THÉORÈME DES TROIS MOMENTS
10. Belation entre len moments fléebl»santa déve« loppé» sur trais appuis eonséeutifs d'nue poutre eon« tinue. — Revenons aux poutres continues à seclion constante.
Soient 1, 2, 3 trois appuis consécutifs d'une poutre quelconque. Nous désignerons par l et t les ouvertures 1, 2 et 2, 3 des deux travées. Nous distinguerons par les indices 1, 2 et 3 les quantités y, 9, X, V, qui se rapportent respectivement à ces appuis (page 15).
Représentons par x eiy les coordonnées courantes de la première travée, dont Poriginc est au point 1, et par x' et y' les coordonnées de la seconde travée dont lorigine est au point 2.
Yf y. y»
Fig. 19.
L'équation (o) de Farlicle 2, appliquée à la travée 1 , 2 nous donne :
El
(y.-yi-6./) = (| + ^)/'+jS^'Pr{/-r)(2/-r).
46 POUThES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
Nous pourrons obtenir une autre relation symétrique de celle-ci en permutant les indices 2 et 1 et remplaçant r par l — r. En effet rien ne nous empêche de transporter Torigine des coordonnées au point 2, en renversant le signe des x positifs, et d'appliquer dans ces nouvelles conditions Téquation (5) de Farlicle 2.
Le sens des œ positifs, qui était de 1 vers 2, est maintenant de 2 vers 1, tandis que celui des y n*a pas varié. Donc les
valeurs de -p =6 changent toutes de signes , ce qui fait que
eue
Ton doit substituer — 0, à + 6i. De même vj P>'(/ — r)(2/ — r) doit être remplacé par — vj P (/— r) (r) (Z+r) = + vj Pr (l — r) (/ + r).
Nous arriverons ainsi k Téquation suivante :
(1) El (y.-y,+e,0 =Ç^+fj P +\ Si Pr [l-r) (/-H-).
Appliquons à la seconde travée 2, 3 la même équation (5) de Tarticle 2, en conservant ici Torigine des coordonnées au premier appui 2:
(2) EI(y.-y.-9,r)= (f + 1) T + 1 ^i' PV {t-r') (2/ -r').
Eliminant 0| entre les équations (1) et (2), nous obtiendrons la relation suivante, dite formule des trois moments :
(3) 6EI [?f-y.(f + p) + ^^] = X.Z+2X.(/ + /')+X,f
+ SiP[ (/'-0 + vi'FJ.(r r')(2/'-r).
Cette formule fondamentale, base de la théorie des poutres continues, permet de calculer le moment fléchissant X, développé surTappui 3, connaissant les déplacements verticaux y„ y„ yg des appuis, la disposition des charges qui sollicitent les deux travées précédant Tappui 3, et les moments fléchissants Xt et Xj relatifs aux deux appuis 1 et 2.
Il convient de remarquer que celte relation est la conséquence immédiate de l'hypothèse faite sur la continuité de la poutre. Nous nous sommes borné en effet à appliquer l'équa-
lion (5) de Tarlicle 2 aux deux travées i ,2 et 2, 3, et à exprimer que les moments fléchissants Xi et X'^ sur Tappui commun 2 sont égaux, ainsi que les déplacements ht elB's, ce qui est nécessaire el suffisant pour assurer la continuité de Touvrage. Dans le cas particulier où les travées consécutives supportent des charges uniformes complètes, représentées respectivement par/?/ et j9T , la formule des trois moments se simplifie par la suppression des signes S et devient :
(4) 6E1 [^ -y,(j + J)+ f] = X.i+2X.(/+rH-X/-4- \pP+\ pT
ti. Séparation deu effets das à la ehar^re et des effet» dmi à la dénivellation des appui». — Considérons les deux relations :
6EI \j-th (i +J) + Ç] = M, Z+2M,(/+0 + MJ ; 0=N,/-h2N.(Z+r)-hN3r+vi pr(/>r«H-v;i' P'p(r-Of2/'-r').
En effectuant la somme membre à membre de ces deux équations, nous retomberons identiquement sur la formule (3) des trois moments, à la condition de poser:
Aj — ^ irli "X" ^È ï
Xj = M, + N, .
On peut ainsi scinder en deux opérations le problème de la recherche des moments fléchissants développés sur les appuis d'une poutre continue à section constante, en calculant séparément : l'^ les moments dus à la charge seule dans Thypothèse de la fixité des appuis ; 2^ les moments dus aux déplacements efl'ectifs des appuis, en faisant abstraction de la charge. On n'a plus ensuite qu'à faire la somme des moments partiels ainsi déterminés pour obtenir le moment total du à cette double cause. Cette règle suppose bien entendu que Ton est toujours en mesure de connaître avec une approximation suffisante les déplacements verticaux yi, y^ et y^ des appuis.
Nous admettrons donc dès k présent que Ton peut, dans le
calcul des moments fléchissants dus à la charge, faire abstraction des déplacements des appuis et supposer ceux-ci invariables, sauf à rechercher ultérieurement les effets dus à cette cause et à en tenir compte dans Tépure de stabilité définitive de Touvrage.
En conséquence, nous supposerons toujours, dans les recherches relatives aux effets des charges, qui vont suivre, que les appuis sont fixes, c'est-à-dire que Ton a :
yi = y. = 2/8 = 0.
Dans ces conditions la formule des trois moments se simplifie et devient :
Dans le cas général oîi les deux travées sont soumises à des charges quelconques :
(5) X./+2X.(/+r)+X/=^si Pj(/*-/'')-si'P'p (r-/)(2r-r');
dans le cas de charges uniformes complètes pi et p'F :
(6) XJ+2X, (Z+O + Xaf =- \pP -\p7\
Cette dernière relation, due à Bertoty a été donnée ensuite par Clapeyrorty sous le nom duquel on la désigne souvent ; elle forme un cas particulier de Péquatîon générale (3), due à Bresse^ qtii est indépendante du mode de distribution des charges et tient compte de la variabilité des appuis.
II peut arriver que la section ( corresponde à Tune des extrémités de la poutre supposée simplement appuyée. Le moment au droit de cet appui est alors nécessairement nul ; les formules (3), (4), (5) et (6) restent applicables à condition d'y faire Xi = 0. De même, si la section 3 était une extrémité de la poutre simplement appuyée, il faudrait supprimer dans ces mêmes équations les termes où Xs est facteur.
