ÉQUATIONS

NumâroB d'ordre des travées consécutives constituant chaque groupe

X^, /, , + 2X» , (k^ + /»0 + X«^, /^, — 0 X^,/«.-+-2X^,(4.,-N„)+X»4— Pr(/„ r)(2/m ,) X, i;,+ 2X„ { /. + /^,) -h X»+. W. — Pr (/»„— r»)

X» /i«+l H- 2X«»4., (/«^, H- /„+,) + Xm+, /m+i — 0

En remplaçant dans les m — 2 premières relations de ce groupe Xi par Wj, X, par w„ X«-, par e/„^-, et X,^-.i par w«-i, nous retomberons identiquement sur les m — 2 premières équations du groupe (1) de Tarticle 14 (page 53).

Si donc nous supposons que les nombres Ui, Ut, u^, ....t/n^i ont été calculés à Tavance, nous pourrons substituer aux m — 2 premières équations de la série les relations suivantes :

Al =UiJLi ,

Xj = Uf X| ,

Xm j — Um—t Al ,

Xfii i = Um—i Al .

Nous pourrons de même, après avoir substitué, dans les n — m — 1 dernières équations de la série, Vi à X»— i, r, àXn~j,

î?»-B,— 1 à X«^.i, Vn-^ à Xm, et avoir renversé leur ordre,

constater leur identité avec les 7i — m — 1 premières relations du groupe (2) de Tarticle Hi ce qui nous permettra d'écrire,

en supposant que les nombres î?i, v, t?».^ aient été calcu*

lés à Tavance :

A-m = ^n—m An— i « •Am+i = ^n— m— 1 ^n—t ?

•A-n— j == Vi A-n— 1 )

Remplaçons maintenant dans les équations m — i et m de la série, dont les seconds nombres sont fonction de la charge P, Xni—tf Xn,,, X„i et Xw-M par leurs valeurs respectives en fonction de Xt et Xn-i.

Elles prendront la forme suivante :

Xit^«,/„+X,^,[2t;n-»i(/«4-AH-i)+v«-m~i /m-h] =— Pr(/*«r").

On peut encore les simplifier, en tenant compte des relations suivantes, qui figurent dans le groupe 1 de Tarticle 14 avec le numéro d'ordre m — 1, et dans le groupe 2 avec le numéro n — m:

Um—t /m— 1 + 2Mm— 1 (/m— i + ^m) + ^m /«t = 0 ,

Nous obtiendrons finalement les deux équations du premier degré à deux inconnues^ Xi et X»— i, qui suivent :

— Xj Um -+- Xn— 1 Vn—m==^ — p ('m — '*) (2^m — ^) ?

Pr Xi Wm i — Xn— 1 Vn— m— 1 =^ "" 7" (^ ^i "~ '* /'

D'où :

Y Pr ., V (2^-r) Um-t + (^ + y) «m

-^^-* ~ ~ ?;: ^^'" ~ ^^ Un^ Vn^ - Um f 11^..^,

On a d^autre part, en remarquant (art. 14) que

ttm — t Q A Vn—m

Xm^, = Um^ X, = - p^, W^ X,

^ fj ^\^ a "^Im — r-- {Im + r) yn-m .

* m 1 — pm—i yn — ni

Xm = Vn-m X^, = - y^^ Vr^^, X^-i

— — ,T" ('w — '^^ X yn-m ] 5 •

Pour simplifier les formules en supprimant les indices des lettres qui y figurent, nous conviendrons de représenter simplement par ly^ et Y les données numériques relatives à la travée de rang m que nous considérons, savoir : Zm, Pm— i»

Avec cette convention, les expressions des moments sur les appuis de la travée chargée deviennent :

Pr(l-,-jp. ^-^ ;

x„=-Pr^i-;JT . — rr^;

On sait que Ton a toujours :0<p<-etO<y<-'

n en résulte que Xm-i et Xm sont nécessairement négatifs, quels que soient P, l, r, p et y.

Connaissant les moments sur les appuis de la travée chargée, il est facile de calculer les moments développés sur tous les autres appuis.

On a en effet, pour les appuis situés à gauche de la travée chargée :

Xm— j = A»i— -1 = — p/>i i Xm— 1 )

Xm— 8 =^ A.7n— î = pm— 8 -A-m— j = + pm— s pm+j Xm— i y

ttm— j

Xm— A Pm— i^Xm- *-fi= ^Pm— A» Pm— Ah-i • P»n— *-*.f • • • pm— apm— «Xm- 1 ,

POUTREvS A TRAVÉES SOLIDAIRES.

Le signe + convient aux appuis dont le numéro d'ordre diffère de m d'un nonibre impair (ft= 2A + 1), et le signe — à ceux pour lesquels cette différence est un nombre pair (ft = 2*).

On trouverait de même pour les appuis situés à droite de la travée chargée m :

^m-\-i = "F yn—ms Yn— wi— i -^m »

^m-{'k — i yn— m— A+i y7i—m—k-i-i yn— jji— î fn—m^i Xm .

On doit adopter le signe + lorsque k est pair, et le signe — lorsque k est impair.

Le moment fléchissant X^ sur l'appui m de la travée chargée étant négatif, le moment Xm^i sur l'appui suivant est po-

sitif et sa valeur absolue est comprise enlre 0 et ^^^ ; les moments sur les appuis successifs sont alternativement positifs et négatifs, et chacun d'eux a une valeur absolue supérieure au double du moment sur l'appui suivant. Le moment sur le dernier appui Xn est d'ailleurs nul.

On arriverait aux mêmes conclusions en partant de l'appui m — 1 et marchant vers l'extrémité o.

Fig. 21.

La figure 21 , qui fournit la représentation graphique des moments produits par une charge isolée, rendra plus clair l'exposé qui précède : nous avons pris pour exemple une poutre à huit travées où le poids P est appliqué en un point de la cinquième.

IG. Momeutfl fléclii»iiant« produits par ane eharfr^ concentrée anique dan» l'une des travées non chargées. — Soit k — 1, k une des travées non chargées dont le

CH. I. — THÉOKIn. DES POCTRKS A SECTION CONSTANTE. 61

numéro d'ordre est k. L'expression analytique du moment fléchissant en un point quelconque est, en désignant par Xjt— 1 et X/t les moments sur les appuis ;

C'est Téquation de Ja droite qui réunit les extrémités des ordonnées représentatives de Xa i et Xa.

Supposons que la charge unique soit appliquée en un point quelconque de Tune des travées de la poutre situées à droite de la travée k que Ton considère.

On a alors : Xa-i = — p Xa, et la droite représentative des moments fléchissants coupe Taxe de la poutre en un point F'

dont Tabscisse est a?' = ttt, l (fiff- 22).

Ce résultat est indépendant du signe de X^ et par conséquent du numéro d'ordre de la travée chargée, ainsi que dé l'abscisse r du point d'application sur cette travée et de l'intensité du poids P.

Supposons que le poids P se déplace en partant du point

d'appui k et se dirigeant vers l'extrémité w. La droite représentative des moments fléchissants dans la travée k oscillera autour ^'^ du point fixe F', situé sur l'axe

de la poutre. Chaque fois que le *'-> poids P franchira un point d'ap-

pui, la droite Xi, X^ coïncidera avec Taxe, et les moments Xa-i et Xit changeront de signes, après avoir passé par zéro : les signes de ces moments resteront d'ailleurs las mêmes pour toutes les positions du poids P sur une même travée.

Le moment Xt est négatif toutes les fois que le numéro m de la travée chargée diffï^re de k d'un nombre impair: 7n = A + 2A+ 1. Il est positif quand cette difl'érence est paire : m = A; + 2A.

Nous appellerons premier foyer ou foyer de gauche de la travée k le point remarquable F' dont Tabscisse est fournie

POUTRES A TllAVÉES SOLIDAIRES.

par la relation indépendante des charges: x' == -^ /. p étant toujours compris entre 0 et -, a?' est nécessairement plus petit

quei.

Supposons à présent que la charge P soit appliquée en un point de la poutre située à gauche de la travée k (fig. 23). On a alors : Xjt = — y^k—i •

La courbe représentative des X est une droite passant par Xfc.1 un point fixe F" second foyer ou

foyer de droite de la travée, qui jouit exactement des mêmes propriétés que le point F pour les charges appliquées entre l'extré- Xfc mité 0 et Tappui k — 1.

On a A: — 1 . F^ = a?*' =

l({ — ^ j ; Y étant toujours compris entre 0 et l/2,a:*' est nécessairement plus grand que 2/3 /.

Le moment Xi^i est négatif toutes les fois que le numéro

de la travée chargée diffère de k d*un nombre impair

{m=k — 2A — 1) et positif quand cette différence est paire

(m = ft — 2A).

La figure 24 résume les résultats que nous venons d'énoncer,

en indiquant les directions suivies par la droite représentative des moments fléchissants pour les différentes hypothèses que Ton peut faire sur le rang de la travée chargée.

Supposons qu'on ait à Favance calculé les abscisses des deux foyers de chaque travée, lesquels sont uniquement fonctions des ouvertures /j, /, /,i, et ne dépendent pas de la

charge. Après avoir déterminé préalablement les moments fléchissants développés sur les appuis de la travée chargée m,

Fig. 34.

CH. 4. — THÉORIli: DES POUTRES A SEGTIOxX CONSTANTE. 63

on pourra obtenir graphiquement et sans nouveau calcul les moments sur tous les autres appuis, ainsi que les droites représentatives des moments dans les travées non chargées, en traçant à partir de Textrémité du moment Xm—i une ligne brisée continue, passant par tous les premiers foyers F' des travées de gauche pour aboutira Tcxlrémité o, et ayant ses sommets sur les verticales des points d'appui. On fera de même pour les travées situées à droile de la travée m, en partant du point Xm et traçant une ligne brisée passant par les seconds foyers F"" et aboutissant en n. La figure 21 indique le résultai de cette construction graphique.

Pour la première travée on a p = 0: le premier foyer coïncide avec le point d'appui o; le second foyer n'est jamais utilisé, parce que le poids P ne peut être appliqué à gauche de l'appui o, section extrême de la poutre.

Pour la dernière travée, l'on a de même y = 0 : le second foyer coïncide avec le point d'appui n. Le premier foyer n'est jamais utilisé parce que le poids P ne peut être appliqué à droite de l'appui w, section extrême de la poutre.

Nous verrons plus loin qu'à d'autres points de vue la considération du second foyer de la première travée et du premier foyer de la dernière peut être utile : le calcul de leurs abscisses s'effectuera d'ailleurs par les mêmes formules que pour une travée intermédiaire quelconque :

1~ travée, second foyer F" : x% = /, ^l î^2=u\ .

2® travée, premier foyer F' : x'n = In o ^ '

17. Montenta IléoliisMintA produits par une charge eoneentrée unique dans la travée chargée. — Nous avons déjà indiqué les valeurs des moments produits sur les appuis de la travée chargée m. En désignant par l^^ et y les données relatives à cette travée, on a :

x„,=-P.(,-r),.tlzM.'.

X,„ = - Pr (l- Jj y .

Les moments fléchissants à Tintérieur de la travée sont représentés par deux équations différentes^ suivant que Ton considère les sections situées à gauche du point d'application de la charge (x < r), ou à droite {x > r).

On a :

[ X„,-i M- jj H- X,n • + - (/— r) X , pour x<r ; X„,-i|i-'-l + Xm*- + - r(/— 0?) , poura?>r.

On peut toujours considérer P comme la somme de quatre poids partiels 77, w', ?:", r " appliqués au même point R de la poutre^ pour chacun desquels la travée considérée réaliserait à ses extrémités une des différentes combinaisons d*appui simple ou d'encastrement parfait indiqué dans les paragraphes a, b,ceid de l'article 5 (page 27).

On aurait ainsi :

pour le poids :: , p = 0 , y = 0 ;

avec la condition :

P = 77 -f- Tt' + Tt" + 7U'".

Pour que les deux charges soient équivalentes, il suffit que les moments sur les appuis soient égaux, ce qui donne la double condition :

. -\/ = p- ('- nh P ('- ;) ■

GH. ï. THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 65

II est facile de se rendre compte que, quelles que soient les valeurt, comprises enlre 0 et 1/2, attribuées àp et y, il est

-J ^ ^rr

toujours possible de donner à - , p et -- des valeurs positives dont la somme soit inférieure à l'unité, et qui satisfassent aux deux équations de condition qui précèdent.

Nous en conclurons que les appuis de la travée chargée se comportent comme si, la travée étant isolée, ils étaient partiellement encastrés, dans les conditions de Tarticle 5.

— «/ -jr ^

Il faut d'ailleurs remarquer que les valeurs ô > p > "^ et —

dépendent à la fois de p, dey et de r, et que le coefficient d encastrement à& chaque appui varie par conséquent lorsque le poids P se déplace sur la travée.

Pour p = 0,on a nécessairement, quel que soit r: 7:' = ir"=0. Pour Y = 0, on a de même : tc'' = tz" = 0. La ligne représentative des moments fléchissants se compose de deux droites coupant les ordonnées des appuis en X^-i et Xm, et se rencontrant sur la verticale du point d'application R de la charge P.

Le moment fléchissant en ce point R est toujours positif. Il a pour valeur :

Pr (/—r)

Les abscisses z' et z^ des points G' et G" de rencontre de ces droites avec Taxe des x indiquent les sections où X s'annule, pour la valeur particulière attribuée à r. On peut calculer ces abscisses à l'aide des formules qui suivent :

Xm— 1

Point G' : y = /

Xm— 1— Xm— P {l—r)

Pour G": z'=^i-ç — z^ —

\ Xm — Xni—i —

Pr j

z et z** sont toujours réels et compris entre o et /. On a nécessairement, quel que soit r (compris d'ailleurs entre les limites o et /) :

Pour p = 0

Pour 0 < p < ^ Pour y = 0 Pour 0 < y < ;

Les points G' et G'^ sont donc toujours situés respectivement dans les zones de la poutre comprises entre chaque extrémité et le foyer le plus voisin. Il en résulte que, quel que soit r, les moments fléchissants développés dans la partie F' F" de la travée comprise entre les foyers sont toujours positifs. Ce n'est que dans les zones extrêmes m — 1 F' et Y"n% que X peut avoir une valeur négative.

Cherchons les positions limites des points G' et C quand r tend vers zéro :

Tout d'abord, pour r = 0, z = 0. Le point G' se confond avec l'appui m — 1 .

D'autre part, quel que soit r, on a toujours, en vertu de la figure 25, la relation suivante entre les distances de l'appui vn aux points C et R :

wïG' /-*•

Substituons à X»9i— i, Xm et Xr leurs valeurs connues en fonction de Pr, p et y :

cil. I. - THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 67

Pour r = 0, cette relation devient :

~r 1— 2(5-|-y — 2|Sy i+y '

Le point G'" coïncide avec le second foyer F'^.

On prouverait de même que, pour r = /, G' coïncide avec le premier foyer F' et G" avec le second point d'appui m.

Donc lorsque le poids P se déplace de m — 1 à m, le point 6' va de m — 1 en F' et le point G'' de F" en m.

Ces formules et les propositions qui précèdent sont applicables à la première travée à la condition de poser Xo = 0 et par suite ^ = 0, et à la dernière à la condition de poser Xn = 0 et par suite yo = 0-

Pour des valeurs données de P et de r, Xm— i est d'autant plus grand que ^ est plus grand, et y plus petit. Il augmente donc lorsqu*on diminue Touverlure de la m — 1* travée, ou lorsque Ton augmente celle de la m + 1* travée. Sa limite supérieure correspond à p = - , y = 0, ce qui suppose 2m-.i = 0

et /«-i-i = 00 .

La même proposition peut s'énoncer pour le moment Xm du

second appui, à condition de permuter p et y ainsi que les numéros de travées m — 1 et m H- 4.

Pour des valeurs données de P et de r, X est d'autani plus grand que ^ ety sont plus petits. Son maximum correspond à ^ = 0 et y = 0, ce qui suppose

/m-i = 00 et /m+i = 00 (la

travée m est simplement appuyée à ses deux extrémités) et son

minimum correspond à p ==-ety=-, cequisuppose/m— 1 = 0

et lm-\-\ = 0 (la travée m est parfaitement encastrée à ses deux extrémités).

Pour des valeurs données de ^ et de y, la valeur maximum de Xm— 1 correspond à une abscisse r comprise entre les limites

0,3333 /(dans l'hypolhfese p = y = M et 0,4226 / (dans Thy-

pothèse p = ", y = 0).

La valeur de l'abscisse r correspondant au maximum de Xr est toujours comprise, lorsque Ton a p > y, entre - l (lorsque

p et y sont égaux) et 0,634 / (lorsque p = - et y = 0).

En général la valeur absolue maximum de Xr est toujours supérieure à la valeur maximum du plus grand des moments des appuis. Le contraire ne peut se présenter que lorsque Tune des quantités p et y est plus grande que 0,45, cas en dehors de la pratique.

18. Moments lléeliissantfl prodoito par la eharfl^ anlforme eomplète d'une seule trairée. — Nous désignerons encore par m le numéro de la travée chargée. Soit p la charge par unité d'ouverture. Appliquons à tous les groupes des deux travées consécutives le théorème des trois moments en nous servant de Téquation (6) de l'article 11 (page 48). Pour les groupes ne comprenant pas la travée chargée, nous retomberons identiquement sur les relations qui figurent à l'article IS (page S7). Il n'y aura de changé que les équations m — 1 et m relatives aux groupes comprenant la travée chargée. Ces équations, dont le second membre est fonction de la charge, deviendront :

Xm— 1 /m— 1 + 2Xm— t (/m— i + /m) + Xm /« = — /'An', Xm— 1 Im + 2Xm (/m + Aii-h) + Xm-j-i /m-^-i = — - p/w*.

Nous disposons encore ici de 7i — 1 relations entre n — 1 inconnues, Xi, X| Xn-.i. En suivant exactement la méthode déjà employée à l'article 15 pour le cas d'une charge isolée unique, nous obtiendrons pour expressions analytiques des moments développés dans les seclions d'appui de la travée chargée :

Les quantités /, ^ et y se rapportent à la travée considérée :

•m 7 Pm— 1 et yn^m*

Xm-i et Xm sont négatifs, ce qui était évident a priori^ puisque la charge uniforme complète peut être considérée comme la somme d'une infinité de poids isolés égaux pdr appliqués en tous les points de la travée, et dont chacun, considéré à part, donne lieu sur les appuis à deux moments négatifs, quelle que soit Tabscisse r de son poids d'application.

Les valeurs des moments sur les appuis des travées non chargées s'obtiendraient exactement par les mêmes formules ou les mêmes constructions graphiques que dans le cas de l'art. IS, puisque ces formules ou ces constructions sont indépendantes de P et de r, et n'exigent que la connaissance des moments négatifs Xm— i et Xm. La courbe représentative des moments fléchissants dans les travées non chargées sera donc encore constituée par les lignes brisées de la iigure 21, qui, parlant respectivement des extrémités o et n de la poutre, ont leurs sommets sur les verticales des appuis, passent par les premiers foyers (entre o et m — 1) ou les seconds (entre n et m) et se terminent aux appuis m — 1 et m^ où leurs ordonnées sont négatives et égales à Xm— i et Xm.

La figure 24 indique pour la travée k les directions de la droite représentative des moments fléchissants, suivant que le numéro m de la travée chargée diflëre de k^ en plus ou en moins^ d'un nombre pair ou impair.

Pourla travée chargée, la courbe rcprésentalive des moments fléchissants est une parabole (page 11), dont l'équation, oti l'on désigne par / l'ouverture de la travée, est :

X = Xm-i H- (Xm — Xm-i) 7 + 2 '^^ ^' — ^^'

Cette parabole coupe l'axe des x en deux points G' et G""

(fig. 27), dont les abscisses :i et z" sont fournies par les relations :

Xm — Xm— 1

Am """ Am—

Xm — Xm — 1\*

2Xt

2' et /' sont toujours réels, positifs et compris entre 0 et /. X est négatif entre les points m — 1 et G' [0 < x < 2'] et les points G" et m [«"<x<(j, et positif entre les points G' et G"

Xm-1

Fig. 27.

Remplaçons dans Téquation de la parabole Xm-i et Xm par leurs expressions en fonction de ^, ^^p eil ; elle devient :

x = ?^*r— --4-( \ — y-P V PU -7)1

2 L /«"^V 2(1-137);^ 2(1 -.Ôy)]'

Attribuons à ar la valeur particulière 3/4 --^ / . II vient :

X=^l /4i9 + 2py ~ 7t9* -h oP'y - gfS'y - 23»v 2 \ 16(1 4. j3)* (1 — jSy) /

pi» /(4P — 7(3* — 2|S8) H- (2j37 -f 5|3»7 - 2^^^)

16(1 +13;« (l-fiy)

Comme Pon a toujours 0 <P<5etO<y<C-,le numé râleur de cette expression est nécessairement positif.

On a en effet, d'une part: 4p>7p*+2p* ou 4>7p+2p«,

l'égalité n'ayant lieu que pour p = - ;

et d'autre part : 2py + Sp'y > 2p*y ou 2 + 5p* > 2p, quel que soit p.

Donc la valeur de X est positive pour x = 3/4 7-772 A ce qui signifie que z' < 3/4 ••-— l = 3/4 x. On verrait de même que z'^ > l — 3/4 — ^ /.

D'où: l — z''<\{l—xy

Par conséquent l'abscisse z' du point G' est toujours plus petite que les 3/4 de Tabscisse j?' du premier foyer F'. De même la distance du point G" au second appui m est plus petite que les 3/4 de la distance à cet appui du second foyer F"" :

G'F > \ m—i F , F"G" > 7 Fm.

L'effet produit par une charge uniforme complète sur une travée de poutre continue est identique à celui qui résulterait de l'application de la même charge sur une poutre isolée de même ouverture, dont les appuis seraient partiellement encastrés dans les conditions de l'article 4. Gela est évident a priori^ car le déplacement angulaire de Tappui m — I, par exemple, est nécessairement compris enlre le minimum 0, correspondant à l'encastrement complet (p = 1/2 et y = 1/2) et le maximum correspondant à l'appui simple pour les deux extrémités (^ = 0, y = 0). Il n'est pas possible, sans supposer p < 0 ou p > 1/2, de se placer dans des conditions telles que l'angle en question sorte des limites indiquées. Or, on peut toujours attribuer à ?:, -;:', tz" et tT des valeurs positives, ayant pour somme ;>, qui réalisent pour chacun des appuis des déplacements angulaires donnés 9m— 1 et 6m, compris entre les valeurs extrêmes correspondant à l'appui simple ou à l'encastrement. 11 suffit, d'ailleurs, que deux travées de même ouverture et de même section, supportant la même charge p/, subissent les mêmes déplacements angulaires de la fibre

moyenne au droit des appuis, pour qu'il y ail identité entre les courbes représentatives des moments fléchissants : les équations 1, 2 et 3 de Tarlicle 2 montrent que cette condition entraine Tégalité des moments sur les appuis et par suite l'identité des paraboles des moments.

Nous ne reproduirons pas ici la discussion do la parabole des moments, déjà faite à l'article 4, dont toutes les conclusions s'appliqueraient au cas actuel.

tu. Moments fléchissants produits par la eiia.ri^e uniforme incomplète d'une travée. — Oaleul des mamima néspatifs et posilir» Un poids quelconque appliqué sur une travée développe sur ses deux appuis des moments fléchissants négatifs, quelle que soit Tabscisse r de son point d'application. lien résulte que les maxima dos m'^monts Xm— 1 et Xm correspondent à la charge uniforme complète. Il en est r.ùcessai rement de même du moment fléchissant, positif ou négatif, développé en un point quelconque d'une travée non chargée, puisque la valeur de ce moment est proportionnelle àXm— 1, ou à Xm, suivant que ce point est à gauche ou à droite de la travée chargée.

Ce n'est donc que pour les points situés dans la travée chargée que Ton peut, au moyen d'une charge incomplète convenablement distribuée, obtenir un moment fléchissant positif ou négatif plus grand en valeur absolue que celui dû à la charge complète.

Proposons-nous de déterminer l'expression analytique des moments fléchissants négatifs maxima, pour la seconde moitié de la travée : a: > - . Nous savons déjà que, dans une sec-

lion située entre les deux foyers F' et F", le moment fléchissant produit par un poids quelconque est toujours positif quel que soit r.Nous en conclurons que la courbe des moments négatifs maxima, que nous désignerons par X', est limitée aux abscisses x" et / (zone F"7?i). Dans les calculs qui suivent, nous admettrons en conséquence que le point considéré sur la poutre est compris dans cette zone \ x^ < a: < Z.

Soit pdr un poids élémentaire appliqué au point de la pou-

tre dont l'abscisse est r. Le moment fléchissant rfX, développé dans la section dont l'abscisse est a?, est fourni par deux expressions analytiques différentes suivant que Ton a : r < a: ou r > ar.

!rfX«-i(i-7WrfXm7+prfr{Z— a:)f , pourr<5:; dXm^i (i- j) + rf'Xm - -hpdr (/— r) y , pour r>x.

Nous savons déjà que, pour r > a:, les moments produits dans la portion de travée F"m sont toujours positifs. Il convient donc tout d'abord, dans la recherche du moment négatif maximum X' relatif à la section dont Tabscisse est x^ de supprimer la charge sur toute la portion de travée comprise entre les abscisses a: et /: il n'y a par suite pas lieu de retenir la seconde expression de (/X, et la valeur de X s'obtiendra en intégrant entre des limites convenables, 0 et v, le second membre de la première relation :

X'= JJ rfX = f,{^^^ («- fj ■i-d^fl+ Pdr (l-x) [ .

L'abscisse limite de la zone chargée t; est plus petite que x, puisque, pourr == a?, on a rfX > 0.

La valeur de v s'obtiendra en cherchant le point de la poutre pour lequel j- serait nul, c'est-à-dire en égalant à zéro la différentielle placée sous le signe / :

Substituons à --^— ? et -— leurs valeurs connues en ^onc-

dr dr

tion de /?, t?, p et y :

dr ~ P ^ 1 — P? '

dXm pv (l—v) l+v-i^l-^v) p

ir ~~ l* '^ l-(57

L'équation précédente devient :

Posons pour simplifier :

— / + a; + 2(d/ — 2pa: + yj — 2^^x = U ;

— 3p/ + 3pa: + apya: =V;

— p/ — y/ — Px + pyZ — 2pya; = W.

L*équation devient :

D*où nous tirons :

Gonaaissant v, il est facile de calculer X' :

X'= j]* («m-, (l- -\ +dXmf +P(/-X) J rfr

n p /Ur Vr« Wr«\ . '

La courbe représentative des X' part du foyer F'^, où elle est tangente à Taxe des x^ et se raccorde tangentiellement, sur la verticale du point d'appui m, avec la parabole relative à la charge complète. A Taide desdcu.\ formules qui précèdent, on peut déterminer point par point cette courbe, en ^^alculant, pour chaque valeur de x, d'abord v, puis X' .

Le même procédé de calcul pourrait aussi s'employer pour tracer la courbe des X' dans la partie de la poutre comprise entre l'appui m — 1 et le premier foyer F': 0 < j:: < a:'. Il suffirait de substituer l — x à a?, / — r à r et / — v à v dans les formules qui précèdent.

Quant aux moments positifs maxima X'', ils seront donnés par les relations suivantes :

x'<ix ^x" , X'^ = X (la courbe des X" coïncide avec ta pa-

rabole de la charge complète) ;x''<x<l , X' = X — X'.

En définitive, il est toujours possible de tracer la courbe exacte des X' pour une travée de poutre continue donnée, mais les calculs nécessaires sont longs et pénibles, de sorte que la méthode exposée ne peut être regardée comme admissible dans la pratique.

Nous allons montrer qu'on peut substituer à la courbe des X' une ligne facile à tracer, qui s'en écarte toujours très peu, et ne peut donner lieu qu'à des erreurs très faibles, et d'ailleurs par excès, les valeurs approchées qu'elle fournit pour X' étant nécessairement supérieures, mais de fort peu, aux valeurs exactes.

Xm-l

Fig. 88.

90. Limites aupériearefi des mamima néfri^Ur» et positifs d«8 moments fléchissants. — Soit Xm— i SXm

(fig. 28) la parabole des moments fléchissants produits par la charge complète de la travée m. Soient F' et F' les foyers de celle travée. Portons sur Taxe des x une longueur m — IB égale à 3x'. On a remarqué précédemment (page 62) que Ton

a toujours : a:' <-, sauf le cas exceplionnel correspondant à p = l/2ety = 0, pour lequelj:'==- •

Donc le point B tombera entre m — 1 et m.

Traçons la parabole Xm— i^B, qui se rapporte à la poutre d'ouverture m — 18 ou 3a:' supposée parfaitement encastrée à son extrémité antérieure m — i, simplement appuyée à l'extrémité B, et soumise à une charge uniforme 3pV définie par la condition :

gî)(3a;')'=îp'x"=-Xm,.

Cette poutre a pour premier foyer F' ; le second foyer coïncide avec l'extrémité B.

La parabole Xm— i^B coupera la droite m — 1 au point g plus rapproché du foyer F' que le point G', relatif à la parabole Xm— iSXfif

On sait en effet (page 22) que m — lg = -m — 1 B = - x',

tandis qu'on a vu (page 71) que Ton a toujours m — 1 G' = z' < 3/4 x\ D'où:

Désignons par M' le moment fléchissant négatif maximum correspondant, pour la poutre auxiliaire m — IB, h une abscisse X comprise entre 0 el x'. Nous savons le calculer à l'aide de la formule établie à l'article 5 (page 32). La courbe des M' relative à la travée m — 1 B est tangente en Xm— i à la parabole Xm—iS Xm et en F ' à l'axe des x.

Il parait évident a priori^ à la seule vue de la figure 28, que la courbe des M' est située tout entière au-dessous de la courbe dès X', et que pour une valeur quelconque de x, com-

prise entre 0 et x\ on doit avoir — < 1.

Il serait facile d'ailleurs de le démontrer, en constatant que, pour une valeur donnée de - , le rapport , calculé à

l'aide des formules de Tarticlc précédent, est d'autant plus

grand que p se rapproche plus de 1/2 et y de 0. Or, lorsque ce

rapport -; atteint sa limile supérieure (pour p = 1/2 et

AWl— j

y = 0), il devient précisément égal à , puisque les deux

paraboles Xm— iSXm et XmsB coïncident dans ce cas spécial. On a donc toujours pour une valeur quelconque dex: -- <1,

et, en substituant la courbe des M' à la courbe des X', on obtiendra une limite supérieure des moments fléchissants négatifs maxima X', qyels que soient ^ et y.

Xm—

Dans le cas particulier où il se trouve que le rapport -— -*

Xtn

est plus petit que Tunité, on peut obtenir une limite supérieure de X' moindre que M' et par conséquent plus rapprochée de la réalité. Il suffira en ce cas de considérer, pour la travée auxiliaire m — l.B dont l'ouverture est Zx\ la parabole (fig. 29)

Xa»-

Fig. 29.

qui correspond à Thypothèse du double encastrement sur les deux appuis, la poutre étant soumise à une charge uniforme ^ p" a! définie par la condition :

lp'(3a/)« = ?p'x'« =

— — Am — |.

On reconnaîtra comme dans le cas précédent que les moments maxima négatifs N', relatifs à la poutre auxiliaire ainsi définie, que nous savons calculer (art. 5 page 30) sont toujours supérieurs aux moments X' correspondants à la travée m — 1 m, pour toute valeur de x comprise entre 0 et x\ Nous jugeons inutile de donner cette démonstration identique à celle du cas précédent.

En résumé les limites supérieures des moments fléchissants maxîma négatifs développés dans la travée donnée m — 1 m, pour les charges uniformes incomplètes distribuées de la manière la plus défavorable pour chaque section considérée isolément, peuvent être établies à Taîde des inégalités suivantes, où nous avons substitué à M' et N' leurs expressions analytiques connues (page 41) :

1® De 0 à X. On a toujours : -^ — < -^ •

Dans le cas particulier où — — ^ 1, on peut obtenir une

limite plus rapprochée de la valeur exacte de X', à laide de Tinégalité :

Xwi — i

2** De x" à Z. On a toujours : r- <

* • Xm 1 l—x

Xm—

Dans le cas particulier où — — ■* ^ 1 , on peut obtenir une

limite plus rapprochée de la valeur exacte de X' , à Taide de l'inégalité :

Xm / 2f~gY

3® Entre les limites x' et x'\ on a : X' == 0.

Quant aux maxima des moments fléchissants positifs, on peut toujours en calculer des limites supérieures, à Taide de la relation suivante, où Ton substituera à X' la limite supérieure précédemment obtenue :

Pour a? = 0 et a: = /, on a X'^= 0.

Entre 0 et x^ et x" et /, on a nécessairement X" > X.

Enfin de x' ^x\ on a X" = X. La courbe représentative des moments positifs maxima se confond avec la parabole correspondant à la charge uniforme complète.

Les courbes tracées à Taide de ces formules concorderont avec les courbes représentatives exactes des X' et des X" lorsque chacun des nombres ^ et y présentera respectivement

Tune des valeurs limites 0 ou - ; la parabole des X, correspondant à la charge complète, ne coïncide avec la courbe des X"" que lorsque Ton a : p = 0, y = 0, ce qui entraîne forcément : X' = 0.

Nous proposerons de substituer, dans le tracé des épures de stabilité des poutres continues, ces courbes enveloppes à la parabole de la charge complète, que l'on avait jusqu'à présent rhabitude de considérer, en faisant abstraction des effets des charges uniformes incomplètes. Notre méthode nous parait présenter deux avantages : 1^ Au lieu de fournir entre les abscisses 0 et x d'une part, et x' et / de l'autre, une limite inférieure du moment maximum positif ou négatif, elle en donne une limite supérieure, ce qui est conforme aux règles admises pour le calcul des ouvrages métalliques, dont la stabilité doit être étudiée en se plaçant toujours dans l'hypothèse la plus défavorable; 2^ si l'on fait abstraction du signe de l'erreur commise, notre méthode donne des résultats généralement plus exacts que la méthode usuelle, en ce sens que le maximum absolu de Técart pouvant exister entre la courbe conventionnelle et. la courbe exacte des X' ou des X"^ est plus petit que le maximum absolu de l'écart pouvant exister entre la parabole des X et chacune de ces courbes. Enfin^ l'erreur due à notre méthode est d'autant plus petite que X' est plus grand (p et y se rapprochant de 1/2), c'est-à-dire que l'exactitude est le plus désirable ; c'est l'inverse pour la méthode usuelle.

La supériorité de notre tracé de l'épure de stabilité^ au point de vue théorique^ parait donc bien établie, mais il faut reconnaître que l'avantage réalisé par elle se réduit en somme à fort peu de chose, les courbes tracées par les deux

procédés ne s'écartani pas beaucoup Tune de l'aulre, ainsi que le montrent les figures 30 et 3 1 où nous avons indiqué à la fois, dans deux cas particuliers, les courbes obtenues par

l'application de notre règle et celles qui résultent de la règle usuelle. Nous en conclurons que le choix k faire entre les deux

82 POUTHES A TRAVÉES SOLIDAIRES.

méthodes ne saurait se justifier que par des considératioDS pratiques : on devra préférer celle qui offrira le plus de facilité pour la préparation des épures, et réduira au minimum le travail de Tingénieur. Or la nôtre présente l'inconvénient d'exiger le calcul d'expressions algébriques un peu compliquées, savoir :

tl. t^L. tM (-Î5)'

3,tï'

/ 2^y __ * fzf. / 2/-3? Y

\3af) *"" 3 (-a?" V"" 3 i^/

Pour écarter cette première objection, nous avons donné, à la fin de ce volume, dans la table I, les valeurs numériques

toutes calculées de ces deux fonctions pour des valeurs de -

ou de j— -; croissant par vingtièmes de 0 à 1. En choisissant

convenablement les abscisses des points de la courbe des X' qu'on se propose de déterminer, on pourra, à Taide de cette table, obtenir immédiatement la valeur exacte du coefficient de Xm— 1 ou de Xm<

Cette question de calcul ainsi résolue, nous verrons ci-après que notre méthode présente sur la méthode usuelle, au point de vue de la pratique, un avantage très considérable : elle permet de réduire à trois le nombre des équations à considérer pour chaque travée, lorsque Ton se propose de tracer répure de stabilité relative à la surcharge, alors que la méthode usuelle en exige parfois sept. Elle réalise donc une simplification notable, entraînant une économie très sérieuse de temps et de travail, ainsi que nous le verrons ci-après (art, 25). C'est principalement à ce point de vue pratique que nous lui attribuons une supériorité réelle et capitale, qui, d'après nous , justifie sa substitution aux procédés indiqués par M. Bresse.

PARABOLES REPRÉSENTATIVES DES MOMENTS FLÉCHISSANTS DUS A LA CHARGE PERMANENTE. -- COURBES ENVELOPPES DES MOMENTS FLÉCHISSANTS DUS A LA SURCHARGE A RÉ- PARTITION VARIABLE. — TRACÉ DES ÉPURES DE STABILITÉ.