RKCHERGUE DES MOMENTS FLÉCHISSANTS DANS L'HYPOTHÈSE
D'UNE SELLE THAVEE CHAHGÉE
Considérons une poutre de n travées, reposant sur n + * appuis que nous numérotons à partir de la gauche, le premier étant désigné par o el le dernier par n. Chaque travée sera distinguée par le numéro de son appui de droite ou second appui ; la travée m sera comprise entre les appuis m — 1 et m, et son ouverture m — 1 .m sera représentée dans les formules par Im-
D'après la convention juslifii^e précédemment, nous supposerons l'invariabilité des appuis, et ne ferons par conséquent pas figurer dans les formules les déplacements verticaux y©) 2/i--«- ?/tt subis par ces appuis.
14. Formation de quelques séries numériques. —Considérons deux séries, chacune de Ji nombres,
tf[ . U., . 2/j Wn— 1 . Un \
déterminées par les systèmes suivants d'équations du premier degré :
2Wi (/i + /O + w, 4 = 0, î/i 4 H- 2wi (4 + h) + W3 ^8 = 0,
W„, 4-1 + 2!/n-i (In-i + /«) + l/n /« == 0 ; Vn-, h + 2i;«, (A + h) + tV A = 0
II est aisé de calculer successivement chacun des termes de Tune et l'autre série par la résolution d'une équation du premier degré à une inconnue : u^ étant connu, la première équation du système 1 fournit immédiatement u^ ; la seconde équation fournit u^y après substitution à u^ et «j de leurs valeurs connues, etc. , etc.
Considérons deux nouvelles séries de nombres :
Po • pi • pj P«— 1 P»— 1 î
Yo • Y* • Y« Y«-i Y»-*'
fournies par les relations :
Po — 'i, Pi — .-. pm-i — — ... pn-i — ,
uj tim Un
f. — f| — Vm— 1 — Vn— 1
Yo = t), y, = — - ... Y„^, = — ... Y„i .
* » Vj * Vm * l'n
Ces nombres pourraient d'ailleurs être calculés directement par les deux systèmes suivants d'équations :
Pi
Yn-l
2+ f (2-Vn-,)
Les deux séries u et v, qui ont chacune pour premier terme l'unité (Wi = Vi = 1), se composent de termes alternativement positifs et négatifs, le signe + appartenant aux indices impairs ; dans chaque série, les valeurs absolues des termes successifs croissent plus rapidement que la progression géométrique :
Les deux séries ^ et y, qui ont chacune pour premier terme 0 (^o = y» = ^)) ^® composent de termes tous positifs
et compris entre les valeurs limites 0 et - •
Nous conviendrons d'admettre que les termes u^ et v^-m correspondent à Tappui m : ce sont Vu et le v relatifs à cet appui.
Nous admettrons également que les termes Pni--i=
Wiïl
et yH H» = — ^ *"** correspondent à la travée m, comprise
entre les appuis m — 1 et m : ce sont le p et y relatifs à cette travée.
Pour un appui quelconque m, la quantité Um est foi^ction des longueurs de toutes les travées qui le précédent (1 à m — 1) et de la travée m qui le suit, et est indépendante des autres ; la quantité v„« est fonction de l'ouverture de la travée m — 1 qui le précède et de toutes les travées qui le suivent (m à n).
De même, pour la travée m, la quantité Pm— i est fonction dçs longueurs des travées qui la précèdent (de 1 à m — 1) et de sa propre longueur /« ; la quantité yn—m est fonction des longueurs des travées qui la suivent (de m + 1 à«) et de sa propre longueur l^.
Supposons que, sans rien changer d'ailleurs aux longueurs des autres travées de la poutre, on fasse varier l'ouverture /m— 1 de la travée qui précède la travée considérée m : pour
Ifn^ =■: 0, on aura ^n^i == ; > ®^ *" f^r ^^ ^ mesure que
Im^-i croîtra , Pa,-i diminuera progressivement jusqu'à la limite 0 pour /m^i == oo . On obtiendrait une variation correspondante de Yft-m en faisant croître la longueur l^+i de la
travée suivante depuis 0 (y,^,4=-J jusqu'à l'infini (y«-,„=0).
Nous en conclurons aisément que le nombre ^m—i est égal
à zéro, lorsque la travée m se comporte comme si elle était
simplement appuyée en m — i, et qu'il est égal à - lorsque la
travée m est parfaitement encastrée en m — 1 . Dans le cas de travées toutes égales, / = /j = 4 = /,,
la valeur de ^ est égale à 0,25 pour la première travée et croit progressivement jusqu'à la limite 0,26795 pour m = oo ; elle varie donc très peu, et Ton peut dire que les extrémités d'une travée quelconque fonctionnent en ce cas comme des demi* encastrements, ^ étant à peu près à égale distance des limites 0 et 1/2.
16. Caleul des moments fléehissantfi développés dans les sections d'appui d'une poutre continue supportant une eiiari^e eoneentrée unique. — Considérons
la poutre continue de n travées dont il a été question dans Tarticle précédent, et supposons que l'on fasse agir une charge concentrée P en un point de la nf travée définie par son abscisse ^, c'est-à-dire par sa distance à l'appui de gauche m — 1 de cette travée.
Appliquons la formule des trois moments (équation (5) de Tarticle 10) à tous les groupes formés de deux travées successives^ à partir du premier point d'appui de gauche qui porte le n* o.
Le second membre de chaque équation, qui comprend uniquement des termes dépendant des charges supportées par les deux travées considérées, sera nul pour tous les groupes ne comprenant pas la travée m qui est seule chargée.
En outre, les extrémités o et n de la poutre continue étant par hypothèse simplement appuyées, on aura :
Xo = 0 et Xh = 0.
En procédant ainsi, nous obtiendrons une série de n — 1 relations entre n — 1 inconnues^ qui sont'les moments fléchissants développés dans les sections d'appui Xi, X^, X,, . • . .
Cette série est la suivante ;
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION COiNSTANTE.
