jO
Xi = — ^ , - = ^-^^ (Courbe 1 de la figure 17). Si l'extrémité B est parfaitement encastrée, on a 7r'=o,7v'*;=» ;
^* """" I2 ' x; = /[Tli;^^ (Courbe 2 de la ligure 17),
CH. ï. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 39
Si rextrémité B est partiellement encastrée, n' et r!" ont tous deux des valeurs supérieures à o: î^'+tt"' =p. D'où:
i(/— 2ar)8 X, ^ \l^x)
La courbe représentative de -- est intermédiaire entre les courbes 1 et 2 de la Kgure.
Fig. 17.
Supposons maintenant que l'extrémité A de la poulre soit
partiellement encastrée.
On a toujours dans ce cas : o< x <,- L
Admettons que Ton ait calculé la valeur de oj', et qu'elle soit
représentée sur la figure 17 par la longueur A/^< AF' = -/.
\r est alors une fonction de x qui se prête peu au calcul
parce qu'elle contient les radicaux. Mais nous pourrons loule-
fois oblcnir une Hniitc supérieure de ~ plus ou moins voisine
40 POUTRES A inAVÉES SOLIDAIRES.
de sa valeur réelle, et qui dans la plupart des cas donnerait des résultats suffisamment exacts ; d'ailleurs Terreur commise, étant toujours par excès, n'entraînera pas de mécompte dans le calcul du travail subi par le métal, qui ne pourra être que surévalué.
Soit d'abord ;7 > 1. Le moment fléchissant sur Tappui A a
Xî
une valeur absolue plus grande que celle du moment fléchissant surTappui B.
On a alors :
Celte dernière fonction s'obtient en remplaçant / par Sx' dans 1 expression •
Supposons au contraire ~ < *• C'est sur le second appui B que le moment fléchissant négatif est le plus grand. On a :
X' {x'—xy
Xi 2
x' ix' — - .r)'
Cotte fonction s'obtient également en substituant 3 oj' à / dans 1 expression ^-^j-^, •
Les mêmes propositions peuvent être formulées à propos du second appui.
On a dans ce cas :
X' = X, pour x = l, X' = 0 pour a? = a:" > * / .
Il convient alors de substituer dans les conclusions qui précèdent :
au rapport -• le rapport -- •
Xi Xi
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 4i
à la foDctioa
la fonclion
Ix ' (3x -20* / (2jp— /)s '
3 {x—xy
ff\ y
(/— ar") (2/+J?— 3jr")
27(g->jr^')* (/-ar")(i+2a^-3x")^
En rc^sumé les limites supérieures de X' se calculeront pour les trois zones AF, FT", F"B àTaide des formules suivantes, qui supposent que Ton a déterminé tout d*abord les valeurs numériques des moments Xi et X^ et des abscisses x' = AF' et x*" = AF*. Le choix à faire entre les différentes formules
est basé sur la valeur du rapport — , supposé connu à l'avance.
Zone AF' 0<:x<x^.
Zone F'F" af <x<x!'.
Zone F'B 7f' <x<L
. (-fel
\ 3 X—xi']
Quant au moment fléchissant positif maximum, sa limite supérieure est toujours fournie par la relation suivante, où X' est tiré du tableau qui précède :
9. — Caleol de« eiforts tranchants positif* et néf^a^ tiftf niaiilima dûs k Taetion d'une eiiar^e uniforme incomplète, les eiKtrémité« de la poutre étant partiel* lement encastrées. — On voit immédiatement que chacun de ces maxima correspond toujours à une charge s'étendant d*une extrémité de la poutre jusqu'au point considéré.
Maximum positif. — La charge s'étend de a: à /.
Ma.nmufn neyatif. — La charge s'étend de o à a\ V'=-î|-J,.r'(4/-^)-g7,-r'(6/W)--^'(2/-T)-
Fig. 48.
Les quatre courbes do la figure 18 représentent les valeurs du rapport -- pour tous les points de la poutre dans les quatre
hypolhèses où Ton attribue à Tune des quantités tt, t?', tc'', V la valeur limite />, les trois autres étant nulles.
La courbe 4 correspond au cas où 77'=/>(Art. 6, parag.rf).
— 2 — w =jo(Art. 6, parag.a).
— 3 — -::*'=;> (Art. 6, parag.ô).
— 4 — ?:''=;) (Art. 6, parag.c).
Dans le cas général où deux au moins des charges partielles -iT, -î:', w'', tT no seraient pas nulles, —• serait représentée par
une courbe intermédiaire entre celles-ci, et qui, par conséquent, serait loul entière à l'intérieur du segment limité par les courbes \ et 4.
On commettra toujours une erreur très faible en substituant à la courbe réelle la courbe 2, plus rapprochée de la courbe supérieure 1 que de la courbe inférieure 4 ; si Ton admet que celte règle approximative donne toujours des résultats suffisamment exacts, on pourra représenter les valeurs des efforts tranchants maxima par les formules simples :
-r= — — ^ (Efforts tranchants positifs), — = - (EfTorls tranchants négatifs),
qui correspondent à la courbe 2. L'erreur commise par défaut sera représentée dans le cas le plus défavorable par la distance verticale de la courbe 2 à la courbe 1 ; Terreur commise par excès aura pour limite supérieure la distance verticale de la courbe 2 à la courbe 4.
9. — Traeé de» courbes enveloppes des inonieutA fléehissfiiitfl et des eiforlii Iranehants ma^iLliiia. •—
Lorsqu'on se propose do délerminer simplement les courbes des maxima,cn valeur absoIue,des moments fléchissants d'une part et des efforts tranchants de Taulre, sans distinction de signes, il est facile de se rendre compte des points où Ton doit passer des X' W\^ \" et vice versa, et des Y' aux V" et vice versa,
On sait que Ton a pour une section quelconque :
X=X' + X" et V = V' + V\
Donc le plus grand, en valeur absolue, des deux moments fléchissants niaxima X' et X'' est celui qui a le signe de X, moment dii à la charge complète. Il en est de même pour les efforts tranchants.
Les courbes représentatives en question comportent donc les arcs suivants :
Pour les moments fléchissants :
Courbe des X' de a:=o à x=a:j, abscisse pour laquelle X=o, id. X^'àe x=Xikx=Xiy id. X=a,
et id. X' ie x=Xtkx=l.
Pour les efforts tranchants :
Courbe des V de a; = o à x=s, abscisse pour laquelle V = o
(sommet de la parabole des X).
Courbe des W de x=s à x = f.
On calculera Xi, x^ et s en égalant à zéro X et V dans les formules qui donnent les moments fléchissants et les efl'orts tranchants produits par la surcharge complète.
Nous avons indiqué précédemment (art. 3) les valeurs de Xi et Xj dans les différents cas d'encastrement simple et d'encastrement complet. On sait que Ton a toujours :
o<Xi<.-, et -<«?,</, On a s = - dans le cas de deux appuis simples ou de deux
encastrements complets. On a d autre part toujours -- <^< - / ,
les valeurs limites indiquées correspondant au cas d'une extrémité simplement appuyée, Tautre étant parfaitement encastrée.
en. I. - THÉORIE DES POUTHES A SECTION CONSTANTE. 45
