<«<
p^^3 ^p ÎLL£. de A en L, m<:x<l.
xM An Vf P (/—»«) m
Max?mum : AD, X[^= — ^ — i — - — » aî = TO.
2** Effort tranchant.
l P i — -. — i de 0 en A o<i^<Cff^f voleur const. OB.
— P jdeAenL m<Cx<Cl, valeur const. LG.
B. Cas particulier m == ^: 1" Moment fléchissant.
Maximum : X^= -^» * = 5'
S* Efl^ort tranchant.
titAP. It. llË^*SËlâNE!ME^tt^ PnAttQtiKi. >ÔRSltitË$ tiStlEtLËS. ?d
-Sf 0<af<g
G« Déformation. Nous n^étudierons la déformation que
dans le cas particulier où m = ^ •
La force isolée est appliquée au milieu de la poutre. On a pour valeur de rabaissement au milieu :
4 VP k PW '•""48 El ""24 Kh
