MomenCA fléclii«0ant0 dans les seetlons d'appui
— Nous admettrons, suivant l'usage, que Ton peut assimiler, sans erreur appréciable, les effets du poids propre P de chaque travée à ceux de la charge uniforme complète équivalente /?/= P,/> représentant le poids moyen par unité d'ouverture de la travée. En général, le poids/) varie très peu d'une travée à Tautre, et on peut le regarder comme sensiblement constant d'une extrémité à l'autre de la poutre. Cela simplifie les opérations, parce qu'on calcule, non les moments Xp, mais
les rapports — , ce qui revient à poser /? = 1 dans les formules.
La surcharge d'épreuve est toujours supposée constante sur toute la longueur de la poutre ; on la représentera par p' et on calculera non les moments maxima eux mômes X/, mais
les rapports -f , en faisant /)' = 1 dans les formules.
Connaissant - et -, le maximum du travail à la flexion dé-
veloppé dans une section quelconque de la poutre sera fourni par la relation :
rp * /X . X' A
dont le second membre ne contient que des quantités connues. Dans le cas où p présenterait des variations considérables
POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.
d'une travée àTautre, on ne pourrait admettre celte simplification, et il conviendrait de laisser figurer la lettre ;o dans les formules, en lui attribuant pour chaque travée la valeur convenable. Cela compliquerait un peu les recherches et allongerait les calculs, parce que Ton ne pourrait plus utiliser pour la détermination des eiïets de la surcharge les résultats déjà obtenus pour la charge permanente, mais sans créer de difficulté théorique, la lettre;? figurant comme facteur du premier degré dans toutes les formules qui donnent les moments fléchissants.
Tx r^j):
Jsi
■ : »■ ■* — ' ■■< f/lj
Appiij
Fig. 82.
Connaissant la charge uniforme complète de la travée m — 1 m (fig. 32) nous savons calculer (formules de la page 69) les moments fléchissants Xm— i et Xm produits par cette charge dans les sections d^appui m — 1 et m, et déterminer soit par le calcul (formules de la page 59), soit par des constructions graphiques (fig. 32), les moments développés sur tous les autres appuis de la poutre.
Supposons que nous ayions effectué celte opération pour
toutes les travées : nous connaîtrons, pour une section d'appui quelconque K, les moments fléchissants partiels produits par les charges complètes de toutes les travées, considérées chacune isolément. Représentons ces moments, en grandeurs et en signes, par des longueurs portées (fig. 33) sur l'ordonnée qui passe au point K, et distinguées par les numéros des travées chargées auxquelles elles correspondent. Pour plus de clarté, nous avons séparé sur la figure les moments dus aux charges des travées placées à droite ou au-delà du point K, des moments dus aux charges des travées placées à gauche ou en-deçà.
- KflO
- K+ia
- K*ia
- K+ll
Fig. 33.
Il est aisé maintenant de calculer le moment produit en K par les charges d^une série déterminée de travées agissant simultanément: il suffit de faire la somme (en tenait compte des signes) des moments partiels relatifs à toutes ces travées prises isolément, en laissant de côté les moments relatifs aux autres travées, que Ton suppose ne porter aucune charge.
Nous considérerons spécialement les moments correspondants à six dispositions particulières de la charge, dont nous aurons besoin dans la suite de cette étude. Ces moments, que nous désignerons par les lettres A, B, C, D, E, J et H, se rapportent aux cas indiqués par le tableau suivant, et représentés par la figure 34, où les travées chargées sont marquées par des traits gras.
Le moment A correspond à la charge complète do toutes les travées sans exception ; les moments J et H aux charges des travées K + 1 et K, qui encadrent le point d appui, considérées chacune à part ; enfin les moments B, C, D et E se rapportent à des dispositions diverses ayant le caractère commun suivant : à gauche et à droite du point K, les travées sont toujours chargées de deux en deux.
Numéros des travées chargées.
Appui
Numéros des travées chaînées.
K— 2fc . .K— 2. • .K
K-2fc— i...K— 3. )» .K-4. » K— 2^ -t... K-3. . .K— 4. .
K — 2fc » .K — 2. » .K
Le calcul des moments A, B, C, D, E, J, H, dont les deux derniers, relatifs chacun à la charge d'une travée unique, sont déjà connus, ne présentera aucune difficulté. Il convient d'ail-
leurs de remarquer que, si Tod connaît A, B et D, C et E s'obtiendront immédiatement à Taide des relations :
II n'y aura donc en réalité à calculer que A, B et D, les autres quantités J, H, G et E étant déjà connues ou pouvant être obtenues par une simple soustraction.
K-3I.K-BIK-1I
>*u*sa«^
Fig. 84.
Lorsqu'on admet que la charge permanente p varie d'une travée à l'autre, il est nécessaire d'évaluer le moment A en tenant compte des différentes valeurs de p. Quant aux moments A^ B, C, D, E, J et H, qui ne servent qu'à déterminer les effets de la surcharge d'épreuve, on doit toujours les évaluer en supposant p' = 1. Dans le cas où p est une constante
et peut être pris égal à Tunité, on calcule le moment rapporté
à Tunité de charge -, qui sert à la fois pour l'élude de la charge
et celle de la surcharge.
Nous admettrons, dans ce qui va suivre, que l'on a délermi-^ né pour chacun des points d'appui de la poutre les valeurs numériques de A, B, C, D, E, J et H.
99. — Parabole des moments fléehisfiants produitsparia charge .permanente. — Considérons la travée m comprise entre les points d'appui m — I et m.
Soient A^n-^i ot Am les moments fléchissants produits sur
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTIOiN CONSTANTE. 87
les deux appuis par la charge permanente. Nous admettrons, comme dans Tarlicle précédent, que ces moments ont été préalablement calculés.
La parabole des moments a pour équation, si Ton désigne par p la charge par unité de longueur de la travée et par / son ouverture :
i — j- j + Am - + - pa: {l—x).
Pour simplifier, nous désignerons par A le moment Am— i relatif à l'appui de gauche ou premier appui, et par A' le moment Am relatif à Tappui de droite ou second appui, et la formule deviendra:
Lorsque /> a même valeur pour toutes les travées, on calcula
Fig. 85.
Am— I et Am dans Thypothèse où p serait égal à Ij-et Téquation qui précède devient :
^ = A(l~f)+A'f + la;(/-x).
Nous ne reviendrons pas sur la discussion de cette parabole, qui a été faite d'une manière complètes l'article 1, paragraphe c (page 10). Nous rappellerons seulement que, les moments fléchissants sur les appuis étant Am->i et Am, le moment fléchissant au sommet est fourni par la relation :
et correspond au point de l'axe dont l'abscisse est :
Pl
Les abscisses x^ el Xt des points Oi etOt, où la parabole coupe l'axe des or, et pour lesquels le moment X est nul, sont données par les formules :
l ^ A'- A . /// . A'-Ay 2A
Nous avons déjà signalé dans l'article i*'' les différentes positions que peut occuper la parabole : elles sont indiquées sur la figure 5 (page 12).
En général, A et A' sont négatifs, et, les abscisses Xi eix^ ayant des valeurs réelles, positives et comprises entre 0 et /, les points 0| et 0, existent entre m— 1 et m. (Parabole C do la figure 5).
Fig. 8G.
Mais il peut arriver, A et A' étant tous deux négatifs, que la parabole soit toute entière au-dessous de Taxe dos x : en ce cas, les valeurs de x^ et j*, sont imaginaires (parabole C'*').
Enfin, lorsque le moment A est positif, la valeur de Xi est négative (courbe C). Nous répétons que ce cas se rencontre très exceptionnellement, pour ne pas dire jamais, dans la pratique : la parabole occupe presque toujours la position C\
La figure 36, qui montre la forme de la courbe décrite par la fibre moyenne déformée de la poutre, dans les différents cas où la parabole occupe les positions C, C, C et C, fait suffisamment comprendre dans quelles circonstances très rares on peut avoir affaire à des paraboles telles que C, G' et C : la lettre i désigne les points d'inflexion de la fibre moyenne déformée. On voit immédiatement que le cas C ne peut se présenter que si les travées m — 1 et w-+-l ont une très-faible ouverture par rapport à la travée m ; le cas C/ suppose que la travée précédente m — 1 est très courte, et la travée m — 2 très longue ; enfin le cas C" no peut se présenter que si Tune au moins des travées adjacentes est très grande comparativement à la travée m.
Nous verrons plus tard que dans les poutres symétriques, exclusivement employées par les constructeurs, ces circonstances exceptionnelles ne peuvent se rencontrer que pour les travées de rives (travées extrêmes de la poutre) et les travées adjacentes. Mais le cas C est le plus fréquent, et c*est à vrai dire le seul qui se rencontre dans les ponts existants.
Remarquons en terminant que la courbe des moments fléchissants étant un arc de la parabole à axe vertical qui, rapportée à son sommet, aurait pour équation y = — Z^^^^ ^^^ ^^^'
jours facile de la tracer avec un patron découpé ad hoc, connaissant les ordonnées A et A' de ses points extrêmes. On peut donc se dispenser de la tracer point par point, et on devra se borner en général à calculer les abscisses Xi et x^, et au besoin Tabscisse s et l'ordonnée Xs du sommet, pour être sûr de ne pas commettre d*erreur de dessin, et de bien placer le patron dans la position qu'il doit occuper. Ce sont les seuls points de Tépure qu'il soit intéressant de marquer avec certitude, parce que Tordonnée Xs est un maximum, et que la connaissance exacte des points 0| et 0, est indispensable pour le tracé de Tépure relative h la surcharge.
•8. Enveloppes des momeiitii fléehi««aiitN dus à la •urchar^e variable, abstraetion faite de la sureiiarfe propre de la travée considérée La méthode que nous
allons exposer est due à M. Maurice Lévy^ qui a imaginé de substituer les courbes enveloppes aux courbes multiples, relatives à un certain nombre de surcharges définies, que Ton étudiait autrefois, et a indiqué les principes théoriques à appliquer pour obtenir ce résultat.
Si Ton fait abstraction de la surcharge propre de la travée m, les moments partiels dus aux surcharges complètes de toutes les autres travées, considérées chacune isolément, seront représentés par deux faisceaux de droites passant par les foyers F et F'' de la travée m.
Fig. 37.
La figure 37^ où Ton a inscrit pour chaque droite le numéro de la travée chargée qui lui correspond, permet de reconnaître immédiatement que l'enveloppe des X', comme celle des X'', est une ligne brisée dont les deux sommets sont placés sur les verticales des foyers F et F".
Si Ton considère une section quelconque de la poutre, la valeur de X' s'obtiendra 'en faisant la somme des moments partiels négatifs, et celle des X'^ en faisant la somme des moments partiels positifs. Dans l'intérieur de chacune des trois zones m — IF, FF'^ F" m, aucune des droites de la figure 37 ne coupe l'axe des x : une seule expression analytique du premier degré suffira donc pour représenter la valeur des X' dans chacun de ces intervalles. Mais l'expression en question devra être modifiée lorsque l'on franchira un des points F^ ou F", où certaines droites coupent l'axe des x, ce qui change la répartition des travées chargées qui correspond soit à X', soit à X''.
ce. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 91
En nous reportant aux notations de l'article 21^ et adoptant la simplification de Tarticle 22, qui consiste à supprimer les indices m — 1 et m qui distinguent les moments sur les deux appuis, en marquant d'un accent les moments relatifs au second appui m, nous obtiendrons finalement les équations suivantes, fournissant les valeurs des X' et des X' dans les zones
Fig. 88.
m — 1 F', FT" et Y^m. La figure 38 représente l'épure de stabilité de la travée, dans les conditions où nous nous sommes placés.
ZÔ1M8 considérées
Expressions analytiques des moments maxima
F . F" a:'<x<x" Y' .m x'KscKji
l<^ Moments négatifs
= C (l-^) H- (B'-H') ] 2* Moments positifs
Droite correspondante sur la figure 38
Remarquons que les droites M^'N'' et P'Q', P'^Q'' et M'N' sont placées respectivement dans le prolongement Tune de l*autre, do sorte qu'il n'y a en réalité que quatre lignes à tracer.
•4. — finveloppes des moments fléchisMtiits ûuu H la wurehargre variable, en tenant compte de la sar» charge complète de la travée considérée. — L'équation de la parabole (fig. 39) représentative des moments pro-
Fig. 39.
duits par la surcharge complète de la travée m, abstraction faite de la surcharge des autres travées, est, d'après les notations adoptées :
Elle coupe l'axe des x en deux points G' et G" toujours réels, dont on sait calculer les abscisses z' et z\ Nous avons vu que Ton a toujours :
Pour avoir les courbes enveloppes des moments, il convient d'ajouter cette expression analylique à celle déjà indiquée à
eu. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 93
l'arlicle précédent pour X', lorsque le momenl du à la surcharge propre de la travée m est négatif, c'est-à-dire entre les points m — 1 et G' (o < a: < z) d'une part, et G' et m de l'autre (z"<:x<l). Dans la zone centrale G'G" {z <x<,z"), comme le momenl dû à la surcharge propre de la travée est positif, il faudra l'ajouter aux X"".
Entre G' et G'', l'expression de X\ devant être établie dans l'hypothèse où la travée m ne serait pas surchargée, sera celle déjà obtenue à l'article 23, où l'on faisait abstraction de la surcharge en question ; il en sera de même pour X'" dans les zones m — 1. G' et G" m.
Le tableau suivant indique les formules à employer dans les différentes divisions de la travée pour calculer soit X', soit X".
ZONES CONSIDÉRÉES
(i) m— IG' o<x<z'
(3) FF" x'<x<x'
(6) m— IG' o<x<z'
(7) GT' z'<x<x'
(8) FT" x'<x<x''
(9) F"G" x''<x<z'' (lO)G^m z''<x<l
